2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》学情分析
学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习.
我校学生生源基础较差,由于自主学习速度较慢,所以对导学案进行前置运用,并通过小组评价机制,尽力的调动学生学习的积极性,并适当的优化题目数量,提升学生学习的自信心,在上课时,随机的选择同学代表小组起来展示,根据展示情况,在小组评价表上进行加分或是减分.一段时间后进行汇总,对小组进行奖励或是督促.
在作业与练习的设置上也有意识的进行了分层设计;不同同学的自主学习与接受能力是不同的,所以在上课的最后同学可以根据自己的情况或进行错题的整理与纠正,或进行作业的完成,或是进行思考题研究.速度更高,学习能力更强的同学可以运用我们市里所发的学案进一步的开展拓展练习.
2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》效果分析
数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交流互动与共同发展的过程。本节课我不断设置问题，步步推进教学过程，使学生在有效问题的驱动下进行积极思考、探究，调动了学生的积极性。学生在自主探究与合作探究中动手动脑，获取知识，感悟数学，充分体现学生的主体地位，教师成为课堂活动的组织者、引导者与合作者。
课堂教学中，我制作了课件，合理地利用多媒体，及实物投影仪，提高了教学的效率与质量。
通过本节课的学习，学生理解了数量积的定义、投影的定义与数量积的几何意义，并掌握数量积的性质与运算律，能够利用数量积求解向量的模与夹角问题，并会利用数量积判断向量或线段的垂直。加深了对数量积的理解.
人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
《平面向量数量积的物理背景及其含义》
教
学
设
计
临沂高新实验中学
马建国
电话：13176983506
E-mail: mjg20206@163.com
高新区“四步七环节”教学(个人备课)
年级
高一
单元
第二章
课题
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
主备
马建国
授课
马建国
授课时间
5.17
个人修改
集体备课达成目标
核心问题
平面向量数量积的物理背景及其几何意义，
教学
三维目标
1.知识与技能
（1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
（2）掌握平面向量数量积的性质与运算律；
（3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，
（4）掌握向量垂直的条件.以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
2.过程与方法
本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。
3.情感态度与价值观
通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。
教学重难点
重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的垂直关系。
难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学重难点
突破
通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习
课前准备
学生预习完成学案。实物投影仪，多媒体课件。
集体一备教学环节设计
个人二次备课
课后三备
情景引入 物理中的例子 1. 回忆物理问题
问题1：物理中力对物体所做的功是什么？功是力与力的方向上位移的乘积.
问题2：给出图示，如何计算“功”？
通过物理做功引入
引导学生思考
【设计意图】由学生所熟悉物理中的“功”开始这节课，以物理问题为背景，使学生初步认识向量的数量积，为引入向量数量积的概念做铺垫。
2.引入新课
既然功的大小只与力的大小，位移的大小及它们的夹角有关，而力与位移都是矢量，在数学中叫做向量，那么我们可以引入一种新的运算，用来替代，这就是平面向量的数量积，这就是我们要学习的——2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。
3.展示学习目标
（1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
（2）掌握平面向量数量积的性质与运算律；
（3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，
（4）掌握向量垂直的条件，以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
【设计意图】学习目标的展示让学生明确本节课的学习任务，从而做到心中有数。
一、新课讲授
1.向量数量积的概念明晰
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即
问题3：向量的夹角的范围；说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0(≤(≤180(
问题4：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响向量的数量积大小的因素是什么？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos(的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a(b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0.因为其中cos(有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c.但是a(b = b(c
a = c
如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA|，b(c = |b||c|cos( = |b||OA|
( a(b = b(c 但a ( c
(5)在实数中，有(a(b)c = a(b(c)，但是(a(b)c ( a(b(c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共
【设计意图】引导学生分析定义中的要点内容，明确数量积这一种新运算与之前所学的向量的线性运算的区别，运算结果是一个数量。
2、投影的概念 作图
定义：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当(为锐角时投影为正值；当(为钝角时投影为负值；当(为直角时投影为0；当( = 0(时投影为 |b|；当( = 180(时投影为 (|b|.
在方向上的投影为，在方向上的投影为.
问题5：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正(positive)，什么时候为负(negative)，是否可能为零呢？
学生分为两大组分别完成例1中的任务一（男生组）与任务二（女生组）：
例1：计算以及在方向上的投影（为与的夹角）.
0°
30°
90°
120°
180°
投影
数量积
0°
60°
90°
150°
180°
投影
数量积
当时，；当时，；当时，.
问题6：你从表格中还发现了什么？你发现数量积与在方向上的投影有什么关系吗？
3数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
物理中“功”的数学本质是力与位移的数量积.
【设计意图】通过例1,一方面让学生练习计算数量积与投影，巩固所学新知；另一方面让学生通过自己的动手动脑总结归纳出问题6的答案，进而教师又提出新的问题，引导学生观察并发现数量积与投影之间的关系，从而得出数量积的几何意义，再联系课前引入得出“功”的数学本质.
4.探究数量积的性质与运算律
教师通过多媒体出示问题，让学生联系数量积的定义进行自主探究寻找答案，之后由学
生回答，教师点评，并说明这就是数量积的性质。
问题7：① ②当与同向时，=？ 当与反向时，=？
③ 或 ④ ⑤（什么时候取等号？）
问题8：我们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，数量积是一种运算，那么类比实数乘法，数量积能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列运算律吗？
①；②；③.
④ ⑤ 对于①的证明较为简单，学生可以完成；对于②，若按照数量积的定义展开会出现困难教师给学生提示，可以结合数量积的定义及向量的数乘运算对和两种情况下分别证明；③的证明有难度，由师生共同完成。④、⑤的证明较简单，学生尝试证明，教材中的例题。
【设计意图】学习过数量积的概念，学生有能力完成性质的探究，因此要发挥学生的主观能动性进行自主学习；对于数量积的运算律，教师先给出它所满足的运算律，由学生小组讨论试着进行证明，学生展示过程中出现的问题及时指出，学生证明有困难时，师生合作共同完成。
二. 运用所学，解决问题
1、典例剖析
学生完成例题1、例题3、例题4
补偿训练：
1变式题：已知，，，求与的夹角？
2（合作探究）：已知向量夹角为且则______
解： 即
夹角为45° 功 解得，（舍去）
三、课堂训练
基础练习：课本106页 1、2、(1,2题进行口答)
综合测评：
⑴向量的夹角为60°，则_______答案：
⑵在中，若则的形状为_____ 答案：直角三角形
四、课堂小结
⑴学生谈收获
⑵教师总结：本节课共学习三个内容①平面向量数量积的定义与物理意义、几何意义；②平面向量数量积的性质；③平面向量数量积的运算律。在学习新知的过程中还渗透着数学思想方法的学习，如数形结合，类比等。
五、达标测试：
1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= .
4.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= .
5.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.
6.已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
作图演示
引入新课
展示目标
引出向量数量积
向量夹角分析说明
加强对数量积的理解
投影概念
引出新问题
学生训练
总结结论
数量积的几何意义
归纳出性质
探究运算律
引导分析
巡视点评
补偿训练
训练纠错
总结本节课内容
出示达标测试题
巡视了解
观察图形思考
带着物理知识思考向量的数量积的概念
学生读目标带着目标去学习
学生说出
思考理解
进一步理解数量积
通过图示理解投影
通过分组计算得出规律
学生理解
思考并总结
探究并记忆运算律
三生板演
纠错点评
通过补偿训练巩固
训练巩固
收获了哪些
自我测评
对照答案
纠错
作业分层
必做作业：教材108页2题
选做作业：教材108页3题
挑战作业：已知向量与夹角为45°，当向量与夹角为锐角时，求实数的取值范围.
板
书
设
计
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
基础知识点拨 典例剖析 训练题组 副版
1、定义 例1 1.
2、性质 例2 2.
3、运算律 例3 3.
例4 4.
检查评价
检查人签字
课件25张PPT。 临沂高新实验中学 马建国人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修42.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
问题：物理中力对物体所做的功是什么？2.4 平面向量的数量积第一课时平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：（1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
（2）掌握平面向量数量积的性质与运算律；
（3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，
（4）掌握向量垂直的条件.以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积的概念：与
为 与 的夹角
（1）当θ＝０°时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝180°时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝90° 时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.
范围0?≤?≤180°
注意：?? 规定:零向量与任一向量的数量积为0 在上的投影投影的概念投影： 叫做向量 在
方向上的投影. 叫做向量 在
方向上的投影.ABOB1当?为直角时
投影为0;ABOB1ABO(B1)当?为锐角时
投影为正值; 当?为钝角时
投影为负值;什么时候为正，
什么时候为负？投影与数量积的结果都是数量.例1、计算 以及 在 上的投影。（ 为 和 的夹角）投影与数量积2.数量积几何意义数量积等于 的长度与 在 方向上的投影 的乘积。数量积的性质1.当与反向时，3.或4.5.探究：什么情况下取等号？数量积的运算律1.2.3.已知向量和实数，则 4.5.O3.数量积性质与运算律1.或，对吗？，对吗？或例2.自主探究：类似？例3.已知与的夹角为60°，求解：自主探究： =-72例4.何值时，向量互相垂直？与即即当时，自主探究： 已知且不共线.与为解：已知向量夹角为且则即夹角为45°解得（舍去）合作探究 ：练习（口头回答）：教材中第106页看看谁做的快？直角三角形练习（补充练习）：1.向量的夹角为60°，则2.在中，若则的形状为 ____________=_______课堂小结：你自己有哪些收获？1.数量积的概念，几何意义及物理意义；
2.数量积的性质；
3.数量积的运算律；
4.类比、数形结合的数学思想方法.五、达标测试：
1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= .【来源：全,
4.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= .
5.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.
6.已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.作业：已知向量与夹角为45°，当向量与夹角为锐角时，求实数的取值范围.必做作业：教材108页第2题
选作作业：教材108页第3题
挑战作业：
已知向量 与 夹角为45°，
当向量 与 夹角为锐角时，求实数 的取值范围.
预习作业：预习下一节：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教材分析
本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4的第二章《平面向量》的第4节《平面向量的数量积》的第一课时《平面向量数量积的物理背景及其含义》。数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富，包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。
它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量。数量积为解决有关几何问题提供了方便，可以利用平面向量的数量积求解向量的模及向量的夹角，解决线段的垂直问题。
本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
在进行运算性质的论证时,正是这一数学思想运用的良好体现.
《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》评课记录
【教学内容】
数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富，包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。
它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量。数量积为解决有关几何问题提供了方便，可以利用平面向量的数量积求解向量的模及向量的夹角，解决线段的垂直问题。
王继前：设计新颖，教学基本功好，整个课堂深入体现了高新的教学模式。环节齐全。效果好，学生积极参与课堂，发挥学生的主动性。
相红：教师图例引课，激发了学生的学习兴趣，同时也渗透了情感教育。教学环节齐全，重难点突破方法灵活，知识衔接连贯自然??。教师的语言很有感染力,教态亲切自然,有亲和力。
张怀涛：情境创设自然，气氛营造和谐，教学理念新，学生合作交流实效性强，注重知识的整合，重难点处理详略得当。教学思路的设计有一定的独创性，教学思路的层次分明，注重以学生为主体，课堂结构安排合理。
赵淑娟：课堂中教师尊重每一位学生的反馈；遇到问题采取学生讨论、师生交流合作学习的方式来解决；教师让学生先猜想，再动手实践，形成新知。在整个新知生成过程中，学生始终处于观察、猜想、验证的积极思维状态，为学生今后获取知识及探索发现和创造打下良好的基础。
徐以丽：课堂气氛融洽，教师深入学生指导到位，对知识的整合能力强，驾驭课堂灵活自如。建议给学生留出充足的思考时间。
徐丽：教师讲解到位，落实的好，多让学生说说会更好。
王庆慧：教材处理灵活，教法学法运用得当，切入恰到好处，数学思想渗透合理
附《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》观评记录
教师
马建国
执教班级
高一.二
科目
数学
课型
新授
分值
等级
得分
评价
项目
评 价 标 准
A
B
C
96分
学生课堂表现
课堂参
与度
1．积极主动参与课堂活动，课堂气氛活跃。
5
50
5
2．自我调控能力强，参与时机恰当；认真听讲
7
7
3．学习习惯良好（记笔记、眉批、改错本等）
5
5
师生互动
4．有师生课堂互动形式多样，提问问题有针对性
4
4
5．有生生课堂互动体验，体现合作学习
4
4
自主探究
6．有创新性思维，能对教师提出的问题有正确见解
10
9
7．学生有自主学习意识，能自主探究，能发现问题。
5
4
8．体现自主学习；体现知识形成过程，结论由学生自悟发现，不能由教师包办
10
9
教师教学
目
标完成度
9.“三维”目标制定符合课程要求，切实有效
3
30
3
10．全体学生各有收获，如期达标；关注差异，面向全体学生。
5
5
教
学
方
法
11．能选择行之有效的教学方法；
4
4
12．及时发现问题，解决问题；融入学法指导
4
4
13．问题的设置有启发性；多使用鼓励语言；
3
3
教
学
过
程
14．问题设计具有正向思维价值
3
3
15．教学内容充实准确，针对性强
3
3
16．学生学习训练探究积极主动
3
3
17．评价检测反馈矫正科学及时
2
2
小组
合作
18．小组合作学习真实有效，积极交流讨论
20
20
19
总
体
评
价
亮点： 在整个教学过程中改变老师讲学生听的局面，变学生被动的接受为主动的合作、探究式学习，转变自己角色与地位，老师引导，学生自学探究。还给了学生充分的思考机会与表达机会。通过课前的充分预习,课上的展示,让同学充分的暴露了自己的思维特点与学习中的困难点,提升了同学的表达能力。
不足：教师的语言需要打磨锤炼，学生的展示再自由一下。
改
进
措
施
锤炼、润色语言。
再大胆放给学生，学生出现错误可以让学生自己就解决。
例1：计算以及在方向上的投影（为与的夹角）.
0°
30°
90°
120°
180°
投影
数量积
0°
60°
90°
150°
180°
投影
数量积
练习1:① ②当与同向时，= 当与反向时，=
③ 或 ④
⑤（什么时候取等号？）答: 。
练习2.
⑴与相等吗？（ ）
⑵如果，那么或，对吗？（ ）
⑶如果，，那么能得出吗？为什么？（ ）
例2、(1)计算: (2) 计算
变式训练:①； ②
例3、已知: 的夹角为,求
变式训练：已知，，，求与的夹角？
例4已知: 且不共线, 为何值时,向量与互相垂直?
合作探究.已知向量夹角为且则_________
解：
课堂练习:
1.口答课本106页 1、2
2.向量的夹角为60°，则___________
3.在中，若则的形状为__________
达标测试：
1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= .
4.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= .
5.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.
6.已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教学反思
本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣。通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前有助于学生更好理解数量积的结果是数量而不是向量。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景，让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则.
本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动。使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开。但自我感觉 “讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导。
课标分析
《普通高中课程标准（实验）》对本节课确立的目标有四条：
（1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
（2）掌握平面向量数量积的性质与运算律；
（3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，
（4）掌握向量垂直的条件.以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
由此可看出，数量积的概念是本节课的重点。
为了让学生能够接受并理解重点内容，
首先，让学生回忆所熟悉的物理中的做功问题，启发、引导学生将其看做两个向量的运算，从而引入平面向量的数量积的定义。
其次，数量积是一种向量间的新的运算，学习它的性质及运算律，不仅能够让学生更加深刻理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。
第三，学习一种新的运算，不仅要理解概念，还要运用它解决数学问题。
在学习与练习过程中,体会数学学习对物理等学科的基础性的支持作用.并通过相关例题与练习,增强同学对数量积运算的理解与掌握.
