学情分析
（1）学生已经接触过函数，已经确立了利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识 ，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
（2）虽然前面学生已经学会用描点列表连线画图的方法来绘制指数函数，对数函数图像，但是对于幂函数的图像画法仍然缺乏感性认识。
（3） 学生层次参次不齐，个体差异比较明显。
效果分析
通过课堂的整理、总结与反思，使学生对幂函数的图像及性质有了更深的学习。提升了学生数形结合的思想，设计研究性学习活动，诱发学生创造性的想象，同时教会学生如何开展研究性学习.
本节内容之后， 将把指数函数，对数函数，幂函数科学的组织起来，体现充满在整个数学中的组织化，系统化的精神，让学生了解系统研究一类函数的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究。
教学设计
（一）实例观察，引入新课
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 P是W的函数 （y=x）
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 S是a的函数
（y=x2）
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 S是a的函数
（y=x3）
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= a是S的函数 （y=）
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数 （y=x-1）
问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?
学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.
【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.
（二）类比联想，探究新知
1.幂函数的定义
一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power fun_ction) ，
其中x为自变量，ɑ 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2 y=（x+1）2 y=x2+1 是否为幂函数）
【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.
2.幂函数的图像与简单性质
同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）
不妨也找出典型的函数作为代表：
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像
问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？
学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.
问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？
学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.
教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减.
问题五：所有图像都过哪些点，为什么？
学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.
问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？
学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.
问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？
学生反应：当0
1时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.
教师活动：在01时，指数大的函数值就大.
【总结】
幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
定义域
R
R
R
[0，+∞)
{x︱x≠0}
值域
R
[0，+∞)
R
[0，+∞)
{y︱y≠0}
单调性
增
(-∞,0)增
[0，+∞)减
增
增
(-∞,0)减
（0+∞)减
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
公共点
（1,1）
【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.
（三）新知应用
【性质证明】证明幂函数y=在[0，+∞)上是增函数
证明：
教师活动：强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习定义证明单调性的过程.(2) 幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断
【例】比较下列各组数种两个值的大小
（1）
（2）
（3）
解：:(1) y= 5.2x是增函数,
∵0.1<0.2 ∴ 5.20.1 < 5.20.2
(2) y=x0.9在(0,+∞)内是增函数
∵ 3.2<3.7∴ 3.20.9 <3.70.9
（3） 1.72.5<1.82.5<1.83.5
【练习】 已知一个函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
解：依题意,得 解方程,得 m=2或m=-1
检验:当 m=2时,函数为符合题意.
当m=-1时，不合题意,舍去.所以m=2
【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化.
（四）课堂小结，归纳提升
（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.
（2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.
（五）课后作业，巩固训练
P79习题2.3： 1，2，3.
课件15张PPT。§2.3 幂函数费县第一中学 王文娟人教A版 必修一 高一数学学习目标 知识与技能
理解并掌握幂函数的图象与性质，能初步运用所学知识
解决有关问题，培养灵活思维能力.
过程与方法
通过具体函数归纳与概括幂函数定义、图象和性质，体
验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力.
情感、态度与价值观
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的
能力，培养学生合作交流的意识. 学习重点 从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用. 学习难点 概括幂函数的性质. 问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p＝ 元，问 题 情 境这里p是w的函数 这里S是a的函数 这里V是a的函数 这里a是S的函数 这里 是t的函数 aaSVSa问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S= ，问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V= ，问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a= ，问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度 = km/s.若将它们的自变量用 来表示,函数值用 来表示,则它们的函数关系式将是:以上几个函数有什么共同特征？幂函数是不是指数函数啊指数函数口答下列函数中哪几个是幂函数？① ②③④×××√形式为问题与幂函数有什么区别？①底数都是自变量 ;
②指数都是常数;
③幂的系数都是1.指数函数：底数是常数，指数是自变量 .幂函数：底数是自变量 ，指数是常数.一、幂函数定义练一练几点说明:1、对于幂函数，我们只讨论 =1,2,3, ,-1时的情形.解：2、幂函数的定义方式是一种形式定义，解析式是幂的形式,
底数是自变量 ,指数是常数,幂的系数为1.1、证明幂函数 是奇函数.证明:为奇函数.性 质 证 明
(1,1)二、五个常用幂函数的图象：(2,4)(-2,4)(-1,-1)X 0 1 2 3 4 …0 0.71 1 1.41 1.73 2 …X … -1 0 1 …… -3.38 -1 -0.13 0 0.13 1 3.38 …观察图象，将你发现的结论填在下表中RRRRR奇函数偶函数非奇非偶奇函数奇函数 R上
增函数 R上
增函数（1,1） ∪∪增减减减增幂函数性质知识小结(1)函数
在(0,+∞)上都有定义，
并且图象都过点(1,1).(2)函数
是奇函数； 是偶函数.(3)在第一象限内， 是增函数;
是减函数.(4)在第一象限内， 图象向上与 轴无限
接近;向右与 轴无限接近.证明：，则分子有理化≤性 质 证 明比较下列各组数值大小: 例<><>比较幂值的大小时利用相应函数单调性,
若指数相同转化为幂函数，
底数相同时转化为指数函数. 解:2、比较下列数值大小 :4、设 ,则使函数 定义域为R
且为奇函数的所有 值为( ) .(A) 1，3 (B)－1，1 (C) －1，3 (D) －1，1，3< 自变量 ， 是常数.2、五种常见幂函数的图象及其性质.你的收获？课后习题 2.3 1、2、3.作业谢 谢 大 家!教材分析
《幂函数》选自高一数学新教材必修1第2章第3节。是基本初等函数之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好的基础．在初中曾经研究过y＝x，y＝x2，y＝x-1三种幂函数。这节内容，是对初中有关内容的进一步的概括、归纳与发展，是与幂有关知识的高度升华．本节内容之后， 将把指数函数，对数函数，幂函数科学的组织起来，体现充满在整个数学中的组织化，系统化的精神。让学生了解系统研究一类函数的方法．这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究上．
观课记录
孙玉成：
（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.
（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.
齐洪辉：
(1)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.
(2)使学生进一步体会数形结合的思想.。
陈兆军：
采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性。
王立发：
通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。
杨庆义：
从实例观察引入课题→构建幂函数的概念→画出代表性函数图像→探索简单的幂函数性质→总结一般性研究方法→应用举例和课堂练习→小结与作业。
评测练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.下列函数中，与函数y=有相同定义域的是( )
(A)f(x)=lnx (B)f(x)=
(C)f(x)=x3 (D)f(x)=ex
2.设a=，b=,c=，则a,b,c的大小关系是( )
(A)a>c>b (B)a>b>c
(C)c>a>b (D)b>c>a
3.在同一坐标系内，函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是( )
4.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数，且f(-x)=f(x)，则m可能等于( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.若幂函数f(x)的图象过点(2，8)，则f(3)=_______.
6.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在［-1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)=(1-4m)在［0,+∞)上是增函数,则a=_______.
6.若，则实数a的取值范围是_________.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7. 比较下列各题中值的大小：
(1),;
(2)(-π)7,(-3)7;
(3),,;
(4), , ,.
8.已知f(x)=(m2+m-1)x2m-1，当m为何值时，
(1)f(x)是正比例函数；(2)f(x)是反比例函数；
(3)f(x)是二次函数；(4)f(x)是幂函数.
9．已知函数f(x)=x3+x．
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)求证：f(x)是R上的增函数；
(3)若f(m+1)+f(2m-3)<0，求m的取值范围．
(参考公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))
答案解析
1.【解析】选B.函数y=的定义域是{x∈R|x≠0},
f(x)=lnx的定义域是(0,+∞),
f(x)=的定义域是{x∈R|x≠0},
f(x)=x3的定义域是R，
f(x)=ex的定义域是R.所以选B.
2. 【解析】选A.因为幂函数y=在(0,+∞)上是增函数，且>，所以>，即a>c.
因为指数函数y=()x在(0,+∞)上是减函数，且<，所以>，即 c>b.
综上，可知a>c>b.
3.【解析】选C.当a<0时，函数y=ax-在R上是减函数，与y轴相交于点
(0,- )，此点在y轴的正半轴上，只有B适合；但此时函数y=xa在(0,+∞)上是减函数，所以B不适合.
当a>0时，函数y=ax-在R上是增函数，与y轴相交于点(0,-)，此点在y轴的负半轴上，只有A，C适合,此时函数y=xa在(0,+∞)上是增函数，进一步判断只有C适合.
4.【解析】选B.∵幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数，∴3m-5<0，即m<，又m∈N，
∴m=0,1.∵f(-x)=f(x)，
∴函数f(x)是偶函数.
当m=0时，f(x)=x-5是奇函数；
当m=1时，f(x)=x-2是偶函数,∴m=1.
5.【解析】设幂函数f(x)=xα,则由题意得
8=2α，故α=3.
所以f(x)=x3,f(3)=33=27.
答案：27
6.【解析】当a>1时，有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-为减函数，不合题意.若0答案：
6.【解析】∵幂函数y=在R上为增函数，<,∴a+1<2a-2,∴a>3.
答案：(3,+∞)
7.【解析】(1)因为函数y=在(0,+∞)上是减函数，且3<3.1，所以>.
(2)因为函数y=x7在R上是增函数，且-π<-3，所以(-π)7<(-3)7.
(3)因为>4.10=1,0<<3.80=1，
<0，所以<<.
(4)因为函数y=在［0,+∞)上是增函数，
且<2，
所以1=()0<<.
又因为0<<=1且<0，
所以<<<.
8.【解析】(1)若f(x)是正比例函数，则
解之得m=1.
(2)若f(x)是反比例函数，则
解之得m=0.
(3)若f(x)是二次函数，则
解之得m=.
(4)若f(x)是幂函数，则m2+m-1=1，解之得m=-2或m=1.
9【解析】函数f(x)的定义域为R．
(1)函数f(x)是R上的奇函数，因为对任意的x∈R，
都有f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)取任意的x1、x2∈R，设x1=(x1-x2)［(x1+x2)2+x22+1］，
因为x10，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在R上是增函数.
(3)由f(m+1)+f(2m-3)<0,
得f(m+1)<-f(2m-3),
因为f(x)是奇函数，所以f(m+1)因为f(x)在R上是增函数,
所以m+1<3-2m，解得m<．
课后反思
本节课从设计上主要为了体现新知和方法的构建过程，在学生的作业和课后反应来看，对本节课的知识内容和思想方法掌握还可以，不过在对立体的讲解和选题上感觉稍微浅显一些，不易达到学生能力提升的教学目标。
学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。我采用及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神，在概念反思过程中评价学生的归纳猜想能力是否得到发展，通过巩固练习考查学生对幂函数是否有一个完整的集训，并进行及时的调整和补充。
课标分析
一、学习目标
知识与技能：
理解并掌握幂函数的图象与性质，能初步运用所学知识
解决有关问题，培养灵活思维能力.
过程与方法：
通过具体函数归纳与概括幂函数定义、图象和性质，体
验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力.
情感、态度与价值观：
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的
能力，培养学生合作交流的意识.
二、学习重点
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.
三、学习难点
概括幂函数的性质.
