2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期末数学试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）
1.已知直线与直线垂直，则 ______．
2.已知函数，则 ______．
3.位教师和名学生站成一排，要求位教师相邻，则不同排法的种数为______．
4.已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ______．
5.双曲线：的渐近线方程为______．
6.投掷一颗骰子，记事件，，则 ______．
7.已知点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点则的取值范围为______．
8.已知圆：，，是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为：，则直线的斜率 ______．
9.若，，，，则 ______请用一个排列数来表示
10.下列说法中正确的是______．
设随机变量服从二项分布，则；
已知随机变量服从正态分布且，则；
小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
，．
11.在某道选词填空题中，共有个空格、个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案备选单词中有一个是多余的，则个空格全部选错的概率是______．
12.如图，有一张较大的矩形纸片，，分别为，的中点，点在上，将矩形按图示方式折叠，使直线被折起的部分经过点，记上与点重合的点为，折痕为过点再折一条与平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线曲线在点处的切线与交于点，则的面积的最小值为______．
二、选择题（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）
13.某人的兴趣小组中，有名“三好生”，现从小组中任意选人参加竞赛，用表示这人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是( )
A. B. C. D.
14.已知二项式，则( )
A. 展开式中第项与第项的二项式系数相等
B. 展开式中第三项为
C. 展开式所有项的系数和为
D. 展开式中第二项的系数最大
15.若斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
16.设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
三、解答题（共78分）
17.已知．
若，求的值；
若，求的值．
18.已知函数，且在点处的切线与直线垂直．
求的值；
当时，求的导函数的最小值．
19.某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格高二某班派出甲和乙参赛在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响．
若该班获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望；
已知甲和乙都获得了决赛资格决赛的规则如下：将问题放入，两个纸箱中，箱中有道选择题和道填空题，箱中有道选择题和道填空题决赛中要求每位参赛同学在，两个纸箱中随机抽取两题作答甲先从箱中依次抽取道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再从箱中抽取题目．
求乙从箱中抽取的第一题是选择题的概率；
已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是道选择题的概率．
20.已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
求双曲线的方程；
为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
(ⅰ)求实数的取值范围．
(ⅱ)设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
21.已知函数，．
若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值；
设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围；
对于中的函数，若函数有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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17.解：在中，
取，得，
取，得，
以上两式相减，得．
的通项为，
若，可得，
所以，解得或．
18.解：，
则，
所以
因为直线的斜率为，在点处的切线与直线垂直．
所以，解得；
令．
，
在上单调递增．
的最小值是．
19.解：甲获得决赛资格的概率，乙获得决赛资格的概率，
由题意得，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以；
设事件“甲取到道选择题”，，，；事件“乙取到第一题是选择题”，
由题意可知，，，，
，，，
由全概率公式可得：；
由条件概率公式和乘法公式可得：．
20.解：设双曲线的焦距为，
此时，
因为到直线的距离为，
所以，
则，
故双曲线的方程为；
设，，
联立，消去并整理得，
此时，
因为直线与双曲线右支交于两点，
所以，
解得，
则的取值范围为；
(ⅱ)由(ⅰ)知，
又原点到直线的距离，
设，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
因为，
令
此时，
当，即时，等号成立．
综上所述，的最大值为．

21.解：已知，函数定义域为，
可得，
此时，
因为经过点的切线经过原点，
所以，
即，
解得；
因为，函数定义域为，
可得，
若函数在区间为严格递减函数，
此时在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
又，，
所以，
则实数的取值范围为；
若函数有两个极值点为，，
即在上有两个不同的根，
此时方程在上有两个不同的根，
需满足，且，，
解得，
若不等式恒成立，
即恒成立，
因为
，
不妨设，函数定义域为，
可得，
因为，
所以，单调递减，
此时，
则，
故实数的取值范围为．
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