2023-2024学年云南省玉溪一中高二（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年云南省玉溪一中高二（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“直线与直线互相垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知点是抛物线的焦点，，，在该抛物线上，若点恰好是的重心，则( )
A. B. C. D.
4.若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，点，分别是棱，的中点，点是棱靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.数列：，，，，，，，，，，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和记该数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于，两点，若，，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数
B. 回归分析中，线性相关系数的取值范围为
C. 回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好
D. 在独立性检验中，当为的临界值时，推断零假设不成立
10.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他品牌，表示可买到优质品，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数的定义域为，其导函数为，的导函数为，，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若无解，则
C. 若有一个解，则
D. 若有两个解，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数为奇函数，且最大值为则函数的最大值和最小值的和为______．
13.若的展开式中项的系数是，则实数的值为______．
14.在中，角、、所对的边分别为、、若、、成等差数列，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的前项和为，且数列是公比为的等比数列．
求的通项公式；
若，数列的前项和为，求证：．
16.本小题分
大气污染物的浓度超过一定的限度会影响人的健康，为了研究的浓度是否受到汽车流量的影响，某校数学建模社团选择了某市个监测点，统计每个监测点内过往的汽车流量单位：千辆，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度单位：，得到的数据如下表所示：
监测点编号
千辆
并计算得：．
求变量关于的线性程；
根据内浓度确定空气质量的等级标准，则浓度在为优良建模社团计划从个监测点中随机抽个监测点再做一次数据统计，记抽到空气质量优良的监测点个数为，求的期望．
参考公式：线性区归方程为，其中．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，点，分别在线段和的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角．
18.本小题分
已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，为上一点，面积的最大值为．
求的标准方程；
已知点，为坐标原点，不与轴垂直的直线与交于，两点，且试问：的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
函数，．
Ⅰ讨论函数的单调性；
Ⅱ若在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：因为数列是公比为的等比数列，
又，所以．
当时，，
由，
得，
两式相减得，
又是等比数列，所以，所以，解得，
所以．
证明：由知，
所以，
又，所以．
16.解：因为，，
，，
，
，
所以关于的线性回归方程为；
因为，，三个监测点的空气质量为优良，
所以，，，，
，
的分布列：
．
17.解：证明：因为底面为直角梯形，，
所以，
因为，点是线段的中点，
所以，又因为，
所以四边形为平行四边形，
又因为，
所以平行四边形为矩形，
所以，
因为平面，且平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，且平面，
所以，
因为，且点是线段的中点，
所以 ，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，且，
所以直线，，两两垂直，
以为原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由得，
，，，，，，
由知平面，
所以为平面的一个法向量，
，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，取得，，
所以，
所以，
设平面与平面夹角的为，则，
因为，所以，
即平面与平面夹角为．
18.解：设椭圆的半焦距为，
由题，面积最大值为，则，解得
所以椭圆方程为．
设直线的方程为，，，
将代入，得，，
由得，，，
由，得，即，，
整理得，
即，
所以，，
所以直线：经过，且恒成立，
，
令，则，
所以，
当且仅当时取等号，即，时，的面积取最大值为．
19.解：Ⅰ，
当时，，在递增；
当时，，在递增，
当时，，由，
所以时，，递增，
当，，递减，
综上可得，当时，在递增；当时，在递增，在递减．
Ⅱ设，，
则，
当时，由，，可得，
于是在递增，恒成立，符合题意．
当时，由于时，，
而，故在递增，而，
则存在一个，使得，所以时，递减，
故，不符题意，
故．
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