正弦函数、余弦函数的图象学情分析
初中运算以具体数字为主，运算量小；高中以字母为主，更加抽象(也更接近数学的本质)，并且引入对字母的分类讨论，对学生的发散思维能力提出了很高要求, 教师讲的太多，会导致学生产生依赖心理，时间一长，会形成恶性循环；教师讲的太多，往往拔苗助长，适得其反；让学生积极动脑思考，过程虽然慢一些，但可以培养学生捕捉问题的敏捷性，对以后的数学学习非常有利，可谓“磨刀不误砍柴工”。教师要从各方面引导学习数学要深入下去，不能浅尝辄止，半途而废，要适时鼓励学生，给学生以学好数学的勇气和信心。鼓励学生不要怕出错，大胆尝试，大胆地写，给学生敢写、敢做树立自信心。
在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，在第一册学生已经掌握了函数的有关对应的知识和概念,同时已经具备了一定的自学能力,这在我们今天学校用“五点法”作图提供了基础，让学生动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。积极地鼓励学生自主的去完成作业。遇到有疑问的问题积极的解决。同时要求学生课下通过对图像的研究对三角函数的性质有个初步的认识，为下一节课的学习奠定基础.
《正余弦函数的图象》教学效果分析
本节课首先通过一个关于简谐振动的视频引入课题，让学生对正弦函数的图象有一个直观的认识。这样既激发了学生的学习兴趣，又很好地将数学与物理联系在一起。为学生了解三角函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系提供了鲜活的素材。同时，简谐振动试验形象直观，符合学生的认知规律。
通过简谐振动简单认识了正弦函数的图象以后，我们就着手去画函数的图象，这样学生就遇到一个问题——描点不易操作。为了解决这一问题，首先复习三角函数线中的正弦线作以铺垫，进而让学生找点，这体现了从特殊到一般的思想，使学生易于接受。从实际教学来看，效果非常明显，学生很快就找到了描点的方法。正弦函数的图象顺利作出以后，我们又使用了一个用几何画板做成的动画加以演示，学生这时情绪高涨，印象非常深刻。紧接着，我们抛出问题：如何作出余弦函数的图象？我们借助诱导公式和图象平移，问题便迎刃而解。然后，我们用学生演示的方式让学生自主发现正余弦函数图象中起关键作用的五个特征点。从而引出“五点法”作图。教师演示正弦函数，学生完成余弦函数，培养学生自主学习能力，巩固学习成果。
在应用环节，我们设计了一道例题、一道变式和一道思考题，利用这几道题对所学内容进行巩固。通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力。这里再一次体现了由浅入深、循序渐进的教学原则。同时，题目还渗透了图象变换的内容，为后续章节的学习埋下伏笔，做好铺垫。
本节课的主要内容就是函数作图，为了引导学生勤于动手，规范作图的意识，我们对学生讲义作了设计，为学生提供了坐标系。从实际操作来看，效果明显。绝大多数同学作图都非常认真，作出的图象更是整洁、大方。
小结环节充分发挥学生的主动性，让学生总结本节课的收获，通过教师点评，让学生明确本节课的重点和难点。
总之，本节课充分发挥了学生的主体地位，教师很好地把握了教师的教与学生的学之间的关系。充分体现了自主学习、探究学习、小组合作学习等教学理念。通过检测发现，本节课效果很好，达到了预定目标。
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象教学设计
教学目标
1.通过简谐振动实验演示,让学生对函数图像有一些直观的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.
2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.
3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.
重点难点
教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.
教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.
教学用具：多媒体教学、几何画板软件、ppt控件
教学过程
导入新课
1.(物理实验导入)视频观看“简谐运动”实验.得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?象.
2.(复习导入)复习相关准备知识：三角函数、三角函数线。画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢?
问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图象?
对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1上的各分点作x轴的垂线,就可以得到对应于0、、、、、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.
图1
对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)
图2
操作结果、总结提炼:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图象.
②左、右平移,每次2π个长度单位即可.
提出问题
如何画出余弦函数y=cosx,x∈R的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?
意图:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.
讨论结果:
把正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.
图3
正弦函数y=sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.
提出问题
问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?
问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?
活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:
(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.
对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象.
讨论结果:①略.
②关键点也有五个,它们是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
学生练习巩固：1。用五点法作出函数y=sinx在［0,2π］上的图象；2. 用五点法作出函数y=cosx在［0,2π］上的图象
应用示例
例1 画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π].
解:(1)按五个关键点列表:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
1+sinx
1
2
1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).
图4
(2)按五个关键点列表:
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).
图5
思考题：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．通过观察两条曲线，说出它们的异同．
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
x
0
π
cosx
0
1
0
-1
0
课堂小结
以提问的方式,让学生总结本节课的内容，
画正弦函数、余弦函数的图像的方法：①几何作图法②五点法作图③图像变化法
书面作业
1.课本p46 A组1
2.学案：P105 3
课外作业：
(1)查找单位圆中的三角函数线和三角函数的图象资料.
(2)预习1.4.2
正弦函数、余弦函数的图像教材分析
三角函数是基本初等函数之一，是描述周期现象的重要数学模型，是函数大家庭的一员。除了基本初等函数的共性外，三角函数也有其个性的特征，如图像、周期性、单调性等，所以本节内容有着承上启下的作用；另外，学习完三角函数的定义之后，必然要研究其性质，而研究函数的性质最常用、最形象直观的方法就是作出其图像，再通过图像研究其性质。
由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.
根据上述分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：
1、计算机辅助教学
借助多媒体教学手段，引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，给人以美的享受。
2、讨论式教学
通过观察“正弦函数的几何作图法”课件的演示，让学生分组（四人一组）讨论、交流、总结，由小组成员代表小组发表意见（不同层次的组员回答，教师给予评价不同），说出函数，的图象中起着关键作用的点。
3、讲议结合教学
教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议。
4、分层教学
提问分层、评价分层、作业分层，注意面向全体学生，充分调动不同层次学生的积极性。
正弦函数、余弦函数的图象观评记录
比较成功的地方：
1．教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．
2．教学设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从实验入手形成直观印象，然后探究画法，列表，描点、连线——“描点法”作图，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌.因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础.这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．
3．利用正弦线作出y＝sinx在[0, 2(]内的图象，再得到正弦曲线，这里借助角周而复始的变化，体会后面性质“周期”，这样的设计由局部到整体，符合探究的一般方法．
4．对于“五点法”老师让学生通过观察、学生讨论、进一步合作交流得到“五点法”作图，也是本节课中一大的亮点，充分体现以学生为主的教学思路．
5．通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程．使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣．
6．在得到正弦函数的图象后，通过一个探究，引导学生利用诱导公式，结合图象变换研究余弦函数的图象，体现了新课改中倡导的“自主探究、合作交流”的教学理念，有利于培养学生主动探究的意识．
需要改进的地方：
1．前面单摆实验学生观，作为课堂引入，时间的把握要恰当，否则会影响课堂后面内容的安排．
2．在由正弦函数的图象得到余弦函数的图象的探究过程中，设计了让学生“自主探究、合作交流”的教学思路，但学生对“合作—交流”的热情不够，不太主动——在调动学生积极参与课堂活动方面做得不够好．
正弦函数、余弦函数的图像测评练习
利用“五点法”画出下列函数在一个周期内的图像简图
2. （1）想一想函数和的图象，并在同一直角坐标系中，画出它们的草图.
（2）作出函数的草图.
3. 求函数的定义域.
4利用正弦函数图像解不等式
5 在同一坐标系中，作出函数和的图象，并由图象判断出方程 的解的个数.
正弦函数、余弦函数的图像课后反思
通过这节课的学习，学生掌握了正余弦函数图像特点，取得了较好效果。课后我认真观看录像，进行了深入的思考总结.总体而言，这节课是比较成功的，特别是对学情的把握，师生的互动，对细节方面的处理，过渡性语言的设计，等等，都多比较到位，在课堂教学有效性方面处理也很得力。
??这节课的亮点有以下几个方面：
?? 1、整堂课的教学设计体现了充分备学生的特点。根据学生的实际情况，对教学内容大胆地整改，使得教学难度适中，真正做到了因材施教。
?? 2、数学总是要在游戏中学习的。本课开场白我通过简单的学生活动，巧借学生的好胜心理和爱表现天性，激发他们的学习热情，吸引学生的眼球，并采用计算机绘图来增加学生的新鲜感，充分调动起学生的学习兴趣。在这四十五分钟里，运用丰富多彩的手段，使学生积极而充分地参与到课堂活动中来，符合新课改的理念。
?? 3、在处理教材上，我先让学生在函数的图象上直接找关键点的坐标，从而直观感知正弦曲线，再结合图像一个周期的起点和终点，使学生能很快速的画出正弦函数的图像，由浅入深，使我们的学生在思维上易于理解与接受。
?? 4、板书设计工整，善于运用多媒体辅助教学；普通话标准，教态自然大方，有较好的教学基本功。
????当然也存在一些不足。（1）在重点知识的强调上稍快，给学生的思考和发挥的空间不足。（2）时间安排上不够精当。（3）教学语言还需要不断锤炼。
?? 教育人生的精彩源于课堂，新课改也对教师提出了越来越高的要求。作为教师，我肩负着崇高的使命。必须不断学习，不断改进和超越自己，才能赢得学生的喜爱和社会的认可。这节公开课提供给了我非常好的打磨和展示自我的平台，我会以此为契机，在平日的教学实践中不断思考和创新，争取早日成为一名成熟并且优秀的数学教师！
正弦函数、余弦函数的图象课标分析
根据《高中数学课程标准》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：
1.知识与技能
正弦函数、余弦函数的图象.
2.过程与方法
（1）会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；
（2）掌握正弦函数图象的“五点作图法”；
（3）掌握正弦函数、余弦函数图象之间的关系；
（4）培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等；
（5）培养数形结合和化归转化的数学思想方法.
3.情感态度与价值观
（1）渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点；
（2）培养学生勇于探索、勤于思考的精神；
（3）培养学生合作学习和数学交流的能力；
（4）使学生懂得数学是源于生活，服务于生活的数学特点.
根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：
知识与技能目标：
能刻画正弦函数、余弦函数的图像。能用“五点法”作出正弦函数、余弦函数在一个周期内的图像简图，并能利用图像解决一些相关问题。
过程与方法目标：
通过体验利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图象的过程，体会数形结合的思想。利用正余弦函数的关系感知其函数图象间的关系。能够阐明并使用“五点法”作正弦函数、余弦函数图象的方法和步骤；
情感态度与价值观目标：
通过得出正、余弦函数图象，加深学生对“数形结合”思想的感悟，培养学生的学习兴趣和勇于探索、勇于创新的精神。
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