《方程的根与函数的零点》学情分析
一、学生具备必要的知识与心理基础．
学生已经学习了函数的概念，对初等函数的图象、性质已经有了一个比较系统的认识与理解，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础．
二、学生缺乏函数与方程联系的观点．
高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．
例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务．
三、 直观体验与准确理解定理的矛盾．
从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．
定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．
《方程的根与函数的零点》效果分析
本节课利用一元一次方程、一元二次方程、指数方程及其相应的函数的关系来引入函数零点的。可以让学生在原有函数的认知基础上，理解了简单的函数零点，再利用简单的视频引入定理，激发他们的兴趣。由简入深。由易到难，符合学生的认知过程。在教学过程中注重学生的主体地位，积极调动学生的活动，发挥学生的主动性。在教学的设计上，讲练结合，注重数学思想的点拨。让学生充分体会函数与方程的思想以及数形结合的思想在解决数学问题中的重要性。
通过本节课的学习，学生基本掌握了求函数零点的方法：图象法和方程法。但是对于成绩较好的学生可以很轻松的将方程根的问题转化成两个函数的交点问题，程度一般的学生这个转化有点难。但是基础的方程的根与函数零点的转化掌握很好！
《方程的根与函数的零点》教学设计
【环节一：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想
教师活动：请同学们思考这个问题。解方程：
（1）；（2）.（3）；（4）.
学生活动：回答，思考解法。
教师活动：第四个方程我们没有学过它的解法，通过这节课的学习我们来解决这个问题。上一章我们学习了基本初等函数，这节课我们就通过研究函数来解决方程根的问题。画出前三个方程相应函数的图象，并求出图象和x轴交点.
学生活动：动手画图并求解。
教师活动：用屏幕显示方程的根、函数的图象以及函数图象与x轴交点的坐标。观察三者之间的关系。
学生活动：观察图象，思考作答。得到方程的实数根是函数图象与x轴交点的横坐标，是使函数值为零的x的结论。
教师活动：我们就把使f（x）=0的实数x称做函数的零点．
设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．
通过回顾一次函数、二次函数、指数函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．
【环节二：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系
教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书函数零点的定义。
教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？
学生活动：思考作答。
教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书方程的根与函数零点的等价关系。
在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
教师活动：强调方程与函数的思想。
教师活动：屏幕显示函数图象，指出这几个函数的零点是？
学生活动：对比定义回答。
教师活动：强调：零点就是使函数值为0的实数而不是点！
教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。所以求函数的零点的方法有方程法和图象法。这也是数形结合思想的体现。
教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力
【环节三：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化
教师活动：用屏幕显示例题：
学生活动：快速口答。
教师活动：用屏幕显示练习：
2、函数y=f(x)的图象如下，则其零点为 .
学生活动：快速口答。
教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决的根的存在性问题？
学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。
教师活动：现在最棘手的问题是y=的图象不会画，还是不能解决。下面我们继续研究能不能不画图象就判断出零点的存在呢？
设计意图：通过纯粹靠代数运算和图象利用定义解决问题。及时矫正“零点是交点”这一误解，是学生熟悉利用方程的根和图象求函数零点的方法。
回归课堂引入，发现数形结合不能解决，激发学生进一步探究问题的积极性。
【环节四：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑
教师活动：观看《小马过河》的视频片段。
如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明她的行程一定渡过河？
学生活动：第二组。
教师活动：将河流抽象成x轴，过河的路线抽象成函数图象。过河图象就与x轴产生了交点，从而函数存在零点。怎样用代数式描述河两侧的位置那？
学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值一正一负的结论.
教师活动：屏幕展示三个函数的图象，求出零点附近的给出的函数值。
学生活动：通过观察图象和数值，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.
教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在零点？
学生活动：得出f(a)·f(b)<0的结论。
教师活动：若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？
屏幕显示不同的函数图象， 其中包括图象不连续的函数图象。
学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a,b]上连续不断的函数，在满足f(a)·f(b)<0的条件时，才会存在零点的结论。
设计意图：通过具体的生活实例直观感受零点存在的条件。通过具体的例子加以验证，通过特殊的例子完善定理内容。通过归纳得出零点存在性定理．
【环节五：归纳定理，简单运用】初识定理表象，初步解决问题。
教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书零点存在性定理。
教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．
教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容。
学生活动：读出定理。
教师活动：大家注意到了么，定理中，两个重要的条件是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线和f(a) ·f(b)<0
教师活动：屏幕显示例题：例2、判断函数f(x)=lnx+2x-6在（1，e）是否存在零点.
在黑板上板书解题过程。
屏幕展示练习：3、f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有零点( )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
4、下列函数在区间（1，2）上有零点的是( )
(A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x3-5x-5
(C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6
学生活动：学生快速完成。
设计意图：例题给出具体的区间，降低学生的解题的难度。
【环节六：深刻理解，答疑解惑】深入理解实质，解决初始问题
教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．
教师活动：结合定理的叙述形式和函数图象，解决一下问题。
（1）若f(a)f(b)>0，函数在(a,b)一定没有零点？
（2）函数y=f(x)在(a,b)内有零点，一定能得出f(a)f(b)<0的结论？
（3）满足定理条件时，函数只有一个零点？
（4）增加什么条件时，函数只有一个零点？
学生活动：通过函数图象举出反例，得出结论。
（1）若f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。
（2）函数y=f(x)在(a,b)内有零点，不一定能得出f(a)f(b)<0。
（3）满足定理条件时，只能确定f(x)在区间(a,b)内有零点，有几个不一定。
（4）满足定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。
教师活动：屏幕显示：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。
教师活动：屏幕显示：变式：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数。
在黑板上例2答案处继续板书解题过程。
教师活动：屏幕显示：练习5．求函数 的零点个数.
学生活动：两位同学板演，其他同学对照例题，运用定理，解决问题。
教师活动：点评板演同学的答案，强化解题思路和步骤书写。
归纳求函数零点或零点个数的方法：定义法，图象法，定理法。
教师活动：屏幕显示：练习6．求函数f（x）=x -2-x的零点个数，并确定区间。
学生活动：同学针对不同的问题，选择不同的方法。
设计意图：通过四个探究的设置和讨论让学生在自主探究的过程中进一步体会定理的条件和作用，进一步解决课堂引例。
【环节七：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识
教师活动：
【环节八：设置疑问，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识
教师活动：这节课我们解决方程根的存在性问题，课后思考：如何求出方程的根？
设计意图：让学生课下感受数形结合思想的不同用法，为下一节二分法做铺垫。
《方程的根与函数的零点》教材分析
一、地位与作用
1、第三章“函数与方程”是高中数学的新增内容，是近年来高考关注的热点.
2、本节课是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法;是培养学生“化归与转化思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”的优质载体.
3、本节课为下节“二分法求方程的近似解”和后续的 “算法学习”提供了基础，具有承前启后的作用.
二、教材重点：
基于上述分析，确定本节课的重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．
三、教材难点：
基于上述分析，确定本节课的难点是：发现和理解方程的根与函数零点的关系，探究发现函数存在零点的方法。
《方程的根与函数的零点》观课记录
站在第三者的角度观看自己的教学视频还是头一次。有优点也有很多的不足。
优点是：教态自然大方，能够清晰流畅的表达出自己的教学意图，能够做到师生互动，调动学生的学习积极性。
但是自己也发现了很多的不足：
教学过程中过于随性，这跟与本班学生的熟悉程度有关。
个别地方语言稍显重复，生怕学生不重视，过度的强调显得啰嗦。
板书设计不够精美，这可能与最后加的那道练习题有关。
个别地方讲的过多，没有彻底放手让学生研讨
在今后的教学过程当中，一定发扬优点，改掉一些不必要的缺点，让自己的课堂尽善尽美。
《方程的根与函数的零点》评测练习
一、选择题
1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.78
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是(??? ).
A.0 ??????B.1???????? C.2???????? D.3
5.若是方程的解，则属于区间(???? ).
A. ??????B.???????? C.???????? D.
6．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
7．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e,3)
8．下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
9．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．无法确定新 课 标 第 一 网
10．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
二、填空题
11．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．
12．下列说法正确的有________：
①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．
②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．
13．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．
14.若函数的零点位于区间内，则???????????? .
15.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围????? .
三、解答题
16．判断方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有没有实数根？为什么？
《方程的根与函数的零点》评测练习参考答案
一、选择题:
CCCBD BBDCB
二、填空题
11. 0和2 12. ③④ 13.2 14.2 15.
三、解答题
16.解：设f(x)＝log2x＋x2，
∵f()＝log2＋()2＝－1＋＝－＜0，
f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f()·f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有实根．
《方程的根与函数的零点》课后反思
一、 逐层铺垫，降低难度
本节课在课前对教材进行了深入的分析，从教学引入到例题的设置都对教材进行了大胆的改变，逐层铺垫，降低难度。具体体现在：教学引入从原本的三种类型的一元二次方程改成了一元一次方程、一元二次方程、指数方程，再加上例题的涉及，相应的也就回顾了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数基本的初等函数。让学生在熟悉的各种具体知识当中学到新的东西。在例题的设置上，大胆的把课本的例题进行了不同难度梯度的分解，加深了学生对定理的理解和定理运用时每个具体环节必要性。
二、恰当使用信息技术
本节课恰当的使用多媒体和信息技术，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程.
三、采用“提出问题—引导探究—实际应用”教学模式
本节课采用的是“ 提出问题——引导探究——实际应用”教学模式，精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.
一直有这样一种教学思想对我启发很大：希望学生“看到问题三百个，不会解题也会问.如果能教会学生善于发现问题，那么对于学生学习的兴趣和思维能力将是一个质的提高。所以也在尝试着这样上课，发现教学生自己去发现问题的过程是一个非常痛苦的过程，但我想再痛苦，也要尽可能地让这种思想影响学生。故备了如上一堂课.
《方程的根与函数的零点》课标分析
在《普通高中数学新课程标准》中对这部分的要求是这样的：“结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。”
一、知识与技能：
1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；
2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；
3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.
二、过程与方法：
1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；
2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；
3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；
4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。
三、情感、态度与价值观：
1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；
2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。
3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。
