学情分析
本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。
随着新课程的实施，我越来越关注自我评价。通过自我评价进行自我诊断、自我反思、自我调整和自我激励，是实现自我提高、自我完善和专业发展的重要途径。现将自己的课堂教学工作做以下评价总结。
一、上课前做好准备
在上课之前，我细致地分析学生，充分地把握教材，精心地设计教学进程，恰当地选择教学方法，准确地拟定教学目标并对学生多种可能的反映做出预期。实践经验告诉我们，课前准备越充分，教师在课堂上就越能游刃有余，得心应手，否则很容易出现问题甚至出现僵局。
二、课堂上有效组织教学
有许多的事例可以说明，教学效果不好、教学质量不高，主要是因为教师组织教学的意识不强，组织教学的能力欠佳。教师不仅是教育者，还是管理者。因此平时我注意把组织教学贯穿在课堂的始终，而不仅仅是上课时的一个起始环节。注意整合新颖的教学内容，组织学生的学习活动调整自己的教学计划。从不断追问中提高课堂教学管理能力。
三、课堂上充分调动学生主动参与
教学是师生共同参与的活动，课堂是师生共同活动(学习、生命成长)的场所，甚至在一定意义上教师的活动是为了引发、引导、指导学生的活动，教师的教是为了建构学生成为学习的主体。所以教师教的重要任务之一是如何让学生认真听讲、主动思维、积极配合、自觉学习。为此，在课堂教学中，我注意关注学生非智力因素的作用，包括激发学生的兴趣，培养学生克服困难的自信心和意志力，调动学生积极的情感因素等，使学生产生学习的渴望和动机，真正实现学生的主体性。
四、课堂上尊重、激发、引导学生的学习
让学生愿意学习、自觉学习、会学习是课堂教学的核心目标。课堂上我尊重学生的学习，尊重学生学习的个体差异。把握学生是否愿意学；清楚学生是否会学，学习方法是否科学。在课堂上我不失时机、有目的地激发学生学习的内在动机，教会学生正确的学习方法和学习策略。同时课堂教学中我注意避免只关注学生知识的获得而忽视其他方面的片面的绩效观。通过借助教材的文化力量和自己的教育理念，促使学生在知识与能力、理解与沟通、理想与追求、情感与态度诸方面获得良好的自我认识与自我发展。
五、课堂上恪尽职守、投入激情了
课堂是师生生命成长与延续的场所，课堂充满着责任、充满着希望。学生喜欢的是充满激情的教师，喜欢的是充满活力的课堂。课堂上我善意地对待学生出现的各种问题，以最大的热情投入工作，对教育教学充满激情，让师生共同充满阳光。
六、让教学设计在课堂上落实到位
教学设计是对教学过程以及教学中可能出现的问题和解决方法的一种事先预设，因此我是精心准备，让它具备合理性和科学性，课堂上力争用这一设计来实施。同时做好教学的课后反思，每一节课下来都要思考一下：教学目标是否实现，教学任务是否完成；重点是否突出，难点是否突破；课堂中出现的新情况，是否应对合理；并找出差距，分析原因，总结经验，吸取教训，以便采取补救措施。现在我正逐渐让自己形成反思习惯，努力提升自身的专业水平，优化自身素养。
总之，及时的进行自我评价使我找出了自己的优势和不足，促进了自我教育观念、教学方式的转变，使自己的教学方法更加灵活，提高了课堂教学效益，增强了自我发展意识，促进了科研意识和能力的提高。成就了学生和我的共同发展。
《两角差的余弦公式》教案
一、教学目标
1、知识目标
通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。
2、能力目标
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力
3、情感目标
使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
二、教学重点、难点
重点：通过探索得到两角差的余弦公式。
难点：探索过程的组织和适当引导。
三、教学过程
问题引入
任意角的三角函数的定义？
若角与的终边与单位圆的交点分别是A，B，
则
公式探究
第一步，明确探究途径与目的
提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。
如右图，在单位圆中作出角，它们的终边与单位圆分
别交于A、B两点，先假设，且，提出以下问题：
此时的取值范围是多少？
图中哪个角可以表示？
可以看作是哪两个向量的夹角？
（问题设计目的：在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣。）
第二步，复习相关知识
（1）向量的数量积运算（强调向量夹角的范围）
（2）三角函数线（结合图形，特别要强调方向问题）
第三步，推导公式
在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。
证明：在平面直角坐标系XOY内作单位圆O，以OX为 始边作角，其中，且，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则
由向量数量积的坐标表示，有：
由，且知，那么向量的夹角就是，由数量积的定义，有
于是 （1）
由于我们前面的推导均是在，且的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。事实上，只要，所表示的就是向量的夹角。（这一点可以结合图形作出说明。）
但是，若，（1）式是否依然成立呢？
当时，设与的夹角为，则
另一方面，，
于是所以
也有
综上所述，得出公式：
对任意的，
（说明：公式的推导遵循由浅入深，由特殊到一般，逐层深入的规律，这样安排，能让更多学生参与到探究当中。教材当中对公式给出了两种证明方法，一是几何方法，一是向量方法。几何方法的推导过程较为繁难，教材仅仅对特殊情况作了分析，而向量方法则显得更加直观和简洁。为了让学生体验向量工具的优点，可以布置学生在预习时按照教材的思路采取几何方法进行证明。）
第四步，公式的记忆
让学生自己总结公式的特点，便于记忆。
注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；
2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；
3.式子中α、β是任意的。
例题讲解
例1 利用差角余弦公式求。
解：
方法一：
方法二：
（设计意图：此题是对公式的直接应用，体现了角的拆分的思想。拆分的多样性，体现了变换的多样性。求解的过程可以完全由学生独立完成。）
思考：如何求？
（设计意图：由的值求的值，为后面变换函数种类的思考作出铺垫。）
课后练习1
例2
解题思路：
解：由，得
又由是第三象限角，得
所以
=
（设计意图：此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。）
思考：如果去掉条件中的，对题目和结果有没有影响？
（设计意图：让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。）
课后练习3
例3已知都是锐角，，求 的值。
（设计意图：此题是对公式的活用，由学生讨论解决。此题一般有两种方法可以求解。一种方法是把分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把看作，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解。这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式。另一种方法是把看做两角差，即，这种方法显然计算要简单得多。通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题。）
（四） 当堂检测
1. 的值为 （ C ）
A. B. C. D.
2. 的值为 （ B ）
A. B. C. D .
3.已知，则的值等于（ B ）
A. B. C. D.
4.化简=
5.若，则=
（五）小结
1.两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）。
2.两角差的余弦公式及其特点：
3.利用两角差的余弦公式解决简单的求值和证明问题。
4.三角函数解题的基本要求: 思维的有序性和表述的条理性。
（六）作业
课后练习2、4
课件17张PPT。第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦
和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式1.理解两角差的余弦公式及推导过程；3.掌握“变角”和“拆角”的方法.2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进行简单三角函数式的化简、求值；两角差的余弦公式的推导如何用任意角α与β 的正弦、余弦
来表示cos(α-β)？若 为两个任意角,
则 成立吗?在单位圆中（向量法）思考：以上推导是否有不严谨之处？当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β)若θ∈[0，π ]，则若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)PP1Oxy如图，设角 为锐角，且（三角函数线） 涉及 三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上
的三角函数线或向量的夹角公式.对于任意 , 有称为差角的余弦公式，简记为说明：
1.公式中两边的符号正好相反.
2.公式右边同名三角函数相乘再相加， 且余弦在前正弦在后.两角差的余弦公式结
论
归
纳
学
以
致
用！你会求 的值吗？课后练习 1学
以
致
用！课后练习 3 利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合. 即公式的变用.1.两角差的余弦公式：2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中， 既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，
如 ， 等.
同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.课后练习： 2、4作业谢谢！教学内容分析
本节内容是教材必修4第三章《三角恒等变换》第一节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。
过去教材曾用余弦定理证明两角和的余弦公式，虽能对学生进行思维训练，但过程繁琐，不易被学生接受。由于向量工具的引入，新教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。
从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。
基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。在教学过程中，教师要转变思想，更新教育观念，把学习的主动权交给学生，鼓励学生积极参与教学活动。教师要走出演讲者的角色，成为全体学生学习的组织者、激励者、引导者、协调者和合作者。
本节课的教学有以下闪光点： 教学设计合理，教学方法以一中模式为载体，变教为探，环环相扣，突出数形结合思想。教师教学基本功扎实，教态自然，板书合理，灵活使用多媒体。
当然，“金无足赤、人无完人”，本节课依然存在一些不足： 1、 个别问题提的不明确。 2、 由于电脑原因，出现了课件自行关闭。 3、 课堂练习的分层设计有利于学生对知识的梳理和总结，练习题的设计层次不明显，学优生得不到充分的锻炼。
当堂检测
1. 的值为 （ C ）
A. B. C. D.
2. 的值为 （ B ）
A. B. C. D .
3.已知，则的值等于（ B ）
A. B. C. D.
4.化简=
5.若，则=
这节课是一节公式推导，无论是从公式的来历，还是从公式的推导都有些难以把握。我应该怎样来组织教学呢？课前我做了大量的研究：本节课的主要任务是，两角和的余弦公式的推导和简单应用。这节课是本单元的开篇公式，它是后续公式推导的基础，地位十分重要。推导的过程综合运用了解析几何、平面几何、三角函数、代数的恒等变形的知识，体现了数学中数形结合、构造、转化与化归的数学思想和方法，我觉得是培养学生数学素养的良好题材。
在教学中因为在前面公式的推导过程中耗时较多，有头重脚轻的感觉。后面的练习时间显得紧张。就教学理念和教学过程我做了深刻的反思：
一、?反思教学理念：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，要重视学生的参与、体验过程。但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。教师通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃的学习氛围，才能使学生参与我们的教学中来。另外在关键之处教师的引导作用更是必不可少的。
二、反思教学过程：（一）创设问题情境：针对这节课的课题，从课题分析中提出问题，?教师鼓励学生大胆猜想，并验证。学生学习的积极性得到了充分的调动，思维活跃。俗话说，擒贼先擒王。两角差的余弦公式就是他们中的“王”！我们从两角差的余弦公式研究起。这样，才能使本节知识纳入本单元的知识结构中。（二）两角差的余弦公式的探究过程：分成两部分完成，一是公式的准备工作，有两项，三角函数的定义及向量的数量积的坐标运算公式。可以考虑，直接给出公式，作出合理解释、能套用就行，这样可以节省一些教学时间。其实，在我们解决某些数学问题中常会遇到类似的情况。二是公式的推导步骤。⑴在直角坐标系的单位圆中做出角⑵利用三角函数定义写出角的终边和单位元的交点坐标⑶利用向量的数量积运算列出等式⑷化简得出公式。?(三)两角和的余弦公式的简单应用。公式的简单应用，课本上没有相应的例题、习题。针对学生的实际，针对本节课选择合适的练习题是提高教学质量的保证。我觉得课堂练习、及课后作业，针对性较强，同样是这次备课较为成功之处。这里的练习有学生完成，教师辅导。
一节课成功与否，一个重要的反映是?教学的效果：?1、学生学习的积极性，参与程度。?2、学生掌握知识的程度。?3、学生的数学素养。数学素养的培养不是一朝一夕能够实现的。是一个漫长的过程，也是潜移默化的过程。?这节课在公式应用方面做得比较好，但在公式的“来源”解释上，还有些不太顺应学生的认知规律，这是我今后教学要加强的地方。
教学目标
1、知识目标
通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。
2、能力目标
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力
3、情感目标
使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
教学重点、难点
重点：通过探索得到两角差的余弦公式。
难点：探索过程的组织和适当引导。
