上海市杨浦区2023-2024学年高二（下）期末数学模拟试卷（含答案）

2023-2024学年上海市杨浦区高二（下）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“直线：与直线：互相垂直”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.设、是两条不同的直线，是一个平面，若且，则、的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 不能确定
3.已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知正方体的棱长为，点为棱的中点，点在正方形内部不含边界运动，给出以下三个结论：
存在点满足；
存在点满足与平面所成角的大小为；
存在点满足；
其中正确的个数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线的焦点坐标为 ．
6.直线的倾斜角大小是______．
7.已知圆的方程为，则圆心的坐标为______．
8.平行直线及之间的距离是______．
9.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数
频率
如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于环的概率是______．
10.如图，一个圆锥形杯子，杯口半径和杯子深度都是厘米，如果将该杯子装满饮料，则可以装______立方厘米．
11.已知，，若，则 ______．
12.同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．
13.学校开展国防知识竞赛，对名学生的竞赛成绩进行统计，发现这名同学的成绩都在的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中的值是______．
14.在平行六面体中，，，分别在棱和上，且，若，则 ______．
15.已知数列是首项是，公比为的等比数列，数列的通项公式是设双曲线的离心率为且，则当 ______时，最大．
16.早在公元世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”如图，抛物线的方程为，过点作抛物线的切线的斜率不为，将抛物线、直线及轴围成的阴影部分绕轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设数列为等差数列，其公差为，前项和为．
已知，，求及；
已知，，求．
18.本小题分
如图，三棱柱中，，，垂直于平面．
求异面直线与所成角的大小；
求点到平面的距离．
19.本小题分
某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各名学生的进球数作为样本，结果统计如下其中，；
进球数
高一人数
高二人数
请写出高二年级样本的中位数；
若高一年级样本的平均数为，求的值；
在这名学生中，高一高二年级各选取人，若“至少有一个人的进球数为”的概率是，求的值．
20.本小题分
端午节吃粽子，用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状是一个正四面体，如图记作正四面体，设棱长为．
求证：；
求箬竹叶折出的二面角的大小；
用绳子捆扎三角粽，要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短不计打结用的绳子，请在图中作出绳子捆扎的路径，并说明理由．
21.本小题分
如图，已知椭圆的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、点的横坐标小于点的横坐标．
求椭圆焦点的坐标；
是否存在常数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
当设直线的斜率不为时，设直线与交于点请提出一个与点有关的问题，并求解该问题．
备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分
参考答案
1.
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5.
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10.
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13.
14.
15.或
16.
17.解：由，，
有，解得；
由，，
有，解得，
所以．
18.解：因为三棱柱中，，，垂直于平面，
所以可以把该棱柱补成一个棱长为的正方体，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
故A，
所以即为异面直线与所成角，
因为，
所以．
即异面直线与所成角为．
由知，为边长为的等边三角形，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
所以，
即，
解得，
所以点到平面的距离为．
19.解：因为高二年级进球数不超过个的人数为人，不超过个的人数为人，
所以高二年级样本的中位数为个；
因为高一年级样本的平均数为，
所以，
即，
又因为，
所以，
联立方程，解得，
即的值为；
由题意可知，高一人中进球数为的有人，概率为；高二人中进球数为的有人，概率为，
所以“至少有一个人的进球数为”的概率是，
解得．
20.证明：取中点，连接，，
因为正四面体，所以，都是正三角形，
所以，，
因为，平面，且，
所以平面，又平面，
所以．
解：由可知，是二面角的平面角，
因为正四面体的棱长为，所以，，
所以在中，由余弦定理得：，
又二面角是锐二面角，所以，
即二面角的大小为．
正四面体展开图如下图所示：，题意要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合，使绳子长度最短，如图可知取两边中点连线即可达成要求，此时绳子最短．具体路径如下图所示：
．
21.解：椭圆的方程为，
则，，
所以，
则椭圆的焦点坐标为和；
必存在斜率，当直线斜率不为时，设直线的方程为：，，，
联立并化简得：，
，解得，
，，
又，，，，
，
若使为定值，
只需，即，其定值为；
当直线斜率为，直线的方程为，则有、，
又，，，，
，
当时，也为定值，
综上，存在一个常数，使为定值．
问题：是否在一条定直线上？
点在定直线上，理由如下：
由可知，，，
当直线的斜率不为时，，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
则，
则
，
所以，
所以点的轨迹方程为，即点在定直线上．
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