姜堰市溱潼中学高三数学开学检测题（文理）
一．填空题 姓名__________
1．在复平面中，复数为虚数单位）所对应的点位于第 象限．
2．已知函数的定义域为M，的定义域为，则
3．已知，，若，则= ．
4．椭圆的一个焦点是，那么实数的值为 ．
5．已知则的值为 ．
6．若，且与的夹角为60°，则等于 ．
7．若，则不等式的解是 ．
8.在平面直角坐标系中，向平面区域内随机抛掷一
点，则点落在平面区域内的概率＝ ．
9．设数列{an}的前n项和为，点均在函数y=3x-2的图象上．则数列{an}的通项公式为 ．
10．过直线和圆的交点的圆，并且面积最小，满足此条件的圆的方程为___________．
11．α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
②若，，m∥β，n∥β，则α∥β
③α∥β，lα，则l∥β
④若α∩β=γ，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥m，则m∥n
其中正确命题的个数为_________________
12.对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
13．设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时且，则不等式的解集为 ．
14．设函数f(x)的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使对一切实数x
均成立，则称f(x)为有界函数，下列函数：（1）f(x)=x2；（2） f(x)=2x；（3）f(x)= 2sinx；
（4）f(x)=sinx+cosx．其中是有界函数的序号是 ．
二．解答题
15. （本小题满分14分）已知向量，若，且（I）试求出和的值； （II）求的值。
16.（本小题满分14分）如图，矩形中，，
，为上的点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
17（本小题满分15分）
已知圆经过和直线相切，且圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线经过圆内一点与圆相交于两点，当弦被点平
分时，求直线的方程．
18．（本小题满分15分）数列中，且满足,.
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19、(本小题满分16分)
如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；
(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积。
20．（本小题满分16分）已知f(x)=lnx－x2+bx+3
（1）若函数f(x)在点（2，y）处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值；
（2）若f(x)在区间[1，m]上单调，求b的取值范围.
姜堰市溱潼中学高三数学开学检测题（文理）
一．填空题 姓名__________
1．在复平面中，复数为虚数单位）所对应的点位于第 一 象限．
2．已知函数的定义域为M，的定义域为，则
3．已知，，若，则= ．
4．椭圆的一个焦点是，那么实数的值为 1 ．
5．已知则的值为 ．
6．若，且与的夹角为60°，则等于 ．
7．若，则不等式的解是 ．
8.在平面直角坐标系中，向平面区域内随机抛掷一
点，则点落在平面区域内的概率＝ ．
9．设数列{an}的前n项和为，点均在函数y=3x-2的图象上．则数列{an}的通项公式为 ．
10．过直线和圆的交点的圆，并且面积最小，满足此条件的圆的方程为___________．
11．α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
②若，，m∥β，n∥β，则α∥β
③α∥β，lα，则l∥β
④若α∩β=γ，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥m，则m∥n
其中正确命题的个数为_________________
12.对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
13．设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时且，则不等式的解集为 ．
14．设函数f(x)的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使对一切实数x
均成立，则称f(x)为有界函数，下列函数：（1）f(x)=x2；（2） f(x)=2x；（3）f(x)= 2sinx；
（4）f(x)=sinx+cosx．其中是有界函数的序号是 ③，④ ．
二．解答题
15. （本小题满分14分）已知向量，若，且（I）试求出和的值； （II）求的值。
15、解：解：（I）
即
（II）
又
16.（本小题满分14分）如图，矩形中，，
，为上的点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
17（本小题满分15分）
已知圆经过和直线相切，且圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线经过圆内一点与圆相交于两点，当弦被点平
分时，求直线的方程．
17．解（Ⅰ）由题意，设圆的方程为， 1分
4分
，． 6分
所以． 7分
（Ⅱ）由题意得，而，所以， 10分
从而得直线的方程为． 12分
所以直线的方程为． 14分
18．（本小题满分15分）数列中，且满足,.
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，
由题意得，.
（2）若，
时，
故
（3）,
若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，的最大整数值是7．
即存在最大整数使对任意，均有
19、(本小题满分16分)
如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；
(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积。
19、解：（1）设米，，则
∵
∴
∴ ……2分
∴
∴ ……4分
∴
∴或 ……5分
（2） ……7分
此时 ……10分
（3）∵
令， ……11分
∵
当时，
∴在上递增 ……13分
∴
此时 ……14分
答：（1）或
（2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小面积为24平方米；
（3）当的长度是6米时，矩形的面积最小，
最小面积为27平方米。 ……15分
20．（本小题满分16分）已知f(x)=lnx－x2+bx+3
（1）若函数f(x)在点（2，y）处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值；
（2）若f(x)在区间[1，m]上单调，求b的取值范围.
解：（1） 直线2x+y+2=0 斜率为－2
令f′(2)= 得b=4 3′
f(x)=lnx－x2＋4x＋3
5′
x
1
(1,)
（,3）
3
y′
+
0
－
y
6
极大
6＋ln3
因为6+ln3>6 ∴x=1时 f(x)在[1，3]上最小值6. 8′
（2）令≥0得b≥2x－，在[1，m]上恒成立而
y=2x－在[1，m]上单调递增，最大值为2m－
∴b≥2m－ 12′
令≤0 得b≤2x－，在[1，m]上恒成立
而 y=2x－在[1，m] 单调递增，最小值为y=1
∴b≤1
故b≥2m－ 或b≤1时f(x)在[1，m]上单调． 16′
