湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下） 必修四 三角函数
1.1．1 任意角
教学目标
（1） 知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.
（2） 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．
（3） 情感与态度目标
1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
教学重点
任意角概念的理解；区间角的集合的书写．
教学难点
终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．
教学过程
一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
思考下面的角度如何表示？
（１）你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？
（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？
二、新课：
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
③角的分类：
④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
练习：请说出角α、β、γ各是多少度
（１）你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？-30°
（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？900°
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．注意：终边在坐标轴的角不属于任何象限
你能说说在直角坐标系中讨论角的好处吗？
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；
答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．
3．探究：教材P3面
锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？
试想：都有哪些角的终边与300角的终边相同？
请在坐标轴上画出-32°,328°,-392°,并找出它们的共同点
终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β = α + k·360 ° ，
k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴ k∈Z
⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差
360°的整数倍；
⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．
答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；
例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．
解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}．
例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
4．课堂小结
①角的定义；
②角的分类：
③象限角；
④终边相同的角的表示法．
练习：
1、下列命题正确的是 （ ）
A、终边相同的角一定相等
B、第一象限角都是锐角
C、锐角都是第一象限角
D、小于90°的角都是锐角
2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，则A∩B=（ ）
A、｛锐角｝B、｛小于90°的角｝
C、｛第一象限角｝D、以上都不对
3、已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
4、用集合表示第三象限角的集合。
5．课后作业：
①阅读教材P2-P5； ②教材P5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题
思考题：已知α角是第三象限角，则2α，各是第几象限角？
解：角属于第三象限，
k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)
因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)
即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈Z)
故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．
又k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z) ．
当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，则n·360°+90°＜＜n·360°+135°(n∈Z) ，
此时，属于第二象限角
当k为奇数时，令k=2n+1 (n∈Z)，则n·360°+270°＜＜n·360°+315°(n∈Z) ，
此时，属于第四象限角
因此属于第二或第四象限角．
始边
终边
顶点
A
O
B
负角：按顺时针方向旋转形成的角
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
⑵
B1
y
⑴
O
x
45°
B2
O
x
B3
y
30°
60o
负角：按顺时针方向旋转形成的角
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
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4湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下） 必修四 三角函数
1.1.2弧度制
教学目标
（1） 知识与技能目标
理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．
（2） 过程与能力目标
能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题
（3） 情感与态度目标
通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．
教学重点
弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．
教学难点
“角度制”与“弧度制”的区别与联系．
教学过程
一、复习角度制：
初中所学的角度制是怎样规定角的度量的
规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
二、新课：
1．引 入：
由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
2．定 义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
如图：AOB=1rad
AOC=2rad
周角=2rad
1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
（2）引导学生完成P6的探究并归纳：
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
4．角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
； ；；．
②将弧度化为角度：
；；；．
5．常规写法：
① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数．
② 弧度与角度不能混用．
6．特殊角的弧度
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
注意：1．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住
2．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
7．弧长公式
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
例1．把67°30＇化成弧度．
例2．把化成度． 任意角的集合 实数集R
例3．计算：
；．
例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：
；．
例5．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
；．
解: (1)
而是第三象限的角,是第三象限角.
(2) 是第二象限角.
证法一:∵圆的面积为,∴圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R,
∴扇形的圆心角大小为rad, ∴扇形面积．
证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，∴．
可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．
7．课堂小结①什么叫1弧度角 ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．
8．课后作业：
①阅读教材P6 –P8；
②教材P9练习第1、2、3、6题；
③教材P10面7、8题及B2、3题．
B
A
A
o
l=2r
r
1rad
2rad
C
r
o
正实数
零
负实数
正角
零角
负角
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