【高中数学人教B版(2019)同步练习】3.1.2函数的单调性（含答案）
文档属性
| 名称 | 【高中数学人教B版(2019)同步练习】3.1.2函数的单调性（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-30 20:34:06 | ||
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文档简介
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【高中数学人教B版(2019)同步练习】
3.1.2函数的单调性
一、单选题
1．函数在上（ ）
A．既无最大值又无最小值 B．仅有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．仅有最大值
2．对于函数① ，② ，③ ，④ ，其中在区间 上单调递减的函数的序号是（ ）
A．③④ B．①② C．②③ D．①④
3．下列函数中在 上为减函数的是（ ）
A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanx
C． D．y=sin2x+cos2x
4．下列函数中，满足“对任意，当时，都有的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．设 ， ， ，则 大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．对于定义域为D的函数 ，若同时满足下列条件：① 在D内单调递增或单调递减；②存在区间 ，使 在 上的值域为 ，那么，把 （ ）称为闭函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数 是闭函数
B．函数 是闭函数
C．函数 是闭函数
D． 时函数 是闭函数
8．定义：若函数 在区间 上的值域为 ，则称区间 是函数 的“完美区间”，另外，定义区间 的“复区间长度”为 ，已知函数 ，则（ ）
A． 是 的一个“完美区间”
B． 是 的一个“完美区间”
C． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
三、填空题
9．函数 的单调递减区间是 ．
10．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是 .
11．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是 ．
12．已知函数 ，则函数 的单调递减区间为 .
13．函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（ ）= f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；则f（ ）+f（ ）= ．
14．已知不等式 ，若对任意 且 ，该不等式恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)16．已知函数 是 上的增函数.
（1）求 的取值范围；
（2）已知： ，且 ，证明： .
17．若f（ ﹣1）=x+a．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）若f（x）＞0对任意的x≥0恒成立，求a取值范围．
18．已知函数 满足 ，且 .
（1）求a和函数 的解析式；
（2）判断 在其定义域的单调性.
19．已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）= 、f（2）= ．
（1）求a、b的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）先判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，然后求f（x）的值域．
20．已知函数 ,且 ， .
（I）求 的函数解析式；
（II）求证： 在 上为增函数；
（III）求函数 的值域.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
2．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
3．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
4．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
5．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
7．【答案】B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的单调性及单调区间
8．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
9．【答案】(1,+∞)
【知识点】复合函数的单调性
10．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
11．【答案】（4，+∞）
【知识点】复合函数的单调性
12．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
13．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明
14．【答案】a≥-1
【知识点】函数单调性的性质
15．【答案】解：由题意可知， ，解得
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质
16．【答案】（1）解：由题意，对 ， 恒成立，
① 时， 不合题意，舍去；
② 时， ，在 上， ；在 上， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
故 的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围为 .
（2）解：不妨设 ， ， 与1的大小关系可分为： 或 ，
若 ，由 是增函数可知： ，符合题意；
若 且 ，可得： ，故
，
只需证： ，
只需 ，
令 ，
则 ，
故 为增函数，而 ，故 ，
即 得证，由前面分析过程可知，不等式成立.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
17．【答案】（1）解：令t= ﹣1（t≥﹣1），则x=（t+1）2，
∴f（t）=（t+1）2+a （t≥﹣1）
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=（x+1）2+a，定义域为[﹣1，+∞）
（2）解：由f（x）=（x+1）2+a （x≥﹣1）知，f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，
所以对于任意的x≥0，函数f（x）在x=0处的取得最小值为f（0）=a+1．
要使得f（x）＞0恒成立，只需最小值f（0）＞0即可，∴a+1＞0 a＞﹣1
所以a的取值范围为a＞﹣1
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
18．【答案】（1）解：由 ，
得 ，
，
得 ；
所以 ；
（2）解：该函数的定义域为 ，
令 ，所以 ，
所以
，
因为 ， ，
所以 ，
所以 在其定义域为单调增函数.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
19．【答案】（1）解：由 得
解得
（2）解：∵f（x）=2x+2﹣x，f（x）的定义域为R，
由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），
所以f（x）为偶函数
（3）解：f（x）在[0，+∞）上为增函数．证明如下：
设x1＜x2，且x1，x2∈[0，+∞）
= =
因为x1＜x2且x1，x2∈[0，+∞）
所以 ，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数．
∴f（x）≥f（0）=2
f（x）的值域为[2，+∞）
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明
20．【答案】解：（I）函数 ,
由 得a+4b=6,①
由 得2a+5b=9,②
联立①②解得a=2,b=1,
则函数解析式为
（II）任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
∴
∵3≤x1＜x2≤5，
∴ <0,
∵ ＞0，
∴ ＜0，
∴ ,即 在 上为增函数.
（III）由（II）知 在 上为增函数
则 .
所以函数的值域为
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
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3.1.2函数的单调性
一、单选题
1．函数在上（ ）
A．既无最大值又无最小值 B．仅有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．仅有最大值
2．对于函数① ，② ，③ ，④ ，其中在区间 上单调递减的函数的序号是（ ）
A．③④ B．①② C．②③ D．①④
3．下列函数中在 上为减函数的是（ ）
A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanx
C． D．y=sin2x+cos2x
4．下列函数中，满足“对任意，当时，都有的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．设 ， ， ，则 大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．对于定义域为D的函数 ，若同时满足下列条件：① 在D内单调递增或单调递减；②存在区间 ，使 在 上的值域为 ，那么，把 （ ）称为闭函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数 是闭函数
B．函数 是闭函数
C．函数 是闭函数
D． 时函数 是闭函数
8．定义：若函数 在区间 上的值域为 ，则称区间 是函数 的“完美区间”，另外，定义区间 的“复区间长度”为 ，已知函数 ，则（ ）
A． 是 的一个“完美区间”
B． 是 的一个“完美区间”
C． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
三、填空题
9．函数 的单调递减区间是 ．
10．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是 .
11．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是 ．
12．已知函数 ，则函数 的单调递减区间为 .
13．函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（ ）= f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；则f（ ）+f（ ）= ．
14．已知不等式 ，若对任意 且 ，该不等式恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)
（1）求 的取值范围；
（2）已知： ，且 ，证明： .
17．若f（ ﹣1）=x+a．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）若f（x）＞0对任意的x≥0恒成立，求a取值范围．
18．已知函数 满足 ，且 .
（1）求a和函数 的解析式；
（2）判断 在其定义域的单调性.
19．已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）= 、f（2）= ．
（1）求a、b的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）先判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，然后求f（x）的值域．
20．已知函数 ,且 ， .
（I）求 的函数解析式；
（II）求证： 在 上为增函数；
（III）求函数 的值域.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
2．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
3．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
4．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
5．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
7．【答案】B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的单调性及单调区间
8．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
9．【答案】(1,+∞)
【知识点】复合函数的单调性
10．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
11．【答案】（4，+∞）
【知识点】复合函数的单调性
12．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
13．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明
14．【答案】a≥-1
【知识点】函数单调性的性质
15．【答案】解：由题意可知， ，解得
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质
16．【答案】（1）解：由题意，对 ， 恒成立，
① 时， 不合题意，舍去；
② 时， ，在 上， ；在 上， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
故 的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围为 .
（2）解：不妨设 ， ， 与1的大小关系可分为： 或 ，
若 ，由 是增函数可知： ，符合题意；
若 且 ，可得： ，故
，
只需证： ，
只需 ，
令 ，
则 ，
故 为增函数，而 ，故 ，
即 得证，由前面分析过程可知，不等式成立.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
17．【答案】（1）解：令t= ﹣1（t≥﹣1），则x=（t+1）2，
∴f（t）=（t+1）2+a （t≥﹣1）
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=（x+1）2+a，定义域为[﹣1，+∞）
（2）解：由f（x）=（x+1）2+a （x≥﹣1）知，f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，
所以对于任意的x≥0，函数f（x）在x=0处的取得最小值为f（0）=a+1．
要使得f（x）＞0恒成立，只需最小值f（0）＞0即可，∴a+1＞0 a＞﹣1
所以a的取值范围为a＞﹣1
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
18．【答案】（1）解：由 ，
得 ，
，
得 ；
所以 ；
（2）解：该函数的定义域为 ，
令 ，所以 ，
所以
，
因为 ， ，
所以 ，
所以 在其定义域为单调增函数.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
19．【答案】（1）解：由 得
解得
（2）解：∵f（x）=2x+2﹣x，f（x）的定义域为R，
由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），
所以f（x）为偶函数
（3）解：f（x）在[0，+∞）上为增函数．证明如下：
设x1＜x2，且x1，x2∈[0，+∞）
= =
因为x1＜x2且x1，x2∈[0，+∞）
所以 ，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数．
∴f（x）≥f（0）=2
f（x）的值域为[2，+∞）
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明
20．【答案】解：（I）函数 ,
由 得a+4b=6,①
由 得2a+5b=9,②
联立①②解得a=2,b=1,
则函数解析式为
（II）任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
∴
∵3≤x1＜x2≤5，
∴ <0,
∵ ＞0，
∴ ＜0，
∴ ,即 在 上为增函数.
（III）由（II）知 在 上为增函数
则 .
所以函数的值域为
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
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