【高中数学人教B版(2019)同步练习】 3.1.3函数的奇偶性（含答案）

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【高中数学人教B版(2019)同步练习】
3.1.3函数的奇偶性
一、单选题
1．下列各函数中为奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在其定义域内既为奇函数又为增函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知函数f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣ ]=2，则f（2016）=（　　）
A． B． C． D．
4．函数 在 的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时， ，函数 ，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（　　）
A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0） B．
C． D．
6．设定义在 上的奇函数 满足，对任意 ，且 都有 ，且 ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
7． 对于函数，则下列判断正确的是（　　）
A．在定义域内是奇函数
B．，，有
C．函数的值域为
D．对任意且，有
8．已知函数，，下列结论正确的是（　　）
A．是奇函数
B．若在定义域上是增函数，则
C．若的值域为，则
D．当时，若，则
三、填空题
9．若函数 为奇函数.则 　 　.
10．函数 为偶函数，则 　 　.
11．给出下列四个命题：
①奇函数的图象一定经过原点；
②偶函数的图象一定关于y轴对称；
③函数y=x3+1不是奇函数；
④函数y=﹣|x|+1不是偶函数．
其中正确命题序号为　 　．（将你认为正确的都填上）
12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是　 　．
13．若是定义在上的奇函数，且.若对任意的两个不相等的正数，，都有，则的解集为　 　.
14．已知 为定义在 上的偶函数， ，且当 时， 单调递增，则不等式 的解集为　 　.
四、解答题
15．已知函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）试判断 在区间 上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）求函数 在区间 上的最值．
16．已知函数 ，其中 为实常数.
（1）若 ，解关于 的方程 ；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由.
17．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象.
（1）若 为偶函数， ，求 的取值范围.
（2）若 在 上是单调函数，求 的取值范围.
18．已知函数f（x）=logax（a>0，且a≠1），且f（2）=1
（1）求a的值，并写出函数f（x）的定义域；
（2）设g（x）=f（2-x）-f（2+x），判断g（x）的奇偶性，并说明理由：
（3）若不等式f(t·9x）≥f(3x-t)对任意x∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围。
19．对于函数.
（1）若，且为奇函数，求a的值；
（2）若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；
（3）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．
20．已知函数f（x）=1﹣ 为定义在R上的奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
2．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
3．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
5．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
6．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
7．【答案】A,B
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；基本不等式在最值问题中的应用
8．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性
9．【答案】4
【知识点】奇函数与偶函数的性质
10．【答案】-1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
11．【答案】②③
【知识点】奇函数与偶函数的性质
12．【答案】{x｜x≥3或x≤1}
【知识点】奇偶性与单调性的综合
13．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
14．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
15．【答案】（1）解： 的定义域为 ,不关于原点对称
所以函数 为非奇非偶函数.
（2）解：任取 ，且 ，则
，
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
即函数 在区间 上是增函数.
（3）解：函数 在区间 上单调递减，
所以 ， .
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
16．【答案】（1）因为
代入可得 ，解得
所以
则 可化为
化简可得
即
解得 或
（2）
则
当 时， ， 此时 ，函数 为奇函数
当 时， ， ，此时 ，函数 为偶函数
当 时， 与 都不能成立，所以函数 为非奇非偶函数
综上可知， 当 时， 为奇函数；当 时， 为偶函数；当 时， 函数 为非奇非偶函数.
【知识点】函数的奇偶性
17．【答案】（1）解：
∴
又 为偶函数，则 ，∵ ，∴
∴
∵ ，∴
又 ，∴ 的取值范围为 .
（2）解：∵ ，∴
∵ ，∴ ，
∵ 在 上是单调函数，∴
∴ .
【知识点】函数单调性的性质；偶函数
18．【答案】（1）解：由 ，得 ，所以 .
函数 的定义域为
（2）解： ，定义域为 .
因为 ，
所以 是奇函数.
（3）解：因为函数 在 上是增函数，所以. 不等式 对
任意 恒成立，等价于不等式组
对任意 恒成立.
由（1）得 ；
由（2）得 ，依题意得 ；
由（3）得 .
令 ，则 . 易知 在区间 上是增函数，所以 在区间 上的最小值为 ，故 的最大值为 ，依题意，得 .
综上所述， 的取值范围为 .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
19．【答案】（1）解：∵，
∴，又为奇函数，
∴，
∴，对定义域内任意恒成立，
∴，解得，
此时，定义域为符合奇函数的条件，
所以
（2）解：方程，
所以，
由①可得，，即，
当时，方程有唯一解，满足②，
所以符合条件；
当时，方程有两相等解，满足②，
所以符合条件；
当且时，方程有两不等解，
若满足②，则，
若满足②，则，
所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数的取值范围为
（3）解：令，则在上为减函数，在上为增函数，
∴函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
∴，即对任意的恒成立，
设，又，所以函数在单调递增，
所以，
∴.
【知识点】奇偶性与单调性的综合
20．【答案】（1）解：（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，
所以 在R上恒成立．
所以 （a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．
所以 ，解得 或
由定义域为R舍去 ，
所以 ．
（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，
当x=0时，得 ，得a=b+1，
当x=1时，f（1）+f（﹣1）=0，得 ，
解得： ，
此时 为奇函数；
所以 ．
（2）解：函数f（x）为R上的单调增函数．
证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，
则
=
因为x1＜x2，又g（x）=2x为R上的单调增函数，所以 ，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）为R上的单调增函数．
（3）解：因为f（lnm）+f（2lnm﹣1）≤1﹣3lnm，即f（lnm）+lnm≤﹣f（2lnm﹣1）+1﹣2lnm
而函数f（x）为R上的奇函数，
所以f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm．
令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）
设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，
因为x1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）
=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，
即h（x1）＜h（x2），所以h（x）为R上的单调增函数．
因为f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm，
所以h（lnm）≤h（1﹣2lnm）所以lnm≤1﹣2lnm，
解得 ，所以实数m的范围是 ．
【知识点】奇偶性与单调性的综合
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