【高中数学北师大版（2019）同步练习】 3不等式（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
3不等式
一、单选题
1．已知函数 ，则下列结论正确的是（　　）
A． 有最小值4 B． 有最大值4
C． 有最小值-4 D． 有最大值-4
2．函数的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中mn>0，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．过点 作直线 分别交 轴正半轴， 轴正半轴于 ， 两点， 为坐标原点当 取最小值时，直线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
5．已知数列满是，，则的最小值为（　　）
A． B． C．16 D．18
6．若，则x，y满足（　　）
A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x=y
二、多选题
7．已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的可能值是（　　）
A．-4 B．-1 C．0 D．4
8．设，，且，那么（　　）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题
9．设，则函数的最小值为　 　；此时的值是　 　.
10．已知正实数，满足，则的最小值为　 　.
11．已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数m的取值范围　 　．
12．已知 ， ，且 ，则 的最小值　 　； 的最大值为　 　.
13．已知 .若 ，则当 取最大值时， 　 　；若 ，则 的最小值 　 　.
14．设正数 ， 满足 恒成立，则 的最小值是　 　.
四、解答题
15．
（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？
（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？
16．若 ， ， ，比较 ， ， 的大小.
17．
（1）已知 求 的最小值
（2）已知a，b均为正实数，且 ，求a＋b的最小值；
18．已知 ， ，且 .
（1）求 的最小值；
（2）证明： .
19．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理及生活中有着重要应用.称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数.
（1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）函数在有2个零点，求实数m的取值范围.
20．某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式： ．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．
（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；
（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？
（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示： ）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】基本不等式
2．【答案】B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
3．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
5．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
6．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
7．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
8．【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】6；2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
10．【答案】8
【知识点】基本不等式
11．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
12．【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
13．【答案】；9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
15．【答案】（1）解：设 ， ， ，由均值不等式，得 ，
当且仅当 时，取等号．
由 得 ，即当 时， 取得最小值14．
（2）解：设 ， ， ，由均值不等式，得 ．
当且仅当 时，取等号．由 得 ．即当 时， 取得最大值36.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
16．【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
，即 ，
综上可得： .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
17．【答案】（1）解： = ，
当且仅当 ,即 时取等号，
的最小值为3；
（2）解：因为a，b均为正实数，且 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，结合 ，解得 ,符合题意，
∴a＋b的最小值18.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
18．【答案】（1）解： ，当且仅当“ ”时取等号，
故 的最小值为
（2）解： ，
当且仅当 时取等号，此时 ．
故
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
19．【答案】（1）解：因为，所以，得，
所以，
所以在上恒成立，等价于.
因为，当且仅当，即时，等号成立.
所以，即实数m的取值范围为.
（2）解：因为函数在有2个零点，
所以在有2个实数根，
所以在有2个实数根，
令，易知，在上单调递增，所以，
则，
令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，作函数草图如图，
当时，函数与有两个交点，即函数在有2个零点，
所以，即.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
20．【答案】（1）解：汽车来回一次的运行成本为 ×1300v2× + ×（1300+x）v2× = （2600+x）v，冷藏成本为10x× = ，
∴W=100x﹣ （2600+x）v﹣
（2）解：∵ （2600+x）v+ ≥2 =5 ，
∴W≤100x﹣5 ，当且仅当 （2600+x）v= 即v=40 时取等号．
令100x﹣5 ≥0，得2 ≥ ，解得x≥ ，
当x= 时，v=40 =20∈（0，80]，
∴每次至少进货 千克，才可能使销售后不会亏本
（3）解：由（2）可知W≤100x﹣5 =5 （2 x﹣ ），x∈[ ，1000]，
设f（x）=2 x﹣ ，则f′（x）=2 ﹣（ + ）=2 ﹣ （ + ），
∵x∈[ ，1000]，∴ = ∈[ ，2 ]，
∵函数y=x+ 在[ ，2 ]上单调递增，
∴当 =2 时， + 取得最大值 ，
∴f′（x）≥2 ﹣ ＞0，
∴f（x）在[ ，1000]上单调递增，
∴当x=1000时，f（x）取得最大值f（1000）=1400 ，此时v=40 = ∈（0，80]，
∴W的最大值为5 ×1400 =70000．
∴当一次进货量为1000千克，车速为 千米/时时，冰淇淋店有最大净利润70000元．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
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