【高中数学北师大版（2019）同步练习】 第一章预备知识检测题（基础知识）（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
第一章预备知识检测题（基础知识）
一、单选题
1．设命题p： ， 为（　　）
A． B． x0＞0，
C． x0＞0， D． x0＞0，
2．若 且 ，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知集合A={x∈N|0≤x≤5}， AB={1，3，5}，则集合B=（　　）
A．{2，4} B．{0，2，4}
C．{0，1，3} D．{2，3，4}
4．已知全集U=R，集合A={x|x2+x＞0}，集合B= ，则（ UA）∪B=（　　）
A．[0，2） B．[﹣1，0] C．[﹣1，2） D．（﹣∞，2）
5．在中，E、F分别为AB、AC中点．P为EF上任一点，实数x、y满足．设、的面积分别为S、S1、S2、S3，记，，，则当取最大值时，2x+y的值为（　　）
A．-1 B．1 C． D．
6．正实数，满足，则的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．
7．给出下列四个命题：
①命题，则.
②当时，不等式的解集为非空.
③当时，有.
④设复数z满足（1-i）z=2i，则z=1-i
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
8．已知集合，下列说法正确的是（　　）
A．不存在实数a使得 B．当时，
C．当时， D．存在实数a使得
9． 设，且，则（　　）
A． B．
C．的最小值为0 D．的最小值为
三、填空题
10．若集合A={x|ax2﹣ax+1=0}= ，则实数a组成的集合是　 　．
11．已知函数f（x）=x2﹣2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，5]上为减函数，则实数a的取值范围为　 　．
12．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是　 　．
13．若“ ， ”是真命题，则实数m的取值范围　 　.
14．已知实数，且，则的最小值为　 　.
15．定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足 ，则称 是函数 在区间 上的一个均值点．已知函数 在区间 上存在均值点，则实数 的取值范围是　 　.
16．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ， .给出如下四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“ ”.
其中正确结论有　 　（填写正确结论标号）.
四、解答题
17．已知集合，求：
（1）；
（2）；
（3）．
18．设 , ，求：
（1）
（2）
19．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
20．已知函数的最大值为2．
（1）求的值；
（2）证明：．
21． 设非空数集M，对于M中任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.
（1）判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
（2）若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；
（3）设，证明A是数域.
22．对于集合M，定义函数 对于两个集合M，N，定义集合 已知 4，6，8， ， 2，4，8， ．
Ⅰ 写出 和 的值，并用列举法写出集合 ；
Ⅱ 用 表示有限集合M所含元素的个数，求 的最小值；
Ⅲ 有多少个集合对 ，满足P， ，且 ？
23．已知集合 集合 ，集合 ，且集合D满足 .
（1）求实数a的值.
（2）对集合 ，其中 ，定义由 中的元素构成两个相应的集合: , ,其中 是有序实数对，集合S和T中的元素个数分别为 和 ，若对任意的 ,总有 ，则称集合 具有性质P.
①请检验集合 是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T.
②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的否定
2．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
3．【答案】B
【知识点】补集及其运算
4．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
5．【答案】D
【知识点】基本不等式
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
8．【答案】A,D
【知识点】集合间关系的判断
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
10．【答案】{a|0≤a＜4}
【知识点】空集
11．【答案】[6，+∞）
【知识点】二次函数的性质
12．【答案】甲
【知识点】命题的真假判断与应用
13．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
15．【答案】（0，2）
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
16．【答案】①③④
【知识点】集合的含义
17．【答案】（1）解：因为，
如图，由数轴可知，，
（2）解：由中图知，，又因为，
所以或，
（3）解：因为，
所以或，或，
如图，由由数轴可知，或．
【知识点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算
18．【答案】（1）解：
根据集合的交集定义可得
（2）解：因为 ,即
由并集运算可得
由补集定义可得
所以
【知识点】交、并、补集的混合运算
19．【答案】（1）解：因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40，
从而包装盒子的侧面积S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）
因为S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5，
故当x=16.25时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米
（2）解：包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0， ），b≤60．
V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4 x+4x2）=x（3600﹣240x+4x）
=4x3﹣240x2+3600x．
当且仅当a=b=60时等号成立．
设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．
于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增；
当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减．
因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，此时a=b=60，x=10．
答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
20．【答案】（1）解：，当时取等号，
∵，，∴，
∴由题可知，∴.
（2）证明：，
当且仅当时等号成立.
，
当且仅当时等号成立.
∴．
【知识点】基本不等式
21．【答案】（1）解：自然数集N不是数环，例如；
整数集Z是数环，不是数域，例如；
有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域.
（2）解：若，则，即；
若，，则，即
（3）解：设，则，，，
则，
因为，所以，，
所以，满足条件①.
，因为，
所以，，所以，满足条件②.
，因为，
所以，，所以，满足条件③.
，
因，，所以，，
所以，满足条件④.
综上所述，A是数域.
【知识点】集合的含义；集合的分类
22．【答案】解：(Ⅰ) , , .
(Ⅱ)根据题意可知：对于集合 ,
① 且 ,则 ;
②若 且 ,则 .
所以要使 的值最小,2,4,8一定属于集合 ;1,6,10,16是否属于 不影响 的值;集合 不能含有 之外的元素.
所以当 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, 取到最小值4.
(Ⅲ)因为 ,
所以 .
由定义可知： .
所以对任意元素 , ,
.
所以 .
所以 .
由 知： .
所以 .
所以 .
所以 ,即 .
因为 ,
所以满足题意的集合对 的个数为 .
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法；集合间关系的判断；集合中元素的个数问题
23．【答案】（1）解：由题意，集合 ，集合 ，
因为 ，可得 ，
即 是方程 的一个根，
即 ，即 ，解得 或 ，
当 时，方程 ，解得 或 ，此时 （不合题意，舍去），
当 时，方程 ，解得 或 ，此时 （适合题意），
所以 ；
（2）解：①由（1）可知 ， ，
此时集合 不满足性质P，集合 满足性质P，
则 ，
② 与 的大小关系为： ，
证明如下： , ，
所以 不相等，所以 与 的个数相同，
所以 .
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算
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