【高中数学北师大版（2019）同步练习】 第一章预备知识检测题（能力提升）（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
第一章预备知识检测题（能力提升）
一、单选题
1．命题“”的否定为（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知集合U={﹣2，3，4，5}，M={x∈U|x2+px+q=0}，若 UM={3，5}，则实数p，q构成的集合为（　　）
A．{﹣2，﹣8} B．{﹣8，2}
C．{4，6} D．{﹣6，4}
4．已知全集，则（　　）
A． B． C． D．
5．若x>0，y>0，且，则xy有（　　）
A．最小值64 B．最大值64 C．最小值 D．最大值
6．已知正数x，y满足，则的最小值与最大值的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．设函数f（x）= ，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd∈（0，1）和命题q：a+b+c+d∈[e+e﹣1﹣2，e2+e﹣2﹣2）真假的判断，正确的是（　　）
A．p假q真 B．p假q假 C．p真q真 D．p真q假
二、多选题
8．已知集合，，若，则的值可以是（　　）
A．0 B．1 C． D．3
9．设，，且，那么（　　）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题
10．若集合{x|a≤x≤3a﹣1}表示非空集合，则a的取值范围是　 　．
11．点 ，点 在曲线 上，则 的最小值为　 　．
12．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；
⑤“若，则的解集为”的逆命题．
其中真命题是　 　．（把你认为正确命题的序号都填在横线上）
13．命题“，”是真命题，则的取值范围是　 　．
14．已知、均为正实数，且，则的最小值为　 　.
15．已知函数f（x）=﹣x2+2kx﹣4，若对任意x∈R，f（x）﹣|x+1|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是　 　
16．定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和　 　．
四、解答题
17．已知全集，集合，或
求：
（1）
（2）.
18．已知全集，集合，．求，．
19．已知，且.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值.
20．设均不为零，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
21．已知集合 且 ，设 ．
（1）若 2，3，4，5， 和 2，3，4，5， ，分别求S的值；
（2）若集合A中所有元素之和为55，求S的最小值；
（3）若集合A中所有元素之和为103，求S的最小值．
22． 设非空数集M，对于M中任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.
（1）判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
（2）若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；
（3）设，证明A是数域.
23．已知集合 集合 ，集合 ，且集合D满足 .
（1）求实数a的值.
（2）对集合 ，其中 ，定义由 中的元素构成两个相应的集合: , ,其中 是有序实数对，集合S和T中的元素个数分别为 和 ，若对任意的 ,总有 ，则称集合 具有性质P.
①请检验集合 是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T.
②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的否定
2．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
3．【答案】A
【知识点】补集及其运算
4．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
5．【答案】A
【知识点】基本不等式
6．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
8．【答案】A,D
【知识点】集合间关系的判断
9．【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
10．【答案】{a|a≥ }
【知识点】空集
11．【答案】
【知识点】二次函数的性质
12．【答案】②③⑤
【知识点】命题的真假判断与应用
13．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用
14．【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
15．【答案】[﹣3，3]
【知识点】二次函数的性质
16．【答案】14
【知识点】集合的含义
17．【答案】（1）解：因为全集，集合，或
所以 =
（2）解：或；
=或.
【知识点】交、并、补集的混合运算
18．【答案】解：， .
，
.
【知识点】交、并、补集的混合运算
19．【答案】（1）解：因为，
所以有，当且仅当时取等号，
因为，
所以由，或（舍去），因此，所以当时，有最小值；
（2）解：因为，
所以，
令，令，
因为函数在时函数单调递增，
所以函数在时也函数单调递增，
因此当时，函数有最小值，最小值为，
因此当时，有最小值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
20．【答案】（1）证明：依题意，，且均不为零，
则，
所以.
（2）解：因为，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以的最小值为3.
【知识点】基本不等式
21．【答案】（1）解： 2，3，4，5， ，
可得 ；
2，3，4，5， ，
可得
（2）解：集合A中所有元素之和为55，
由 ，
，
要使S取得最小值，不妨设 ，
可使较小的前5个数，尽可能差距最小，即相邻，
可得1，2，3，4，5，最大数为40，
则 ，
可得S的最小值为280
（3）解：若集合A中所有元素之和为103，
由 ，
，
要使S取得最小值，不妨设 ，
可使较小的前5个数，尽可能差距最小，即相邻，
可得1，2，3，4，5，最大数为88，
则 ．
可得S的最小值为568．
【知识点】集合中元素的个数问题
22．【答案】（1）解：自然数集N不是数环，例如；
整数集Z是数环，不是数域，例如；
有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域.
（2）解：若，则，即；
若，，则，即
（3）解：设，则，，，
则，
因为，所以，，
所以，满足条件①.
，因为，
所以，，所以，满足条件②.
，因为，
所以，，所以，满足条件③.
，
因，，所以，，
所以，满足条件④.
综上所述，A是数域.
【知识点】集合的含义；集合的分类
23．【答案】（1）解：由题意，集合 ，集合 ，
因为 ，可得 ，
即 是方程 的一个根，
即 ，即 ，解得 或 ，
当 时，方程 ，解得 或 ，此时 （不合题意，舍去），
当 时，方程 ，解得 或 ，此时 （适合题意），
所以 ；
（2）解：①由（1）可知 ， ，
此时集合 不满足性质P，集合 满足性质P，
则 ，
② 与 的大小关系为： ，
证明如下： , ，
所以 不相等，所以 与 的个数相同，
所以 .
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算
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