3.2 基本不等式 课件（共17张PPT）2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

(共17张PPT)
3.2 基本不等式
（第一课时）
高中数学北师大版必修第一册 第一章 预备知识
一、情境创设 导入课题
情境：请看一段视频，并观察下面这个图形在视频中出现了几次？
一、情境创设 导入课题
一、情境创设 导入课题
下面这个图形在视频中出现了 次.
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
3
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
（3） =
（2） =
问题 2： 不等式 对任意的实数都成立吗？
二、自主探究 推导公式
（1）正方形 的边长为
（4）由图可知， ，即：
问题 1：对于“情境”中的图形，把“风车”抽象成平面图形.在正方形 4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为 ,正方形 的面积 为 ， 4个直角三角形的面积和为 ，则
问题 3:设 ,当我们用分别代替上面不等式中的可以得到什么式子？取等号的条件是什么？
替换后得到：
即：
二、自主探究 推导公式
基本不等式：设 ,
（当且仅当 时，等号成立）
算术平均值
几何平均值
基本不等式又称均值不等式，也可以表述为：
两个非负实数的算术平均值大于或者等于它们的几何平均值.
二、自主探究 推导公式
要证 ①
只要证 ②
要证②, 只要证 ③
要证③, 只要证 ④
显然，④是成立的.当且仅当 时，④中的等号成立.
二、自主探究 推导公式
问题 4：还有没有其他证明基本不等式的方法？
二、自主探究 推导公式
探究：如图， 是圆的直径，点 是 上一点，
， . 过点 作垂直于 的弦 ，
连接 ， . 则：
即：
基本不等式的几何意义： 半径不小于弦长的一半
（1）半径
（2）
（3）显然
A O C B
F
≥
如图,AB是半圆O的直径，点C在AB上，且AC=,CB=.过点O作AB的垂线，交弧AB于点F,连接FC.试利用FC≥OF，写出一个关于,的不等式，并将这个不等式与基本不等式进行比较.
0三.学以致用，迁移内化
例1 已知
,当且仅当a=b=c时，等号成立.
上面三式相加，得
,当且仅当a=c时，等号成立.
,当且仅当b=c时，等号成立，
,当且仅当a=b时，等号成立，
证明：因为a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式，得
三.学以致用，迁移内化
即:
练习1.已知求证:.
证明:因为
所以，当且仅当=时，等号成立
当且仅当=时，等号成立，
，当且仅当=时，等号成立，
上面三式相乘，得
，当且仅当==时，等号成立.
三.学以致用，迁移内化
例2.已知 ，求证：
三.学以致用，迁移内化
练习2.判断下列3个命题是否正确，并说明理由.
三.学以致用，迁移内化
四、课堂小结 布置作业
数学抽象
特殊到一般
直观想象
数形结合
代换
数形结合
不
等
式
的
性
质
逻
辑
推
理
数学运算
数学建模
求最值
注意：
一正
二定
三相等
直观想象
变形
1、必作题：
课本28页： 练习 3
30页：A组3、5，B组1
五、课堂小结 布置作业
2、选作题：
课本31页：B组2
感谢聆听！