(共21张PPT)
第二十三章 旋转
章末复习
知识点1 旋转的概念及性质
1．概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．
注：旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角．
2．性质：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的两个图形全等．
1．如图1，将△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC，若∠ACB＝30°，则∠BCD＝________．
35°
图1
2．如图2，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为________．
1.6
图2
知识点2 中心对称与中心对称图形
中心对称 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点(中心)对称．
中心对称 图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
中心对称的性质：
(1)中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
(2)中心对称的两个图形是全等图形．
3．如图3，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，以下结论：①BO＝B′O；②AA′＝BB′；③∠ACB＝∠A′C′B′；④AB∥A′B′．其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
图3
C
4．“保护生态，人人有责”．下列关于生态环保的图片中，是中心对称图形的是 ( )
D
知识点3 关于原点对称的点的坐标特征
两点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为点P′(－x，－y)．
5．(2022泸州)点(－2，3)关于原点的对称点的坐标为____________．
(2，－3)
1．(2022雅安)在平面直角坐标系中，点(a＋2，2)关于原点的对称点为(4，－b)，则ab的值为 ( )
A．－4 B．4
C．12 D．－12
D
2．(2022内江改编)如图4，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，点C的坐标为(0，1)，AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是 ( )
A．绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
图4
D
3．(2022吉林)第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图5，这个图案绕着它的中心旋转角α(0°＜α＜360°)后能够与它本身重合，则角α可以为__________________度．(写出一个即可)
60(答案不唯一)
图5
4．在图6所示的坐标系中，将△ABC绕某点旋转一定的角度可以得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是__________．
(1，2)
图6
5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图7所示，已知A(－2，3)，B(－3，1)，C(－1，2)．
(1)画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于原点O对称的图形△A2B2C2；
图7
答图1
解：(1)如答图1，△A1B1C1即为所求．
(2)如答图1，△A2B2C2即为所求．
(3)连接CC2，则线段CC2的长为_________．
答图1
6．如图8，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转100°得到△DBE，连接AD，CE交于点F，AD与BC交于点G．
(1)求证：△ABD≌△CBE；
证明：由旋转的性质，得BA＝BD，
BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝100°．
又BA＝BC，∴BD＝BE．
∴△ABD≌△CBE(SAS)．
图8
(2)求∠AFC的度数．
解：∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠BAD＋∠ABC＝∠BCE＋∠AFC．
由(1)得△ABD≌△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE．
∴∠AFC＝∠ABC＝40°．
图8
7．(2022聊城)如图9，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P(3，2)逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是 ( )
A．(－2，3)
B．(－3，2)
C．(－2，4)
D．(－3，3)
A
图9
8．(2022呼和浩特)如图10，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC，ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是(用含α的代数式表示) ( )
图10
C
9．(2022贺州)如图11，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为____________．
(－4，8)
图11(共24张PPT)
第二十三章 旋转
内容要求
图形的变化——图形的旋转
1．通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等(见例)．
2．了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
3．探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．
4．认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．
章节课标相关内容：
学业要求
图形的变化
1．理解轴对称、旋转、平移这三类基本的图形运动，知道旋转的基本特征，会用图形的旋转认识、理解和表达现实世界中相应的现象．[几何直观、应用意识]
2．理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学的语言表达对称．[应用意识]
内容要求 学业要求
图形与坐标 1．在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系． 图形与坐标
1．会用坐标表达图形的旋转，感悟通过几何建立直观、通过代数得到数学表达的过程．在这样的过程中，感悟数形结合的思想，会用数形结合的方法分析和解决问题．
例 图形中心旋转的变与不变
在一个平面上，确定旋转中心和旋转角，通过多边形中心旋转的前后变化，分析运动过程中的变与不变．
如图1，在平面上，确定旋转中心O和旋转角θ，点P与中心 O连接得到线段OP，让线段OP绕点O逆时针旋转θ角，得到线段 OP′．这样，称点P′为点P通过中心旋转得到的点．可以看到，旋转前后线段的长度没有发生变化，即OP＝OP′．因此，通过中心旋转，虽然点P的位置发生了变化，但旋转前后的点到旋转中心的距离没有发生变化．
图1
现在，考虑一个多边形的旋转．如图2，四边形ABCD绕点O 顺时针旋转α角，得到四边形A′B′C′D′，因为图形上的每个点都绕点O顺时针旋转了同一个角度α，到点O的距离都保持不变，从而△AOB≌△A′OB′，所以AB＝A′B′．因此，可以得到结论，在旋转过程中，图形上任意两点间的距离保持不变．
图2
第1课时 图形的旋转(一)(旋转的概念及性质)
课堂讲练
知识点1 旋转的概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
注：(1)旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角；(2)旋转方向有两种：顺时针、逆时针．
例1 如图1，线段OA绕点O沿箭头方向旋转60°到OA′的位置，则：
(1)旋转中心是点_____；
(2)旋转方向是______时针；
(3)旋转角是∠_________＝______°．
O
图1
逆
AOA′
60
训练 1．如图2，经过3小时，指针OA旋转到OA′的位置，在此过程中：
(1)旋转中心是点_____，旋转方向是______时针；
(2)旋转角是∠_________＝______°．
图2
O
顺
AOA′
90
例2 如图3，△ABC经过顺时针旋转后得到△DEC，则：
(1)旋转中心是点_____；
(2)点A的对应点是点_____，
点B的对应点是点_____；
图3
C
D
(3)∠B的对应角是_______，
∠ACB的对应角是_________；
(4)线段AB的对应线段是线段______，
线段BC的对应线段是线段______．
E
∠E
∠DCE
DE
EC
训练 2．如图4，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠C＝∠AED＝90°，点E在边AB上．若△ABC旋转一定角度后可以与△ADE重合，则：
图4
(1)旋转中心是点_____，
旋转方向是__________；
(2)旋转角度是________；
(3)∠C的对应角是_________，
线段AD的对应线段是线段______．
A
逆时针
45°
∠AED
AB
知识点2 旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离________；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__________；
(3)旋转前、后的图形________(即对应线段相等、对应角相等)．
相等
旋转角
全等
例3 如图5，△A′B′C′是由△ABC绕点O顺时针旋转59°得到的．
(1)旋转角是
∠_______＝∠________＝∠_______＝______°；
(2)AB＝__________，∠ABC＝∠____________；
(3)连接AA′，则△OAA′是________三角形．
图5
AOA′
BOB′
COC′
59
A′B′
A′B′C′
等腰
训练 3．如图6，△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE， ∠B＝35°，∠BAC＝70°，AB＝7 cm，BC＝6 cm．
(1)旋转角∠BAD＝∠_______＝______°；
(2)△ABC______△ADE；
(3)AD＝_____cm，DE＝_____cm；
(4)∠D＝______°，∠E＝______°．
CAE
图6
50
≌
7
6
35
75
1．下列现象属于旋转的有__________．(填序号)
①②③
2．【应用意识】如图7所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是 ( )
A．60°
B．72°
C．90°
D．120°
B
图7
3．如图8，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，将△ABC绕点A旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一直线上，则旋转角是 ( )
A．145°
B．125°
C．70°
D．55°
B
图8
4．如图9，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，将△ADE顺时针旋转一定角度后得到△ABF．
(1)旋转中心是点_____；
(2)旋转角是∠_______＝∠_______＝______°；
(3)若DE＝2，则AF＝_______；
(4)连接EF，则△AEF是____________三角形．
A
图9
DAB
EAF
90
等腰直角
随 堂 测
1．下列运动属于旋转的是 ( )
A．足球在草地上滚动
B．火箭升空
C．汽车在急刹车时向前滑行
D．钟表时针的摆动
D
2．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕某点旋转n°(0(1)旋转中心是点_____，
旋转方向是_________；
(2)旋转角∠CAB＝∠EAD＝______°；
图1
(3)线段BC的对应线段是______，
∠ACB的对应角是_______.
A
逆时针
90
DE
∠E
3．如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝6，将△ADE顺时针旋转一定角度后能够与△ABC重合，且点C恰好是AD的中点.
(1)旋转中心是点____，旋转的度数为_______；
(2)求∠BAE的度数和AE的长．
A
图2
解：由(1)，得∠CAE＝∠BAD＝140°，
∴∠BAE＝360°－∠CAE－∠BAD＝80°.
由旋转的性质，得AB＝AD，AC＝AE.
∴AE＝AC＝3.
140° (共21张PPT)
第二十三章 旋转
第3课时 中心对称
课堂讲练
知识点1 中心对称的概念
(1)把一个图形绕着某一点旋转_________，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点________或____________，这个点叫做____________(简称中心)；
(2)这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的__________．
180°
对称
中心对称
对称中心
对称点
例1 如图1，已知四边形ABCD和四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，要得到A′B′C′D′，需要将四边形ABCD绕点O旋转_______°．
180
图1
训练 1．如图2，若△AOB和△DOC成中心对称，则：
(1)对称中心是点_____；
(2)点A的对称点是点_____，点B的对称点是点_____．
O
图2
D
C
知识点2 中心对称的性质
(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过____________，而且被对称中心所________；
(2)中心对称的两个图形是________图形．
对称中心
平分
全等
例2 如图3，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称．
图3
(1)点A，O与_______三点在同一直线上；
(2)OA＝________，OB＝________，OC＝________；
(3)∠ABC＝∠_____________，AC＝__________．
A′
OA′
OB′
OC′
A′B′C′
A′C′
训练 2．如图4，△ABC和△ADE是成中心对称的两个图形．
(1)对称中心是点_____，点C的对称点是点_____；
(2)点A是线段BD和线段______的中点；
(3)∠B＝∠_____，∠C＝∠_____；
图4
(4)连接BE，CD，则四边形BCDE的形状是______________．
A
E
CE
D
E
平行四边形
知识点3 中心对称作图
例3 如图5，画出△ABC关于点A成中心对称的图形△ADE，其中点B的对称点为点D．
图5
解：如答图1，△ADE即为所求．
答图1
训练 3．如图6，在平面直角坐标系中，画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A′B′C′．
图6
解：如答图2，△A′B′C′即为所求．
答图2
1．图1所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是 ( )
A
2．如图7，已知△ABC与△DEF成中心对称，则对称中心是
( )
A．点C
B．点D
C．线段BC的中点
D．线段CF的中点
D
图7
3．请按以下要求作图：
(1)如图8，线段AB和线段A′B′关于点M成中心对称，画出点M；
图8
解：如答图3，点M即为所求．
答图3
(2)如图9，画出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′．
图9
解：如答图4，△A′B′C′即为所求．
答图4
4．如图10，△ABC和△DEC关于点C成中心对称．若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长为_________．
图10
5．【转化思想】如图11，直线a，b垂直相交于点O，曲线c关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为_____．
6
图11
随 堂 测
1．下列各组图形中，成中心对称的是 ( )
D
2．如图1，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不一定成立的是 ( )
A．点A与点D是对应点
B．BO＝EO
C．∠ACB＝∠FED
D．AB∥DE
C
图1
3．如图2，已知△ABC和△A′B′C′关于某一点成中心对称，线段BC的对应线段为B′C′.
(1)请找出对称中心O，并补全△A′B′C′；
图2
解：如答图1，点O和△A′B′C′即为所求．
答图1
(2)若AB＝8，AC＝7，BC＝5，则△A′B′C′的周长为______.
20
4．如图3，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心点E的坐标是 ( )
A．(3，－1)
B．(0，0)
C．(2，－1)
D．(－1，3)
A
图3(共15张PPT)
第二十三章 旋转
微专题 旋转模型
类型 “手拉手”模型
两等边三角形 “手拉手”模型 两等腰直角三角形 “手拉手”模型 两正方形
“手拉手”模型
图示
已知 △ABC和△AEF是等边三角形，BE与CF相交于点O． △ABC和△AEF是等腰直角三角形，BE与CF相交于点O． 四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，BE与DG相交于点O．
两等边三角形 “手拉手”模型 两等腰直角三角形 “手拉手”模型 两正方形
“手拉手”模型
结论 ①△ABE≌△ACF，BE＝CF； ②∠BOC＝∠EOF＝60°； ③连接OA，则OA平分∠BOF． ①△ABE≌△ACF，BE＝CF； ②∠BOC＝∠EOF＝90°(即BE⊥CF)； ③连接OA，则OA平分∠COE． ①△ABE≌△ADG，BE＝DG；
②∠BOD＝∠EOG＝90°(即BE⊥DG)；
③连接OA，则OA平分∠DOE．
结论③的证明提示： △ABE和△ACF(△ADG)的对应边BE，CF(DG)上的高相等．
1．如图1，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BCO绕点C顺时针旋转60°得到△ACD，则下列结论不正确的是 ( )
A．BO＝AD
B．∠DOC＝60°
C．OD⊥AD
D．OD∥AB
D
图1
2．在一次小组合作探究课上，小明将正方形ABCD和正方形AEFG按如图2所示的位置摆放(点E，A，D在同一条直线上)，连接BE，DG．小明与小组组员讨论后，提出了以下三个问题，请你帮他解答：
(1)BE和DG之间的数量关系为__________．
BE＝DG
图2
(2)将正方形AEFG绕点A按逆时针旋转到如图3所示的位置时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
图3
解：(1)中的结论仍然成立．理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°．
∴∠EAG－∠BAG＝∠BAD－∠BAG，
即∠EAB＝∠GAD．
∴△EAB≌△GAD(SAS)．
∴BE＝DG．
(3)将正方形AEFG绕点A旋转到如图4所示的位置时，线段BE和DG有怎样的数量和位置关系？请写出结论并证明．
图4
解：BE＝DG，且BE⊥DG．
证明：∵AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD＋∠DAE＝∠EAG＋∠DAE，
即∠BAE＝∠DAG．
∴△EAB≌△GAD(SAS)．
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．
如答图1，设BE与AD交于点H，与DG交于点I．
∵∠AHB＝∠IHD，∴∠DIH＝∠BAH＝90°．
∴BE⊥DG．
答图1
类型 “半角”模型
等边三角形 “半角”模型 等腰直角三角形 “半角”模型 正方形
“半角”模型
图示
等边三角形 “半角”模型 等腰直角三角形 “半角”模型 正方形
“半角”模型
已知 在等边三角形ABC中，点E在边BC上，∠EAD＝30°，将△ACE绕点A顺时针旋转得到△ABF，使AC与AB重合，连接DF． 在等腰直角三角形ABC中，点E在边BC上，∠EAD＝45°，将△ACE绕点A顺时针旋转得到△ABF，使AC与AB重合，连接DF． 在正方形ABCD中，点E在边CD上，∠EAG＝45°，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，使AD与AB重合．
结论 ①△AED≌△AFD； ②CE＝BF，DE＝DF． ①△AED≌△AFD； ②CE＝BF，DE＝DF． ①△AEG≌△AFG；
②EG＝FG＝DE＋BG．
3．如图5，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，连接EF，则下列结论：
图5
①∠EAF＝45°；②BF＝CD；③BC＝2DE；
④BE2＋CD2＝DE2．其中一定正确的是 ( )
A．①③ B．②④
C．①②④ D．①②③④
C
4．如图6，已知△ABC是边长为1的等边三角形，以BC为底边作△BCD，使得DB＝DC，且∠BDC＝120°，点M是边AB上的一个动点，作∠MDN交边AC于点N，且∠MDN＝60°，则△AMN的周长为_____．(提示：将△DCN绕点D旋转，使CD与BD重合)
图6
2
5．如图7，正方形ABCD的边长为9，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．
图7
图7
(1)求证：EF＝MF；
(2)当AE＝3时，求EF的长．
解：由题意，得AB＝BC＝9．
∵AE＝3，∴BE＝AB－AE＝6，CM＝AE＝3．
设CF＝x，则BF＝9－x，EF＝MF＝3＋x．
在Rt△EBF中，BE2＋BF2＝EF2，
即62＋(9－x)2＝(3＋x)2．
图7(共25张PPT)
第二十三章 旋转
第5课时 关于原点对称的点的坐标
课前预习
1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，3)，B(2，－2)，C(－3，0)．
(1)在平面直角坐标系中，分别画出点A，B，C关于原点的对称点A′，B′，C′；
图1
答图1
(2)点A(2，3)关于原点的对称点为A′(_____，_____)，
点B(2，－2)关于原点的对称点为B′(_____，_____)，
点C(－3，0)关于原点的对称点为C′(_____，_____)．
－2
－3
－2
2
3
0
答图1
关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′______________．
(－x，－y)
课堂讲练
例1 点A(－4，3)关于原点中心对称的点的坐标为 ( )
A．(4，3) B．(－4，－3)
C．(4，－3) D．(3，－4)
C
训练 1．若点A(0，2)与点B关于原点对称，则点B的坐标为 ( )
A．(2，0) B．(－2，0)
C．(0，2) D．(0，－2)
D
例2 已知点A(a，1)与点B(5，b)关于原点对称，则a，b值分别是 ( )
A．a＝1，b＝5 B．a＝5，b＝1
C．a＝－5，b＝1 D．a＝－5，b＝－1
D
训练 2．已知点A(m，3)与点B(－1，n)关于原点对称，则m＋n的值为 ( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
C
例3 如图2，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(3，1)，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1的顶点坐标．
图2
解：如答图2，△A1B1C1即为所求．
A1(－1，－4)，B1(－1，－1)，
C1(－3，－1)．
答图2
训练 3．如图3，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上．
(1)写出△ABC各顶点的坐标；
解：A(－2，2)，B(－3，0)，C(－1，－1)．
图3
(2)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
解：如答图3，△A1B1C1即为所求．
A1(2，－2)，B1(3，0)，C1(1，1)．
图3
答图3
易错点 区分关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征
例4 如图4，矩形ABCD的中心恰为原点O，已知A(2，1)，AB∥y轴，AD∥x轴．
图4
(1)点A与点B关于_______对称，点B的坐标为____________；
(2)点A与点C关于________对称，点C的坐标为______________；
(3)点A与点D关于_______对称，点D的坐标为____________．
x轴
(2，－1)
原点
(－2，－1)
y轴
(－2，1)
已知 P(x，y) 关于x轴 的对称点 P1(x，－y) 横坐标相同，
纵坐标互为相反数．
关于y轴 的对称点 P2(－x，y) 纵坐标相同，
横坐标互为相反数．
关于原点 的对称点 P3(－x，－y) 横、纵坐标都互为相反数．
1．点(5，1)和点(－5，1)的位置关系是 ( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．以上都不对
2．若点P(－m，m－3)关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为 ( )
A．m＞3 B．0＜m＜3
C．m＜0 D．m＜0或m＞3
B
C
3．在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形AOB按如图5所示的方式放置，∠A＝90°，若OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐标为______________．
(－1，－1)
图5
4．如图6，直线y＝2x＋4分别交x轴、y轴于A，B两点，点A，B关于原点的对称点分别为点A′，B′．
(1)在图中画出点A′，B′，并写出点A′，B′的坐标；
图6
解：如答图4，点A′，B′即为所求．A′(2，0)，B′(0，－4)．
答图4
解：如答图4，点A′，B′即为所求．A′(2，0)，B′(0，－4)．
(2)求直线A′B′的解析式，并判断直线AB和直线A′B′的位置关系．
答图4
随 堂 测
1．点(6，0)关于原点对称的点的坐标为 ( )
A．(6，0) B．(0，6)
C．(－6，0) D．(0，－6)
2．在平面直角坐标系中，点P(－5，m2＋3)关于原点的对称点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
D
3．已知点M(－a，b)与点N(3，－2)关于原点对称，则ab的值是 ( )
A．－3 B．6
C．－6 D．9
B
4．如图1，已知AB∥CD∥x轴，且AB＝CD＝3，点A的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(1，－1).
(1)求点B，D的坐标；
图1
解：∵AB∥CD∥x轴，A(－1，1)，C(1，－1)，
∴点B，D的纵坐标分别是1，－1.
∵AB＝CD＝3，
∴点B的横坐标为－1＋3＝2，
点D的横坐标为1－3＝－2.
∴B(2，1)，D(－2，－1).
(2)观察点A，B，C，D的坐标，试说明它们有什么特征．
解：∵A(－1，1)，C(1，－1)的横、纵坐标互为相反数，
∴点A，C关于原点对称．
同理，点B，D也关于原点对称．
图1(共17张PPT)
第二十三章 旋转
第6课时 课题学习 图案设计
课堂讲练
例1 下列能运用图形的平移设计的图案是 ( )
D
训练 1．如图1，从乙图案变为甲图案，需要经过的图形变换是 ( )
A．旋转、对称
B．平移、对称
C．旋转、平移
D．旋转、旋转
C
图1
例2 下列四个图形中，能通过其中一部分平移得到的是 ( )
B
训练 2．图2是由六个全等的四边形拼成的图案，它也可看作是以某个“基本图案”通过旋转得到的，以下不能作为“基本图案”的是 ( )
B
图2
例3 如图3，将左边的图形通过连续旋转可以得到右边的图形，则每次旋转的度数为 ( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
C
图3
训练 3．将如图4所示的紫荆花图案旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可能是 ( )
A．30°
B．60°
C．72°
D．90°
C
图4
1．将图5所示的图案绕点O逆时针方向旋转90°得到的图案是 ( )
D
图5
2．若一个图形绕着某点O旋转角α后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．已知等边三角形关于中心点O有角β的旋转对称，则β的度数可以是 ( )
A．60° B．72°
C．108° D．120°
D
3．请你用四个图6所示的小正方形，按下列要求拼成一个大正方形，请在图7中完成作图．
(1)拼成的大正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)拼成的大正方形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)拼成的大正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
图6
图7
解：作图如答图1所示．(答案不唯一)
答图1
随 堂 测
1．(2022北部湾)2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图1所示的会徽经过平移得到的是 ( )
D
图1
2．下列图案中，不能由一个基本图形通过旋转得到的是 ( )
C
3．对图2所示图形依次的变化描述正确的是 ( )
A．翻折、旋转、平移 B．旋转、翻折、平移
C．平移、翻折、旋转 D．翻折、平移、旋转
D
图2
4．图3所示的图案可以由下列图形经过旋转得到的是 ( )
图3
D
B
图4(共25张PPT)
第二十三章 旋转
第2课时 图形的旋转(二)(性质应用、旋转作图)
衔接回顾
1．旋转的三要素：
旋转中心、旋转方向、旋转角度．
2．旋转的性质：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前后的图形全等(即对应线段相等、对应角相等)．
1．如图1，将△ABC绕点O旋转70°得到△A′B′C′，则：
图1
(1)旋转中心是点_____，旋转方向是__________，旋转角是∠________＝∠________＝∠_________＝______°；
(2)△ABC______△A′B′C′，OA＝________，BC＝__________，∠ABC______∠A′B′C′．
O
逆时针
AOA′
BOB′
COC′
70
≌
OA′
B′C′
＝
课堂讲练
知识点1 旋转的性质应用
例1 如图2，点E是正方形ABCD内的一点，AE＝1，BE＝2，CE＝3，将△ABE绕点B顺时针旋转到△CBF的位置，连接EF．
(1)求EF的长；
图2
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°．
由旋转的性质，得BE＝BF＝2，∠EBF＝∠ABC＝90°．
∴△BEF为等腰直角三角形．
(2)若A，E，F三点共线，请直接写出∠AEB的度数及△CEF的形状．
解：∠AEB＝135°，△CEF为直角三角形．
图2
训练 1．如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转50°得到△FBE，点E恰好落在AB上，连接AF．
(1)若BC＝6，BF＝10，求AE的长；
解：由旋转的性质，得
BE＝BC＝6，BA＝BF＝10．
∴AE＝BA－BE＝10－6＝4．
图3
(2)求∠AFE的度数．
解：由旋转的性质，得∠FBE＝∠ABC＝50°，
FB＝AB，∠BEF＝∠C＝90°．
∴∠BAF＝∠BFA．
∴∠AFE＝90°－∠BAF＝25°．
图3
知识点2 旋转作图
例2 如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的△A1BC1．
图4
解：如答图1，△A1BC1即为所求．
答图1
训练 2．如图5，画出△ABC绕点O逆时针旋转180°得到的△A1B1C1．
图5
解：如答图2，△A1B1C1即为所求．
答图2
例3 如图6，在网格中画出△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的△DEC．
图6
解：如答图3，△DEC即为所求．
答图3
训练 3．如图7，画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A′B′C′．若点C的坐标为(3，1)，请写出点C′的坐标．
解：如答图4，△A′B′C′即为所求．C′(1，－3)．
答图4
图7
1．如图8，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为________．
40°
图8
2．如图9，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，点A，B，C分别和点D，E，F对应，则旋转中心的坐标是 ( )
A．(0，0)
B．(1，0)
C．(1，－1)
D．(0.5，0.5)
C
图9
3．如图10，在平面直角坐标系中，画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1．若点C的坐标为(3，－1)，请直接写出点B1，C1的坐标．
解：如答图5，△AB1C1即为所求．B1(3，2)，C1(4，6)．
答图5
图10
4．如图11，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转α得到△ACE，连接DE．
(1)求证：△ADE是等边三角形；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
由旋转的性质，得
AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
图11
(2)如图12，当α＝30°时，若AC＝4，求DE的长．
图12
随 堂 测
1．如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE.若∠BAC＝50°，则∠DAC的度数为 ( )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
A
图1
C
图2
3．如图3，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转，若点A的对应点E恰好落在CB的延长线上，则∠BDC的度数为______°.
15
图3
4．在如图4所示的正方形网格中，将△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则旋转中心可能是点A，B，C，D中的点_____.
B
图4
5．(1)如图5，画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A′B′C.
解：如答图1，△A′B′C即为所求．
图5
答图1
(2)如图6，画出将△ABC绕点H逆时针旋转90°得到的△A1B1C1.
解：如答图2，△A1B1C1即为所求．
图6
答图2(共23张PPT)
第二十三章 旋转
第4课时 中心对称图形
课前预习
轴对称图形 中心对称图形
把一个平面图形_________________________，直线两旁的部分能够互相重合(如右图)．这条直线就是它的对称轴． 把一个图形_____ ________________________，旋转后的图形能够与原来的图形重合(如右图)．这个点就是它的对称中心．
沿一条直线(直线l)折叠
绕着某一个点(点O)旋转180°
课堂讲练
例1 下列图形是中心对称图形的请打“√”，否则打“×”．
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
√
×
×
×
√
训练 1．(2022广州)下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
C
例2 如图1，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．判断下列说法，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)□ABCD是中心对称图形； ( )
(2)△AOB与△COD关于点O对称； ( )
(3)△AOB是中心对称图形． ( )
√
√
×
图1
训练 2．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．判断下列说法，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)菱形ABCD是中心对称图形； ( )
(2)点A与点D关于点O对称； ( )
(3)△ABO与△CDO关于点O对称． ( )
图2
√
×
√
例3 已知如图3所示的图形是中心对称图形，请找出它的对称中心．
图3
解：如答图1，点O即为它的对称中心．
答图1
训练 3．已知如图4所示的图形是中心对称图形，请找出它们的对称中心．
解：如答图2，点O即为它们的对称中心．
答图2
图4
中心对称 中心对称图形
概念 把一个图形绕某一点旋转_______°，能够与_______ _______重合． 把一个图形绕某一点旋转_______°，能够与_____________重合．
同 绕某一点旋转180°，重合
180
另一个
图形
180
原来的图形
中心对称 中心对称图形
异 两个图形 (△OAB与△OCD关于点O成中心对称) 一个图形
(矩形ABCD是中心对称图形)
联系 如果将中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形就是中心对称图形； 一个中心对称图形，如果把对称的两部分看成两个图形，那么它们成中心对称．
1．(2022济南)下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
B
2．已知如图5所示的图形是中心对称图形，则对称中心是( )
A．点E
B．点F
C．线段BF的中点
D．线段EF的中点
D
图5
3．图6中的阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在______处．(填序号)
②
图6
4．【知识背景】过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都能将其分成全等的两部分．
【知识储备】如图7，直线m经过□ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则S四边形AEFB______S四边形CFED．(填“＞”“＜”或“＝”)
＝
图7
【知识应用】如图8，从前有一个财主，他有一块平行四边形形状的土地，土地中有一个圆形池塘．财主想要把这块土地平分给他的两个儿子，且中间的池塘也要平分．但他不知道应该怎么分，请你帮忙想个办法．
解：如答图3，过平行四边形对角线的交点与圆的圆心作直线(即直线n)，即可平分土地和池塘．
图8
答图3
随 堂 测
1．(2022齐齐哈尔)下面四个交通标志中，是中心对称图形的是 ( )
A
2．(2022大庆)观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
D
3．(2022无锡)雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为 ( )
A．扇形 B．平行四边形
C．等边三角形 D．矩形
B
4．八个大小相同的正方形按图1所示的方式摆放，求作一条直线将整个图形分成面积相等的两部分．(用三种不同的方法分割)
图1
解：所做直线如答图1所示．
答图1
