(共28张PPT)
第二十二章 二次函数
第10课时 实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题)
课堂讲练
例1 如图1，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，如果不考虑空气阻力，小球的飞行轨迹可近似看作抛物线，其飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间满足函数关系y＝－2x2＋10x．
请根据以上信息解答下列问题：
图1
(1)小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
图1
(2)小球从飞出到落地所用时间是多少？
解：当y＝0时，－2x2＋10x＝0．
解得x1＝0，x2＝5．
∴小球从飞出到落地所用时间是5 s．
图1
图2
(1)求实心球在飞行过程中的最大飞行高度；
图2
(2)求该男生与实心球落地点间的水平距离．
图2
图3
(1)求抛物线的解析式．
图3
(2)足球能否射入球门？请通过计算说明理由．
图3
训练 2．如图4，某广场要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一根长2.25米的水管OA，水管顶端装有喷水头，喷出的抛物线形水柱在与池中心水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m．
(1)求抛物线的解析式．
解：由题意，得抛物线的顶点坐标为(1，3)．
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3．
将(0，2.25)代入，得a＋3＝2.25．解得a＝－0.75．
∴抛物线的解析式为y＝－0.75(x－1)2＋3．
图4
(2)圆形水池的半径至少要修多少米，才能使喷出的水流不落在池外？
解：令y＝0，则0＝－0.75(x－1)2＋3．
解得x1＝－1(舍)，x2＝3．
∴圆形水池的半径至少要修3米，才能使喷出的
水流不落在池外．
图4
例3 图5是一座抛物线形拱桥，当水面的宽度AB为4米时，拱顶O与水面相距2米．
(1)请你建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
图5
图5
答图1
(2)由于下雨，水面高度上涨了1米，求此时水面的宽度．
答图1
训练 3．一辆载有长方体集装箱的货车想通过横截面为抛物线形的隧道，如图6，隧道底部宽AB为4 m，高OC为3.2 m．集装箱与货车的宽都是2.4 m，集装箱顶部距离地面2.1 m．
解：如答图2，以O点为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，C(0，3.2)．
设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－2)．
将C(0，3.2)代入，得－4a＝3.2．
解得a＝－0.8．
∴抛物线的解析式为y＝－0.8x2＋3.2．
答图2
(1)求抛物线的解析式．
(2)这辆货车能通过这个隧道吗？请说明理由．
答图2
1．【类比应用】公路上行驶的汽车在急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)满足函数关系式s＝20t－5t2．当遇到紧急情况时，司机进行急刹车，但由于惯性，汽车最多要滑行______m才能停下来．
20
2．(2022河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m．建立如图7所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
图7
解：由题意，得抛物线的顶点坐标为(5，3.2)，
∴抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.2．
将(0，0.7)代入，得0.7＝25a＋3.2．
解得a＝－0.1．
∴y＝－0.1(x－5)2＋3.2＝－0.1x2＋x＋0.7．
∴抛物线的表达式为y＝－0.1x2＋x＋0.7．
(1)求抛物线的表达式；
图7
解：当 y＝1.6时，－0.1x2＋x＋0.7＝1.6．
解得x1＝1，x2＝9．
∴小红与爸爸的水平距离为3－1＝2(m)或9－3＝6(m)．
答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为2 m或6 m．
图7
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
随 堂 测
1．某校航模组设计制作了一艘仿真模型火箭，已知火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式h＝－t2＋26t＋1，则该火箭升高的最大高度是_______m，此时的飞行时间为______s.
170
13
2．某市新建造了一座抛物线形拱桥，为方便计算，完成风险评估，建立了如图1所示的坐标系．已知桥下在正常水位时水面宽AB为20米，此时水面与拱桥顶的距离为4米，水位上升至警戒线时，水面宽CD为10米．
图1
解：∵抛物线的顶点为O(0，0)，
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2.
由题意易得点B的坐标为(10，－4).
把B(10，－4)代入y＝ax2，
图1
(1)求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，则从警戒线开始，再持续多长时间水会漫到拱桥顶？
图1(共23张PPT)
第二十二章 二次函数
第2课时 二次函数y＝ax2的图象与性质
课前预习
1．填表，并在图1的平面直角坐标系中画出一次函数y＝x＋2的图象．
(1)列表：
x －1 0
y＝x＋2
1
2
图1
答图1
(2)描点、连线：
课堂讲练
知识点 二次函数y＝ax2的图象与性质
例1 先填表，然后在图2的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
图2
4
1
0
1
4
2
0
8
2
2
0
2
8
答图2
向上
y轴
(0，0)
向上
y轴
(0，0)
向上
y轴
(0，0)
答图2
思考：
(1)顶点是抛物线的最______点．
(2)a越______，抛物线y＝ax2(a＞0)的
开口越小．
(3)当x＜0时，y随x的增大而________；
当x＞0时，y随x的增大而________．
低
大
减小
增大
答图2
训练 1．先填表，然后在图3的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
－4
－1
0
－1
－4
－2
图3
0
－8
－2
0
－2
－8
－2
答图3
向下
y轴
(0，0)
向下
y轴
(0，0)
向下
y轴
(0，0)
答图3
思考：
(1)顶点是抛物线的最______点．
(2)a越______，抛物线y＝ax2(a＜0)的
开口越小．
(3)当x＜0时，y随x的增大而________；
当x＞0时，y随x的增大而________．
高
小
增大
减小
答图3
y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
开口 开口向______ 开口向______
|a|越大，开口越小
对称轴 y轴(直线x＝0)
上
下
y＝ax2 a＞0 a＜0
顶点坐标 (0，0)
最值 当x＝0时，y有最______值为_____． 当x＝0时，y有最______值为_____．
增减性 当x＜0时，y随x的增大而________； 当x＞0时，y随x的增大而________． 当x＜0时，y随x的增大而________；
当x＞0时，y随x的增大而________．
小
0
大
0
减小
增大
增大
减小
(1)开口向______；
(2)对称轴为___________________；
(3)顶点坐标为__________；
(4)当x_______时，y随x的增大而增大；
(5)当x＝_____时，y有最______值为_____．
下
y轴(或直线x＝0)
(0，0)
＜0
0
大
0
2．若抛物线y＝ax2与抛物线y＝x2的形状和开口大小相同、开口方向相反，则a＝_______．
3．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝4x2上，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系为_________．
－1
y1＞y2
②①③
5．如图4，已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，8)．
(1)求a的值；
解：将A(－2，8)代入抛物线y＝ax2，得a×(－2)2＝8．
解得a＝2．
图4
(2)过点A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，求点B的坐标及△AOB的面积．
解：由抛物线y＝2x2的性质可知，点A，B关于y轴对称，
∴点B的坐标为(2，8)．
∴AB＝2－(－2)＝4．
图4
6．【易错点】在二次函数y＝2x2中，当－1＜x≤3时，函数y的取值范围是____________．
0≤y≤18
随 堂 测
1．二次函数y＝2x2的图象大致是 ( )
A
x … －2 －1 0 1 2 …
y … …
1
0
1
图1
答图1
(1)图象是一条__________，其开口向______；
(2)对称轴是_______；
(3)顶点坐标是__________.
抛物线
上
y轴
(0，0)
答图1
3. 如果二次函数y＝(m－3)x2(m为常数)的图象开口向上，那么m的取值范围是________.
4．已知抛物线y＝－6x2上有两点(1，y1)，(2，y2)，则y1与y2的大小关系为__________.
m＞3
y1 >y2
②①③
6．下列函数中，y随x的增大而减小的是 ( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x2(x＞0)
C．y＝2x D．y＝2x2(x＞0)
B (共15张PPT)
第二十二章 二次函数
微专题 二次函数图象与系数的关系
二次函数的图象与系数之间的关系
系数 系数符号 图象特征
c(决定与 y轴交点 的位置) c＝0 经过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
二次函数的图象与系数之间的关系
几种常见代数式的求解思路
代数式 思路点拨
b2－4ac(决定 抛物线与x轴 的交点个数) b2－4ac＝0 抛物线与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0 抛物线与x轴有两个交点
b2－4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
abc 根据抛物线开口方向、对称轴以及与y轴交点的位置进行判断
代数式 思路点拨
2a－b或2a＋b 根据抛物线对称轴的位置进行判断
a＋b＋c 当x＝1时，y＝a＋b＋c，对应点(1，a＋b＋c)
a－b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c，对应点(－1，a－b＋c)
4a＋2b＋c 当x＝2时，y＝4a＋2b＋c，对应点(2，4a＋2b＋c)
4a－2b＋c 当x＝－2时，y＝4a－2b＋c，对应点(－2，4a－2b＋c)
几种常见代数式的求解思路
类型 函数图象的判断
D
注：|a|越大，开口越小．
2．(2022株洲)已知二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能为 ( )
C
3．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图1所示，则二次函数y＝kx2＋bx的图象大致是 ( )
图1
A
4．当ab＞0时，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋b在同一坐标系中的图象大致是 ( )
D
5．在同一坐标系中，一次函数y＝－ax与二次函数y＝ax2－a的图象可能是 ( )
D
类型 根据二次函数图象判断系数之间的关系
6．(2022成都)如图2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是 ( )
A．a＞0
B．当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为(4，0)
D．4a＋2b＋c＞0
图2
D
7．(2022毕节改编)在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图3所示，有下列结论：①ac＜0；②2a－b＝0；③b2－4ac＞0；④a＋c＜b．其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
图3
C
D
图4
9．(2022青岛)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，且经过点(－3，0)，则下列结论正确的是 ( )
A．b＞0 B．c＜0
C．a＋b＋c＞0 D．3a＋c＝0
D
10．如图5，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－6，0)，B(2，0)两点，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③当x＜－2时，y随x的增大而增大；④当y＞0时，－6＜x＜2；⑤若m为任意实数，则am2＋bm≤4a－2b．其中正确的有________．(填序号)
①②
图5(共24张PPT)
第二十二章 二次函数
第3课时 二次函数y＝ax2＋k 的图象与性质
课前预习
1．将直线y＝x向上平移1个单位长度可得直线y＝________；向下平移1个单位长度可得直线 y＝________．
x＋1
x－1
课堂讲练
知识点 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
例1 先填表，然后在图1的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝x2 … …
y＝x2＋1 … …
y＝x2－1 … …
4
1
0
1
4
5
2
1
2
5
3
0
－1
0
3
图1
答图1
观察图象填空：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝x2＋1
y＝x2－1
向上
y轴
(0，0)
向上
y轴
(0，1)
向上
y轴
(0，－1)
答图1
思考：
(1)抛物线y＝x2向______平移_____个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向______平移_____个单位长度可得到抛物线y＝x2－1．
(2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝_____时，y取最______值为_____．
上
1
下
1
0
小
1
答图1
训练 1．先填表，然后在图2的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－x2 … …
y＝－x2＋1 … …
y＝－x2－1 … …
－4
－1
0
－1
－4
－3
0
1
0
－3
－5
－2
－1
－2
－5
图2
答图2
观察图象填空：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝－x2
y＝－x2＋1
y＝－x2－1
向下
y轴
(0，0)
向下
y轴
(0，1)
向下
y轴
(0，－1)
答图2
思考：
(1)抛物线y＝－x2向______平移_____个单位长度可得到抛物线y＝－x2＋1；向______平移_____个单位长度可得到抛物线 y＝－x2－1．
(2)对于二次函数y＝－x2－1，当x＝_____时，y取最______值为_______．
上
1
下
1
0
大
－1
答图2
1．二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
y＝ax2＋k 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 最值 增减性
a＞0 开口向 _____ y轴 (直线 x＝0) (0，k) 当x＝_____时，y有最______值为_____． 当x＞0时，y随x的增大而_______；
当x＜0时，y随x的增大而_______．
a＜0 开口向 _____ 当x＝_____时，y有最______值为_____． 当x＞0时，y随x的增大而_______；
当x＜0时，y随x的增大而_______．
上
0
小
k
增大
减小
下
0
大
k
减小
增大
k决定平移方向 k＞0 向上平移 简记：上加下减
k＜0 向下平移
(1)开口方向：________;
(2)对称轴为___________________；
(3)顶点坐标为____________;
(4)当x＞0时，y随x的增大而________；
(5)当x＝_____时，y有最______值为_______．
向下
y轴(或直线x＝0)
(0，－3)
减小
0
大
－3
2．(1)抛物线y＝－3x2向上平移4个单位长度，得到抛物线______________；
y＝－3x2＋4
下
2
3．已知抛物线y＝ax2＋c(a＞0)过A(－3，y1)，B(－1，y2)两点，则y1与y2的大小关系是 ( )
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
A
4．【数形结合】若二次函数y＝ax2＋c的图象如图3所示，则a，c的取值范围为 ( )
A．a＞0，c＞0
B．a＞0，c＜0
C．a＜0，c＞0
D．a＜0，c＜0
C
图3
5．已知二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象经过点A(1，－2)和点B (2，3)．
(1)求该函数的解析式；
(2)若点C(－2，m)，D(n，－2)也在该函数的图象上，且不与点A，B重合，则m＝_____，n＝_______．
3
－1
6．下列二次函数的图象：①y＝2x2；②y＝x2；③y＝－2x2＋1； ④y＝x2－3．其中形状相同的是______________，形状相同，开口方向也相同的是________．(填序号)
①③，②④
②④
随 堂 测
1．抛物线y＝－x2＋2的对称轴为 ( )
A．x轴 B．y轴
C．直线x＝2 D．直线y＝2
B
B
3．将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为___________.
4．已知二次函数y＝3x2＋k的顶点坐标为(0，5)，则k的值为_____.
y＝x2＋2
5
5．若抛物线y＝ax2＋c经过点P(1，－2)，则它也经过点 ( )
A．(－1，－2) B．(－1，2)
B．(1，2) D．(2，1)
6．已知点(－2，y1)，(1，y2)，(3，y3)是抛物线y＝－x2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 ( )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
B．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
A
D (共23张PPT)
第二十二章 二次函数
第8课时 二次函数与一元二次方程(一)
课前预习
1．(衔接回顾)直线y＝－x－6与x轴的交点坐标为____________，与y轴的交点坐标为____________．
(－6，0)
(0，－6)
课堂讲练
例1 求下列二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并填空．
(1)y＝x2－2x－3．
解：当y＝0时，x2－2x－3＝0．
解得x1＝－1，x2＝3．
当x＝0时，y＝－3．
∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，－3)．
①Δ______0；
②x2－2x－3＝0有____________的实数根；
③抛物线y＝x2－2x－3与x轴有_____个交点．
＞
两个不等
2
(2)y＝x2－6x＋9．
解：当y＝0时，x2－6x＋9＝0．解得x1＝x2＝3．
当x＝0时，y＝9．
∴抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，9)．
①Δ______0；
②x2－6x＋9＝0有____________的实数根；
③抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有_____个交点．
＝
两个相等
1
(3)y＝x2－4x＋5．
解：当y＝0时，x2－4x＋5＝0．
∵(－4)2－4×1×5＝－4＜0，∴该方程无解．
当x＝0时，y＝5．
∴抛物线与x轴没有交点，与y轴的交点坐标为(0，5)．
①Δ______0；
②x2－4x＋5＝0________实数根；
③抛物线y＝x2－4x＋5与x轴________交点．
＜
没有
没有
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴有唯一交点(0，c)．
2．二次函数与一元二次方程的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)根的情况 有两个________的实数根 有两个________的实数根 ________实数根
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点个数 有______个交点 有______个交点 ________交点
若方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的解为x1＝m，x2＝n，则抛物线 y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标为(m，0)，(n，0)，即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标．
不等
相等
没有
两
一
没有
例2 若抛物线y＝x2－2x－m与x轴有两个交点，则m的取值范围是__________．
训练 1．已知抛物线y＝－x2－2mx－1与x轴只有1个公共点，则m的值为__________．
m＞－1
1或－1
例3 若方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－2，x2＝5，则抛物线y＝ ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为____________________，其对称轴为直线
x ＝______．
(－2，0)，(5，0)
训练 2．图1是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，则抛物线与x轴的另一交点坐标是__________．
图1
(5，0)
确定抛物线对称轴的3种常见方法：
(1)对于顶点式y＝a(x－h)2＋k，对称轴为直线x＝h；
1．抛物线y＝－x2＋4x－7与x轴的交点个数是 ( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
2．抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标是___________________，与y轴的交点坐标是__________．
D
(－2，0)，(－1，0)
(0，2)
3．二次函数y＝－x2－x＋2的图象如图2所示．
图2
(1)方程－x2－x＋2＝0的解为_____________；
(2)方程－x2－x＋2＝－4的解为_____________ ______；
(3)方程－x2－x＋2＝2的解为______________.
x1＝－2，x2＝1
x1＝－3，
x2 ＝2
x1＝－1，x2＝0
4．【易错点】若关于x的二次函数y＝(k－1)x2－2x＋1的图象与x轴只有一个交点，则k的值为_____．
变式 若关于x的函数y＝(k－1)x2－2x＋1的图象与x轴只有一个交点，则实数k的值为________．
5．若抛物线y＝2(x－3)2－8与x轴的两个交点分别为点A和点B，则线段AB的长为_____．
2
1或2
4
6．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
证明：∵Δ＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移几个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
解：∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，
∴该函数图象的顶点坐标为(m，3)．
∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
随 堂 测
1．二次函数y＝x2＋x－3的图象与x轴的交点个数是 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，则方程ax2＋ bx＋c＝0的解是 ( )
A．x＝－1
B．x＝2
C．x1＝－1，x2＝2
D．x1＝1，x2＝－2
C
图1
3．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为 ( )
C
4．若抛物线y＝x2＋4x＋m与x轴的一个交点为(1，0)，则另一个交点的坐标为 ( )
A．(－1，0) B．(3，0)
C．(4，0) D．(－5，0)
5．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根之和为2，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为____________.
D
直线x＝1 (共20张PPT)
第二十二章 二次函数
第12课时 实际问题与二次函数(三)(销售问题)
课堂讲练
例1 北京冬奥会期间，某体育用品商店购进一批滑雪板，每件进价为100元，若每件售价为130元，每星期可卖出80件．为了减少库存，商家决定降价促销，经调查，每件降价1元，每星期可多卖出4件．已知该批滑雪板的售价不会低于进价，设每件滑雪板降价x元，每星期的销售利润为y元．
(1)每星期的销售量为____________件．
(80＋4x)
(2)降价后，售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大销售利润为多少？
解：由题意，得y＝(80＋4x)(130－x－100)＝－4(x－5)2＋2 500．
∵－4＜0，0＜x＜30，
∴当x＝5时，y取最大值，最大值为2 500．
∴降价后的价格为130－5＝125(元)．
答：售价定为每件125元时，每星期的销售利润最大，最大销售利润为2 500元．
训练 1．某商店销售一种水果，其成本为40元/千克，若售价为 50元/千克，则每月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，已知该水果的售价不会低于进价．设每千克水果售价为x元，月销售量为y千克．
(1)y与x之间的函数解析式为__________________．
y＝－10x＋1 000
(2)设该水果的月利润为w元．若要求月销售量不少于400千克，则每千克水果售价为多少元时月利润最大？最大月利润为多少？
解：由题意，得－10x＋1 000≥400．解得x≤60．
∴40≤x≤60．
由题意，得w＝(x－40)(－10x＋1 000)＝－10(x－70)2＋9 000．
∵－10＜0，40≤x≤60，
∴当x＝60时，w有最大值，最大值为－10×(60－70)2＋9 000＝8 000．
答：每千克水果售价为60元时月利润最大，最大月利润为8 000元．
例2 (2022广西)打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y(盒)与销售单价x(元)之间的函数图象如图1所示．
图1
(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
图1
(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
解：设该种油茶的月销售利润为w元．
由题意，得w＝(x－50)(－5x＋500)＝－5x2＋750x－25 000＝－5(x－75)2＋3 125．
∵－5＜0，50＜x＜100，
∴当x＝75时，w有最大值，最大值是3 125．
答：当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3 125元．
图1
1．某药品的原价为36元，国家决定对该药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为 ( )
A．y＝72(1－x) B．y＝36(1－x)
C．y＝36(1－x2) D．y＝36(1－x)2
D
2．某商场以每件30元的价格购进一种商品，并以不低于进价的价格进行销售，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系m＝162－3x．
解：由题意，得y＝(x－30)m＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860．
∵m＝162－3x≥0，∴x≤54．
又x≥30，∴30≤x≤54．
∴这种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y＝－3x2＋252x－4 860(30≤x≤54)．
(1)求这种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．
(2)商场销售这种商品的日销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售单价；如果不能，请说明理由．
解：不能．理由如下：
由(1)，得y＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432．
∵－3＜0，30≤x≤54，
∴当x＝42时，y有最大值，最大值为432．
∵500＞432，
∴商场销售这种商品的日销售利润不能达到500元．
3．(2022巴中)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
解：由题意，得w＝(a－40)[100－2(a－50)]＝－2(a－70)2＋1 800．
∵a－40≥0，100－2(a－50)≥0，∴40≤a≤100．
又－2＜0，∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1 800．
答：该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1 800元．
随 堂 测
1．已知进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2 000件，若衬衣售价每上涨1元，销售量便减少5件，则每月衬衣的销售总利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为_________________________ ______.(只列式，不要求化简)
w＝[2 000－5(x－100)](x－80)
2．(2022辽宁)某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x(元) … 20 22 24 …
日销售量y(千克) … 66 60 54 …
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
解：设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元．
由题意，得w＝(x－18)y＝(x－18)(－3x＋126)＝－3x2＋180x－ 2 268＝－3(x－30)2＋432，18≤x≤28.
∵－3＜0，
∴当x＝28时，w最大，最大值为－3×(28－30)2＋432＝420.
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．(共22张PPT)
第二十二章 二次函数
第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质(一)(配方法)
课前预习
1．完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__________．
2．填空：(1)x2＋2x＋_____＝(x＋_____)2；
(2)－x2＋_____x－4＝－(x－_____)2；
(4)3x2－______x＋12＝3(x－_____)2．
(a±b)2
1
1
4
2
12
2
课堂讲练
知识点1 用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式
类型1 a＝±1，b为偶数
例1 已知二次函数y＝x2－4x＋3．
(1)请用配方法将二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式；
解：y＝x2－4x＋3
＝(x－2)2－4＋3
＝(x－2)2－1．
(2)该二次函数的图象开口向______，对称轴为直线x＝_____，顶点坐标为____________．
上
2
(2，－1)
训练 1．用配方法将y＝－x2－6x化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：y＝－x2－6x＝_______________．
∴该函数的图象开口向______，对称轴为直线x＝_______，顶点坐标为____________．
－(x＋3)2＋9
下
－3
(－3，9)
类型2 a＝±1，b为奇数
例2 已知抛物线y＝x2＋3x－1．
(1)请用配方法将其化为y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)该抛物线开口向______，对称轴为直线x＝________，顶点坐标为____________；
(3)当x＝________时，y有最小值________．
上
训练 2．用配方法将二次函数y＝－x2＋5x－6化为顶点式，并指出其图象的开口方向、对称轴和最值．
类型3 a≠±1
例3 已知抛物线y＝3x2＋6x－3．
(1)将其化为y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)此抛物线的开口向______，对称轴为直线x＝_______；
(3)当x＝_______时，y有最______值为_______．
上
－1
－1
小
－6
解：y＝3x2＋6x－3
＝3(x2＋2x)－3
＝3(x2＋2x＋1－1)－3
＝3(x＋1)2－6．
知识点2 抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移
例4 将抛物线y＝x2＋4x－4先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是________________．
训练 4．将函数y＝2x2＋4x－3的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象的顶点坐标是 ( )
A．(－3，－6) B．(1，－4)
C．(1，－6) D．(－3，－4)
y＝x2＋8x＋11
C
1．将二次函数y＝x2＋6x－2化成y＝(x－h)2＋k的形式应为( )
A．y＝(x＋3)2＋7 B．y＝(x－3)2＋11
C．y＝(x＋3)2－11 D．y＝(x＋2)2＋4
2．抛物线y＝－x2＋2x＋2的顶点坐标是 ( )
A．(1，2) B．(1，3)
C．(2，2) D．(2，4)
C
B
3．用配方法将二次函数y＝－2x2＋6x化为顶点式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．将抛物线y＝2x2－4x＋1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为________________．
5．若二次函数y＝x2－2x＋a有最小值6，则a的值为_____．
y＝2x2＋8x＋5
7
随 堂 测
1．已知二次函数y＝－x2＋2x－3，将其用配方法化为y＝a(x－h)2＋k的形式是 ( )
A．y＝－(x－1)2－2 B．y＝－(x－1)2＋2
C．y＝－(x－1)2＋4 D．y＝－(x＋1)2－4
A
2．抛物线y＝x2－4x＋6的顶点坐标是 ( )
A．(4，6) B．(2，2)
C．(－2，2) D．(2，－4)
3．若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－3)2＋k，则b＝_______，k＝_______.
B
－6
－4
5．将抛物线y＝2x2－3x向右平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式为__________________.
y＝2x2－11x＋14 (共22张PPT)
第二十二章 二次函数
第7课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质(二)(公式法)
课前预习
课堂讲练
知识点1 利用公式求抛物线的对称轴和顶点坐标
例1 利用顶点坐标公式，说出抛物线y＝2x2＋4x－6的开口方向、对称轴和顶点坐标．
知识点2 利用顶点坐标公式求参数值
例2 已知抛物线y＝2x2－tx＋3的对称轴是直线x＝1，求t的值及顶点坐标．
训练 2．已知二次函数y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1的最小值为0，求m的值及该函数的解析式 ．
知识点3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质运用
例3 已知二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系为_____________．(用“＞”连接)
y1＞y3＞y2
训练 3．已知二次函数y＝－x2＋2x＋1，当－1≤x≤2时，下列说法正确的是 ( )
A．有最大值1，有最小值－2
B．有最大值2，有最小值－2
C．有最大值1，有最小值－1
D．有最大值2，有最小值1
B
1．抛物线y＝x2＋6x＋4的对称轴是 ( )
A．直线x＝6 B．直线x＝－6
C．直线x＝－3 D．直线x＝3
2．多项式2x2－6x＋10的最小值为 ( )
A．4 B．5.5
C．6.5 D．10
C
B
3．利用顶点坐标公式，求二次函数y＝2x2＋3x的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该二次函数的最值．
4．已知函数y＝－x2＋bx＋c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是 ( )
D
5．已知关于x的二次函数y＝x2－mx＋5，当x≥1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是 ( )
A．m＜2 B．m＝2
C．m≤2 D．m≥2
C
6．如图1，二次函数y＝(x－1)(x－m)(m为常数)的图象的对称轴为直线x＝3．
(1)求m的值．
图1
(2)将该二次函数的图象向下平移n个单位长度后，其恰好经过原点，求n的值及平移后图象所对应的二次函数的解析式．
解：∵m＝5，
∴二次函数的解析式为y＝x2－6x＋5．
∵平移后的二次函数的图象经过原点，
∴平移后的二次函数的解析式为y＝x2－6x．
∴n的值为5．
图1
随 堂 测
D
A．最大值－4 B．最大值－2
C．最小值－4 D．最大值－2
3．已知抛物线y＝x2＋bx＋5的顶点坐标为(1，n)，则b的值为 ( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
C
A
4．若点A(－3，y1)，B(5，y2)在二次函数y＝x2－4x－5的图象上，则y1______y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
5．已知抛物线y＝2x2－4x＋6，顶点坐标是__________，当－2＜ x＜3时，函数y的取值范围____________.
＞
(1，4)
4≤y＜22
6．已知抛物线y＝mx2－4mx－5(m≠0).
(1)写出抛物线的对称轴：____________；
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求m的值．
直线x＝2 (共32张PPT)
第二十二章 二次函数
内容要求
函数的概念
1．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例．
2．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．
3．能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值．
4．能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义．
5．结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
章节课标相关内容：
学业要求
函数的概念
1．能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义，并能找出变量之间的数量关系及变化规律，形成初步的抽象能力；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，初步形成模型观念．
2．能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义．
学业要求
3．能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值．
4．能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律．
5．能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，结合对函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测．
内容要求
二次函数
1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系．
3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题．
4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
学业要求
二次函数
1．会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义．[抽象能力、应用意识]
2．会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图；通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系．[几何直观]
学业要求
3．会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题．[几何直观、模型观念]
4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．[几何直观]
第1课时 二次函数
随 堂 测
课堂讲练
课前预习
课前预习
一般地，形如________________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是二次函数解析式的______________、______________和__________．
y＝ax2＋bx＋c
二次项系数
一次项系数
常数项
课堂讲练
知识点1 二次函数的概念
例1 下列函数中，属于二次函数的是________．(填序号)
①y＝1－4x2；②y＝x3＋2x；
⑤y＝(x＋3)2－x2．
①④
D
训练 2．二次函数y＝－3(x－1)2化为y＝ax2＋bx＋c的形式为__________________，其二次项系数是_______，一次项系数是_____，常数项是_______．
y＝－3x2＋6x－3
－3
6
－3
例3 (1)若函数y＝x2m－1＋x－3是二次函数，则m的值为______；
(2)若关于x的函数y＝(2－a)x2－3x＋4是二次函数，则a的取值范围是________．
a≠2
训练 3．已知函数y＝(a－2)x2＋bx－3．
(1)当________时，y是x的二次函数；
(2)当______________时，y是x的一次函数．
a≠2
a＝2且b≠0
知识点2 根据实际问题列二次函数关系式
例4 【教材改编，RJ九上P27】正方体的表面积S(cm2)与正方体的棱长a(cm)之间的函数关系式为_________，自变量a的取值范围为________．
S＝6a2
a＞0
训练 4．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为 y元，若每次提价的百分率相同，设每次提价的百分率是x，则y与x之间的函数关系式是________________．
y＝100(1＋x)2
D
2．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是 ( )
A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
D
3．下列具有二次函数关系的是 ( )
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
C
4．已知y＝(m＋2)x|m|＋2是关于x的二次函数，那么m的值为( )
A．－2 B．2
C．±2 D．0
注：识别二次函数需同时满足两个条件：
(1)自变量的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．
B
5．如图1，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE＝DF，四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为 ( )
A．y＝5－x
B．y＝5－x2
C．y＝25－x
D．y＝25－x2
D
图1
6．在二次函数y＝x2＋4x－3中，当x＝－1时，y的值是_______．
7．某校组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间进行一场比赛)，那么比赛的总场数y与参加的球队数n之间的函数关系式是
________________．
－6
8．如图2，用一段长为30 m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为18 m．设矩形靠墙的一边长为x(m)，面积为y(m2)．
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
图2
(2)当x＝6时，求矩形花圃的面积y(m2)．
图2
注：在实际问题中，自变量的取值范围需要结合实际情况或限定条件考虑．如该题中平行于墙的一边≤墙长．
随 堂 测
1．下列函数中，一定属于二次函数的是 ( )
A．y＝mx2＋3x B．y＝(x－1)2－x2
C
2．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是 ( )
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
C
3．若a，b，c分别是二次函数y＝－x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则 ( )
A．a＝－1，b＝3，c＝0 B．a＝－1，b＝0，c＝3
C．a＝－1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
B
4．已知函数y＝(m－7)x2＋4x－3 (m为常数)．
(1)当m_______时，该函数为二次函数；
(2)当m_______时，该函数为一次函数．
≠7
＝7
5．已知直角三角形的一条直角边长为 x cm，两条直角边的和为 7 cm，面积为 y cm2.请写出变量y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．(共16张PPT)
第二十二章 二次函数
习题课 求二次函数的解析式
类型 已知解析式中的其中一项系数＋图象上两点的坐标 一般式
1．已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－1，2)，求该抛物线的解析式．
变式 2．已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(4，0)，B(2，2)，求a，b的值．
类型 已知顶点的坐标＋图象上另一点的坐标 顶点式
3．已知某二次函数的图象的顶点为(－2，2)，且过点(－1，3)，求该二次函数的解析式．
解：由函数图象的顶点为(－2，2)，可设该二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋2．
将点(－1，3)代入，
得a×(－1＋2)2＋2＝3．解得a＝1．
∴该二次函数的解析式为y＝(x＋2)2＋2＝x2＋4x＋6．
变式 4．已知某二次函数的图象如图1所示，求该二次函数的函数解析式．
解：由图象可知抛物线的顶点坐标为(1，－4)，且过
点(0，－3)．
设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4．
把点(0，－3)代入，得a×(0－1)2－4＝－3．
解得a＝1．
∴该二次函数的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3．
图1
类型 已知与x轴的两交点坐标＋图象上另一点的坐标 交点式
5．已知抛物线与x轴交于M(1，0)，N(－3，0)两点，且经过点D(2，－5)，求该抛物线的解析式．
解：由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x＋3)．
将D(2，－5)代入，得a×(2－1)×(2＋3)＝－5．
解得a＝－1．
∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3．
变式 6．已知二次函数图象与x轴的交点的横坐标分别为－2和1，且与y轴交于点(0，3)，求这个二次函数的解析式．
1．如果某抛物线的形状和开口方向与抛物线y＝－2x2＋2相同，且该抛物线的顶点坐标是(5，－1)，那么它的解析式是 ( )
A．y＝2(x－5)2－1 B．y＝－2(x－5)2－1
C．y＝－2(x－5)2＋1 D．y＝－2(x＋5)2－1
2．已知在平面直角坐标系内，抛物线y＝x2－bx＋6经过点B(3，0)，则该抛物线的解析式为_______________．
B
y＝x2－5x＋6
3．在平面直角坐标系xOy中，某二次函数的图象上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
则这个二次函数的表达式为______________．
x … 0 1 2 …
y … 0 1 0 …
y＝－x2＋2x
4．已知某二次函数的图象经过(1，0)，(2，－2)，(0，4)三点，求这个二次函数的解析式．
5．如图2，抛物线y＝ax2＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．若OC＝2OA＝4，求该抛物线的解析式．
图2
6．已知某抛物线的对称轴为直线x＝3，且抛物线经过点A(2，0)，B(1，3)，求该抛物线的解析式．
解：解法一：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，A(2，0)，∴抛物线与x轴另一个交点为(4，0)．
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)(x－4)．
将点B(1，3)代入，
得a×(1－2)×(1－4)＝3．
解得a＝1．
∴该抛物线的解析式为y＝(x－2)(x－4)＝x2－6x＋8．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax＋4．
(1)抛物线的对称轴为直线x＝_____；抛物线与y轴的交点坐标为__________；
(2)若该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的解析式；
解：∵该抛物线的顶点恰好在x轴上，且对称轴为直线x＝1，
∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．
把点(1，0)代入y＝ax2－2ax＋4，
得a×12－2a×1＋4＝0．解得a＝4．
∴该抛物线的解析式为y＝4x2－8x＋4．
1
(0，4)
(3)已知点M(n，y1)，N(－1，y2)在该抛物线上，若y1＞y2，求n的取值范围．
解：∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴N(－1，y2)关于抛物线的对称轴的对称点为N′(3，y2)．
①当a＞0时，若y1＞y2，则n＜－1或n＞3；
②当a＜0时，若y1＞y2，则－1＜n＜3．(共21张PPT)
第二十二章 二次函数
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
课堂讲练
知识点 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
例1 先填表，然后在图1的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
2
0
0
2
0
2
2
图1
答图1
观察图象填空：
向上
y轴
(0，0)
向上
直线
x＝－1
(－1，0)
向上
直线
x＝1
(1，0)
答图1
左
1
右
1
－1
小
0
答图1
训练 1．先填表，然后在图2的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
－2
0
－2
0
－2
－2
0
答图2
观察图象填空：
向下
y轴
(0，0)
向下
直线
x＝－1
(－1，0)
向下
直线
x＝1
(1，0)
答图2
左
1
右
1
1
大
0
答图2
1．二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
y＝a(x－h)2 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 最值 增减性
a＞0 开口向 _____ 直线 x＝h (h,0) 当x＝_____时，y有最______值为_____． 当x＞h时，y随x的增大而________；
当x＜h时，y随x的增大而________．
a＜0 开口向 _____ 当x＝_____时，y有最______值为_____． 当x＞h时，y随x的增大而________；
当x＜h时，y随x的增大而________．
上
h
小
0
增大
减小
下
h
大
0
减小
增大
h决定平移方向 h＞0 向右平移 简记：左加右减
h＜0 向左平移
(1)开口向______;
(2)顶点坐标是____________；
(3)对称轴是直线__________;
(4)当x＝_______时，y有最______值_____．
上
(－3，0)
x＝－3
－3
小
0
2．(1)抛物线y＝－4x2向右平移4个单位长度后得到抛物线________________；
3．已知二次函数y＝(x－1)2，当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小．
y＝－4(x－4)2
左
4
＞1
＜1
4．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(－4，y1)和B(－3，y2)，下列结论一定成立的是 ( )
A．0＜y2＜y1 B．0＜y1＜y2
C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
5．下列关于抛物线y＝a(x＋h)2与抛物线y＝a(x－h)2的说法，正确的是 ( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．有公共顶点 D．开口方向相反
C
A
6．在如图3所示的平面直角坐标系中，画出函数y＝(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)当－2≤x≤－1时，y的取值范围为___________；
(2)当0≤x≤3时，y的取值范围为___________．
图3
4≤y≤9
0≤y≤4
解：画出函数y＝(x－1)2的图象如答图3所示．
答图3
随 堂 测
D
2．对于二次函数y＝－(x－1)2的图象，下列说法不正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＝1时，y有最大值0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
D
3．若点C(x1，m)，D(x2，n)均在抛物线y＝－2(x－3)2上，且x1＞ x2＞3，则m与n的大小关系为________.
4．将二次函数y＝(x－1)2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数解析式为_____________.
m＜n
y＝(x－3)2
5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－2)2的图象可能是 ( )
D
6．在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线x＝2的是 ( )
A．y＝2(x－2)2 B．y＝2(x＋2)2
C．y＝－2x2－4 D．y＝2x2－4
A (共41张PPT)
第二十二章 二次函数
微专题 二次函数综合
类型 线段相等或比例问题
1．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点E(t，0)为x轴上一点，若AE＝CE，求t的值．
图1
图1
图1
(2)如图2，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点F．若点D是线段EF的三等分点，求点D的坐标．
图2
图2
图2
图2
类型 最值问题
情况一 线段长度、三角形或四边形面积的最值
3．如图3，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC，A，C两点的坐标分别为(－1，0)，(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
图3
图3
(2)若点M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求MN的最大值．
图3
图3
图3
变式 若点M是第一象限内抛物线上的一点，连接BM，CM，求△BCM面积的最大值及点M的坐标．
(或“若点M是第一象限内抛物线上的一点，连接AC，BM，CM，求四边形ABMC面积的最大值，及此时点M的坐标．”)
答图1
情况二 将军饮马问题有关的最值
4．如图4，抛物线y＝(x－1)2＋n与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
图4
解：将C(0，－3)代入y＝(x－1)2＋n，
得－3＝1＋n．解得n＝－4．
∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3．
(2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当PA＋PC最小时，求点P的坐标；
(思考：若“当PA＋PC最小时”改为“当△PAC
的周长最小时”呢？)
图4
解：令y＝0，则x2－2x－3＝0．
解得x＝－1或x＝3．∴A(－1，0)，B(3，0)．
由题意可知，点A与点B关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴PA＋PC＝PB＋PC．
∴当点P，B，C在同一直线上时，PA＋PC有最小值．
如答图2，连接BC交对称轴于点P，此时PA＋PC最小．
图4
答图2
答图2
(3)点Q是抛物线对称轴上的一动点，当|QA－QC|最大时，求点Q的坐标．
图4
解：根据三角形的三边关系可知|QA－QC|≤AC．
∴当点Q，A，C在同一直线上时，|QA－QC|有最大值．
如答图3，连接AC并延长，交对称轴于点Q，此时|QA－QC|最大．
答图3
类型 三角形面积关系求点坐标
5．如图5，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交 y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式．
图5
图5
图5
三角形的面积比例问题中，常为两个三角形的一边重合，可根据同底将面积比转化为高的比进行求解．
图5
类型 特殊图形的存在性问题
情况一 直角三角形的存在性问题
6．已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图6，点P在抛物线上且横坐标为3，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．
由题意，得直线l的解析式为x＝3．
令x＝0，则y＝－3．∴C(0，－3)．
又B(6，0)，∴OB＝6，OC＝3．
∴BC2＝OB2＋OC2＝45．
图6
设D(3，n)，则BD2＝9＋n2，CD2＝9＋(n＋3)2．
△BCD为直角三角形时，分为以下三种情况：
①当∠CBD＝90°时，BD2＋BC2＝CD2．
∴9＋n2＋45＝9＋(n＋3)2．
解得n＝6．∴D1(3，6)．
②当∠BCD＝90°时，CD2＋BC2＝BD2．
∴9＋(n＋3)2＋45＝9＋n2．
解得n＝－9．∴D2(3，－9)．
图6
直角三角形的存在性问题中，注意对直角顶点的不同情况进行分类讨论，再结合勾股定理进行求解．
图6
情况二 等腰三角形的存在性问题
7．如图7，抛物线y＝ax2＋x＋c与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B(4，0)．
(1)求抛物线的解析式．
图7
(2)抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．
由(1)，得抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴A(－2，0)．
设P(1，n)，则
AP2＝9＋n2，AC2＝22＋42＝20，PC2＝1＋(4－n)2．
图7
图7
等腰三角形的存在性问题中，注意对两腰的不同情况进行分类讨论，再结合腰相等列方程求解．
图7
情况三 特殊四边形的存在性问题
8．如图8，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－4x＋c与x轴交于点A(－5，0)，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求点C的坐标．
解：将A(－5，0)代入y＝－x2－4x＋c，
得0＝－52＋4×5＋c．解得c＝5．
∴抛物线的解析式为y＝－x2－4x＋5．
∴点C的坐标为(0，5)．
图8
(2)若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在一点M，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．
理由：∵y＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－2．
设N(－2，n)，M(m，－m2－4m＋5)．
图8
图8
图8
图8
特殊四边形的存在性问题中，至少有两个确定的顶点，需要对这两点的连线为边或对角线的不同情况进行分类讨论，计算时常用到中点坐标公式．(共29张PPT)
第二十二章 二次函数
章末复习
知识点1 二次函数的概念
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
A
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
2．(2022郴州)关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是 ( )
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是(－1，5)
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
D
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1所示，下列判断正确的是 ( )
A．b＞0，c＞0
B．b＞0，c＜0
C．b＜0，c＞0
D．b＜0，c＜0
D
图1
知识点3 求抛物线的解析式
1．二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．
2．待定系数法求解析式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标．
4．把抛物线y＝－3x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 ( )
A．y＝－3(x＋1)2＋1 B．y＝－3(x＋1)2－1
C．y＝－3(x－1)2＋1 D．y＝－3(x－1)2－1
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点(－1，0)，(3，0)，则这个二次函数的解析式为_________________．
B
y＝－x2＋2x＋3
知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c 方程ax2＋bx＋c＝0
与x轴有两个公共点 Δ＝b2－4ac＞0
与x轴有一个公共点 Δ＝b2－4ac＝0
与x轴没有公共点 Δ＝b2－4ac＜0
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
注：抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点坐标为(0，c)．
2．根据图象可以确定x取何值时，y＞0或y＜0或y＝0．
B
7．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图2所示，由图象可知，方程－x2＋bx＋c＝0的解为________________．
x1＝－1，x2＝5
图2
知识点5 实际问题与二次函数
1．二次函数的最值问题；
2．解决抛物线形问题(有时需自主建立二次函数模型)．
8．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是S＝－0.25t2＋10t，无人机着陆后滑行______秒才能停下来．
20
1．已知点(－4，y1)，(4，y2)都在函数y＝x2－4x＋5的图象上，则y1，y2的大小关系为 ( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．无法确定
A
2．如图3，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象交于点A(－2，4)，B(8，2)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________________．
x＜－2或x＞8
图3
3．抛物线y＝ax2－bx－5经过点(2，3)，则2a－b＋1的值是_____．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4所示，下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③4a＋b＝0；④9a＋3b＋c＜0．其中正确的结论是__________．(填序号)
5
图4
①②③
5．在美化校园的活动中，某兴趣小组借助图5中的直角墙角(墙角两边DC和DA足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB和BC两边)．设AB＝x m，S矩形ABCD＝y m2．
图5
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
解：∵AB＝x，∴BC＝28－x．
∴y与x之间的函数关系式为y＝x(28－x)＝－x2＋28x．
∵28－x＞0，
∴自变量的取值范围是0＜x＜28．
(2)在点P处有一棵树(看作一个点)，它与墙DC和DA的距离分别是15 m和6 m，如果要将这棵树围在矩形花园的内部(含边界)，求矩形花园面积的最大值．
图5
由(1)可得y＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196．
∵－1＜0，6≤x≤13，
∴当x＝13时，y取得最大值，最大值为195．
答：矩形花园面积的最大值为195 m2．
图5
6．(2022贺州)如图6，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
图6
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
图6
(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
图6
由B(3，0)，C(0，3)易得直线BC的解析式为y＝－x＋3．
∴可设直线PQ的解析式为y＝－x＋m，
直线MN的解析式为y＝－x＋n．
将P(1，1)代入y＝－x＋m，得1＝－1＋m．解得m＝2．
∴直线PQ的解析式为y＝－x＋2．∴Q(0，2)．
答图1
解：如答图1，假设存在一点M满足条件，过点P作PQ∥BC交y轴于Q，过点M作MN∥BC交y轴于N．
答图1
D
8．(2022绍兴)已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是 ( )
A．0，4 B．1，5
C．1，－5 D．－1，5
D
9．(2022陕西)已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是 ( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
B
C
11．(2022黔东南州)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是____________．
(1，－3) (共20张PPT)
第二十二章 二次函数
第11课时 实际问题与二次函数(二)(面积问题)
课堂讲练
例1 如图1，小明用一条长为20 m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2．
(1)求y关于x的函数关系式及x的取值范围；
图1
(2)求矩形ABCD面积的最大值．
解：y＝－x2＋10x＝－(x－5)2＋25．
∵－1＜0，0＜x＜10，
∴当x＝5时，y取得最大值，最大值为25．
∴矩形ABCD面积的最大值为25 m2．
图1
训练 1．【教材改编，RJ九上P57】如图2，某农场主有一个长为24 m的篱笆，计划靠墙围造花圃(墙的最大可用长度为10 m)，设矩形花圃ABCD的宽AB为x m，面积为S m2．
(1)求S与x之间的函数关系式及x的取值范围．
解：由题意，得S＝x(24－2x)＝－2x2＋24x．
∵0＜24－2x≤10，∴7≤x＜12．
图2
(2)当AB的长为多少时，围成的花圃面积最大？
解：S＝24x－2x2＝－2(x－6)2＋72．
∵－2＜0，7≤x＜12，
∴当x＝7时，S最大，
最大值为－2×(7－6)2＋72＝70．
∴当AB的长为7 m时，围成的花圃面积最大．
图2
例2 如图3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A出发沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动，动点Q从点B出发沿边BC以4 cm/s的速度向点C移动，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，点P到达点B时，两点同时停止移动．设移动时间为t s．
(1)AP＝_____cm，BP＝__________cm，
BQ＝______cm．(用含t的代数式表示)
2t
图3
(12－2t)
4t
(2)当t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积为多少？
图3
训练 2．已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一条直线上，且点A与点N重合．如图4，现将△ABC以2 cm/s的速度沿射线NM运动，当点A与点M重合时，停止运动，求重叠部分的面积y(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系式．
图4
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠CAB＝45°．
由题意，得HM∥BC，∴∠MHA＝∠B＝45°．
又∠AMQ＝90°，
∴△AMH也是等腰直角三角形．
由题意，得AN＝2t，则AM＝MN－AN＝20－2t．
∴MH＝AM＝20－2t．
图4
1．已知一个直角三角形两直角边之和为12，设其中一边为x，三角
形面积为y，则y关于x的函数关系式为________________，y的最大值为______，此时该直角三角形两直角边的边长分别为________．
18
6，6
2．如图5，一张正方形纸板ABCD的边长为10 cm，将它割去四个全等的直角三角形(图中阴影部分)，留下一个正方形．设AF＝x cm，正方形EFGH的面积为y cm2．
(1)求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围．
解：由题意，得AF＝BE＝CG＝DH＝x cm．
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝10 cm，
则BF＝CE＝DG＝AH＝(10－x)cm．
∴y＝x2＋(10－x)2＝2x2－20x＋100．
∵x＞0，10－x＞0，∴0＜x＜10．
图5
(2)当x何值时，正方形EFGH的面积达到最小？
解：y＝2x2－20x＋100＝2(x－5)2＋50．
∵2＞0，0＜x＜10，
∴当x＝5时，正方形EFGH的面积y达到最小．
图5
3．如图6，在一张长10 cm，宽8 cm的矩形硬纸板的四个顶角处各剪去一个同样大小的正方形，再将其折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去正方形的边长为x cm．
(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm2，剪去正方形的边长为多少？
解：由题意，得(10－2x)(8－2x)＝48．
整理，得x2－9x＋8＝0．
解得x1＝8(不合题意，舍去)，x2＝1．
∴剪去正方形的边长为1 cm．
图6
(2)设长方体盒子的侧面积为y cm2，求y关于x的函数关系式，并判断长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时剪去正方形的边长；如果没有，请说明理由．
图6
图6
随 堂 测
1．如图1，某农场主利用墙角围出了一片矩形空地，假设所用篱笆(虚线部分)的长度为14 m，则所围矩形空地的最大面积是 ( )
A．52 m2
B．49 m2
C．45 m2
D．40 m2
B
图1
2．如图2所示的矩形窗框由两个小矩形组成，现工人计划用长为6米的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米(铝合金框条的宽度不计)．
图2
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少
图2(共21张PPT)
第二十二章 二次函数
第9课时 二次函数与一元二次方程(二)
课堂讲练
知识点1 估计一元二次方程的近似根
例1 下表是一组二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围可能是 ( )
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
C
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y －0.03 －0.01 0.02 0.04
训练 1．小颖在探索关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根时，用计算机作出了如图1所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，并求得方程的一个近似根为x＝－4.3，则方程的另一个近似根为___________．(精确到0.1)
x＝2.3
图1
知识点2 二次函数与不等式的关系
例2 二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2所示，则：
(1)该二次函数图象的对称轴为____________；
(2)当________时，y随x的增大而增大；
(3)当________________时，y＞0；
(4)当_____________时，x2－2x－3＜0．
直线x＝1
图2
x＞1
x＜－1或x＞3
－1＜x＜3
训练 2．图3是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，已知抛物线经过点(5，0)，对称轴为直线x＝2，则：
(1)抛物线与x轴的另一交点坐标为____________；
(2)当_____________时，y＞0；
(3)当________________时，ax2＋bx＋c＜0．
图3
(－1，0)
－1＜x＜5
x＜－1或x＞5
例3 如图4，某二次函数y1＝ax2＋bx＋c的图象与直线y2＝kx＋m(k≠0)相交于点M(－1，4)，N(2，1)，则：
(1)当x＝__________时，y1＝y2；
(2)当_____________时，y1＜y2；
(3)当________________时，ax2＋bx＋c＞kx＋m．
图4
－1或2
－1＜x＜2
x＜－1或x＞2
训练 3．如图5，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝kx＋m(k≠0)相交于点A(0，3)，B(4，1)，则：
(1)当x＝________时，y1＝y2；
(2)当______________时，y1＜y2；
(3)当___________时，ax2＋bx＋c≥kx＋m．
图5
0或4
x＜0或x＞4
0≤x≤4
通过数形结合解决与二次函数有关的不等式问题
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)
a＞0 a＜0
y＞0 x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2 x＜x1或x＞x2
抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝kx＋b的交点(xm，ym)，(xn，yn)(xm＜xn)
a＞0 a＜0
y1＞y2 x＜xm或x＞xn xm＜x＜xn
y1＝y2 x＝xm或x＝xn x＝xm或x＝xn
y1＜y2 xm＜x＜xn x＜xm或x＞xn
1．对于抛物线y＝ax2＋bx＋c：
①y＝0，是指函数图象与x轴交点处的位置；
②y＞0，是指函数图象在x轴上方的部分；
③y＜0，是指函数图象在x轴下方的部分．
2．对于函数y1，y2：
①y1＝y2，是指y1与y2图象相交的部分；
②y1＞y2，是指y1图象在y2图象上方的部分；
③y1＜y2，是指y1图象在y2图象下方的部分．
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图6所示，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是 ( )
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6
C
图6
2．已知抛物线y＝－3x2＋bx＋c经过A(0，2)，B(4，2)两点，则关于x的不等式－3x2＋bx＋c＜2的解集是______________．
3．若抛物线y＝2x2－3x＋c与直线y＝x＋1没有交点，则c的取值范围是________．
x＞4或x＜0
c＞3
4．如图7，直线y1＝－x＋m与抛物线y2＝ax2＋bx－3相交于A(－1，0)，B(2，－3)两点．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
图7
(2)当－x＋m＞ax2＋bx－3时，自变量x的取值范围是___________．
－1＜x＜2
图7
随 堂 测
1．下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的部分对应值：
根据上表数据可知方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是 ( )
A．1 B．1.1
C．1.2 D．1.3
x 1 1.2 1.3 1.4
y －1 0.04 0.59 1.16
C
2．如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是 ( )
A．x＜－2
B．x＞4
C．－2＜x＜4
D．x＜－2或x＞4
D
图1
图2
4．如图3，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则不等式ax2－mx＋c≤n的解集是 _____________.
－1≤x≤4
图3
5．若二次函数y＝－x2＋b的图象经过点(0，4)，则不等式－x2＋b≥0的解集为 ( )
A．－2≤x≤2 B．x≤2
C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2
A (共21张PPT)
第二十二章 二次函数
第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
课堂讲练
知识点 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
例1 先填表，然后在图1的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
4
1
0
1
4
2
－1
－2
－1
2
图1
x … －3 －2 －1 0 1 …
y＝(x＋1)2 … …
y＝(x＋1)2－2 … …
答图1
观察图象填空：
y＝(x＋1)2 y＝(x＋1)2－2
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
(－1，0)
(－1，－2)
直线x＝－1
直线x＝－1
答图1
思考：(1)抛物线y＝(x＋1)2向______平移_____个单位长度，得到抛物线y＝(x＋1)2－2．
抛物线y＝x2先向左平移_____个单位长度，再向下平移_____个单位长度，得到抛物线y＝(x＋1)2－2．
(2)对于y＝(x＋1)2－2，当x＝_______时， y有最______值为_______；
当x_________时，y随x的增大而增大；
当x_________时，y随x的增大而减小．
下
2
1
2
－1
小
－2
＞－1
＜－1
答图1
训练 1．先填表，然后在图2的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y＝－x2＋1 … …
y＝－(x－1)2＋1 … …
－3
0
1
0
－3
－8
－8
－3
0
1
0
－3
图2
答图2
观察图象填空：
y＝－x2＋1 y＝－(x－1)2＋1
开口方向
顶点坐标
对称轴
向下
向下
(0，1)
(1，1)
直线x＝0
直线x＝1
答图2
思考：(1)抛物线y＝－x2＋1向______平移_____个单位长度，得到抛物线y＝－(x－1)2＋1．
抛物线y＝－x2先向上平移_____个单位长度，再向右平移_____个单位长度，得到抛物线y＝－(x－1)2＋1．
(2)对于y＝－(x－1)2＋1，当x＝_____时，y有最______值为_____；
当x_______时，y随x的增大而增大；
当x_______时，y随x的增大而减小．
右
1
1
1
1
大
1
＜1
＞1
答图2
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
y＝a(x－h)2＋k 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 最值 增减性
a＞0 开口向 ______ 直线 x＝h (h，k) 当x＝_____时，y有最______值为_____． 当x＞h时，y随x的增大而________；
当x＜h时，y随x的增大而________．
a＜0 开口向 ______ 当x＝_____时，y有最______值为_____． 当x＞h时，y随x的增大而________；
当x＜h时，y随x的增大而________．
上
h
小
k
增大
减小
下
h
大
k
减小
增大
注：由二次函数y＝a(x－h)2＋k可知其图象的顶点为(h，k)，我们称y＝a(x－h)2＋k为二次函数的顶点式．
h决定左右平移方向 h＞0 向右平移 k决定上下平移方向 k＞0 向上平移
h＜0 向左平移 k＜0 向下平移
平移规律：左加右减，上加下减
1．已知二次函数y＝－2(x＋3)2＋4．
(1)其图象开口向______;
(2)对称轴为______________；
(3)顶点坐标为____________;
(4)当x_________时，y随x的增大而增大；
(5)当x_________时，y有最______值为_____．
下
直线x＝－3
(－3，4)
＜－3
＝－3
大
4
2．(1)(2022黑龙江)把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为________________．
(2)将函数y＝－2x2＋5的图象先向______平移_____个单位长度，再向______平移_____个单位长度，所得到的图象的解析式为y＝－2(x＋1)2＋3．
y＝2(x＋1)2 －2
左
1
下
2
3．已知点A(3，y1)，B(4，y2)，是抛物线y＝(x－2)2＋3上的两点，则y1，y2的大小关系是 ( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．无法确定
B
图3
5．已知二次函数y＝(x－1)2－1．
(1)y的最小值为_______；
(2)当2≤x≤5时，y的最小值为_____；
(3)当－2≤x≤2时，y的最小值为_______，最大值为_____．
6．当x＜1时，函数y＝(x－m)2－2的函数值y随着x的增大而减小，则m的取值范围是________．
－1
0
－1
8
m≥1
随 堂 测
2．对于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最值，下列说法正确的是 ( )
A．有最大值4 B．有最小值4
C．有最大值6 D．有最小值6
B
D
3．已知一抛物线与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(－1，3)，则该抛物线的解析式为 ( )
A．y＝－3(x－1)2＋3 B．y＝3(x－1)2＋3
C．y＝3(x＋1)2＋3 D．y＝－3(x＋1)2＋3
4．将抛物线y＝(x－5)2＋6向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标是 ( )
A．(5，4) B．(6，5)
C．(5，6) D．(5，8)
D
A
5．已知二次函数y＝(x－3)2－7.
(1)写出其图象的开口方向及顶点坐标；
解：∵1＞0，
∴其图象开口向上，顶点坐标为(3，－7).
(2)当x满足________时，y随x的增大而减小；
(3)当y≥18时，求自变量x的取值范围．
解：令y＝18，即(x－3)2－7＝18.
解得x＝－2或x＝8.
∵该函数其图象开口向上，
∴当y≥18时，自变量x的取值范围是x≤－2或x≥8.
x＜3
