(共26张PPT)
第二十四章 圆
第4课时 圆周角(一)(圆周角定理及其推论)
课堂讲练
知识点1 圆周角的定义
(1)(衔接回顾)顶点在________的角叫做圆心角；
(2)顶点在________，并且两边都与圆________的角叫做圆周角．
圆心
圆上
相交
例1 下列图形中的角是圆周角的是 ( )
C
∠ACB，∠ADB
图1
图2
一半
例2 如图3，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝24°，则∠BOC＝________．
48°
图3
训练 2．如图4，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A，B重合)，∠AOD＝130°，则∠C的度数是_______．
25°
图4
训练 3．如图5，点A，B，C在⊙O上，∠C＝45°，那么∠ABO的度数为 ( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．95°
A
图5
知识点3 圆周角定理的推论
相等
直角
直径
∠BAC＝90°
BC为⊙O的直径
图6
48°
训练 4．如图7，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB＝40°，则∠ABC＝________．
50°
图7
训练 5．如图8，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠C＝30°．
(1)求∠ABD的度数；
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∠A＝∠C＝30°，
∴∠ABD＝90°－30°＝60°．
图8
(2)若⊙O的半径r＝4，求BD的长．
图8
1．如图9，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为 ( )
A．40° B．50°
C．100° D．130°
图9
C
A
图10
3．【应用意识】(2022枣庄)将量角器按如图11所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是 ( )
A．28°
B．30°
C．36°
D．56°
A
图11
4．如图12，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P过原点，且与x轴、y轴交于点A，B．若点A的坐标为(6，0)，⊙P的直径为10，则点B的坐标为__________．
(0，8)
图12
图13
答图1
图13
(2)连接AC，交OD于点E，若AC＝8，DE＝2，求⊙O的半径r．
答图1
随 堂 测
1．下列说法正确的是 ( )
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．半圆所对的圆周角是直角
D
40°
图1
3．如图2，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是 ( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
B
图2
4．如图3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.若以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，则CD的长为______.
图3
5．如图4，⊙O的半径为3，点A，B，C在⊙O上．若∠BAC＝45°，则BC的长为_______.
图4(共21张PPT)
第二十四章 圆
第6课时 点和圆的位置关系
课堂讲练
知识点1 点和圆的位置关系
如图1，设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
(1)点C在圆______ d______r；
(2)点B在圆______ d______r；
(3)点A在圆______ d______r．
图1
外
＞
上
＝
内
＜
例1 已知⊙O的半径r＝3．
(1)若OP＝2，则点P在圆______；
(2)若OP＝3，则点P在圆______；
(3)若点P到圆心O的距离为4，则点P在圆______．
内
上
外
训练 1．如果⊙O的直径为8 cm，点P到圆心O的距离为5 cm，那么点P与⊙O的位置关系是 ( )
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内 D．无法确定
A
知识点2 确定圆的条件
在同一平面内，经过一点能作________个圆；经过两个点可作________个圆；经过__________________的三个点能且只能作一个圆．
例2 下列条件中，不能确定一个圆的是 ( )
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
无数
无数
不在同一直线上
C
知识点3 三角形的外接圆
外接圆及外心的概念 图例 外心的性质
1．经过△ABC的________ ____的圆叫做△ABC的外接圆； 1．三角形的外心是三角形三条边的______________的交点；
2．△ABC的外接圆的圆心O叫做△ABC的________． 2．三角形的外心到三角形三个顶点的距离________，即等于外接圆的________．
三个顶
点
垂直平分线
外心
相等
半径
例3 利用尺规作图，作出图2，3，4所示的三角形的外接圆⊙O，并填空．
图2
图3
图4
答图1
答图2
答图3
(1)①锐角三角形的外心位于三角形的________； ②连接OB，OC，若∠BAC＝50°，则∠BOC＝_______°． (2)①直角三角形的外心位于三角形斜边的________； ②若BC＝3，AB＝4，则⊙O的半径为______. (3)①钝角三角形的外心位于三角形的________；
②连接OB，OC，若∠BOC＝50°，则∠BAC＝______°．
内部
100
中点
2.5
外部
25
知识点4 反证法
例4 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设求证的结论不成立，即__________________________.
∴∠A＋∠B＋∠C＞_________．
这与____________________________相矛盾，∴假设不成立．
∴∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
∠A，∠B，∠C均大于60°
180°
三角形三个内角的和为180°
训练 2．下面是运用反证法证明命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的四个步骤：
①这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾；
②因此假设不成立．∴原命题成立；
③假设a⊥c，b⊥c，但a与b不平行，则直线a与b相交，设交点为O；
④∴过点O有两条直线a，b与直线c垂直．
这四个步骤的正确顺序应该是 ( )
A．④③①② B．③④②①
C．①②③④ D．③④①②
D
1．已知⊙O的半径为1，OA长为1.2，则下面图形能表示⊙O与点A位置关系的是 ( )
D
2．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设 ( )
A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角
B．四边形中所有内角都是钝角或直角
C．四边形中所有内角都是锐角
D．四边形中所有内角都是直角
C
3．【应用意识】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图5所示，则只用这三块碎片中的一块，最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的是 ( )
A．①
B．②
C．③
D．均不可能
A
图5
4．如图6，点O是△ABC的外心，∠BOC＝140°，则∠A的度数是________．
70°
图6
5．如图7，网格图中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC的外接圆的半径是______．
图7
6．【动手操作】如图8，已知△ABC．
(1)尺规作图：在线段AB上找一点O，以点O为圆心作圆，使⊙O经过A，C两点；(不写作法，保留作图痕迹)
图8
解：如答图4，⊙O即为所求．
答图4
(2)若∠A＝∠B＝30°，⊙O的半径为4，则BC的长为_______．
答图4
随 堂 测
1．不在同一直线上的三点确定______圆． ( )
A．一个 B．两个
C．三个 D．四个
2．已知⊙O的半径为8 cm，点P在⊙O上，则OP的长为 ( )
A．2 cm B．4 cm
C．8 cm D．16 cm
A
C
3．三角形的外心是三角形 ( )
A．三条中线的交点
B．三个内角角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
4．用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4”是真命题，第一步应先假设____________________.
C
若|a|＜2，则a2≥4
5．如图1，在△ABC中，AB＝AC.求作一点P，使点P是△ABC的外接圆圆心．(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如答图1，点P即为所求．
图1
答图1(共27张PPT)
第二十四章 圆
第2课时 垂直于弦的直径
课前预分
弧
AB⊥CD，CD是⊙O的直径
AE＝BE
垂直
平分
AE＝BE，CD是⊙O的
直径
AB⊥CD
课堂讲练
知识点1 垂径定理及其推论
图1
①②③
训练 1．如图2，在⊙O中，半径OC与弦AB交于点E，且E为AB的中点，AE＝2，则下列结论正确的是 ( )
A．OE＝2
B．EC＝2
C．AB垂直平分OC
D．OC垂直平分AB
D
图2
例2 如图3，⊙O的直径CD⊥弦AB于点E．若AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
图3
答图1
图4
答图2
知识点2 垂径定理及其推论的实际应用
例3 如图5，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，求该拱桥的半径．
图5
解：根据垂径定理可知，圆弧形拱桥的圆心在CD的延长线上．
如答图3，设圆心是点O，半径是r，连接OA．
∵CD＝4，∴OD＝r－4．
在Rt△AOD中，根据勾股定理，
得OA2＝AD2＋OD2，即r2＝62＋(r－4)2．
解得r＝6.5．
∴该拱桥的半径为6.5米．
答图3
图6
答图4
设⊙O的半径为R，则OC＝R－4．
在Rt△OAC中，由勾股定理，得
OA2＝AC2＋OC2，
即R2＝82＋(R－4)2．
解得R＝10．
∴该铁球的半径是10 cm．
答图4
B
图7
2．下列说法正确的是 ( )
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③ B．①③
C．②④ D．①④
D
3．如图8，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，则OP的最小值为_____．
4．【分类讨论】已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝24， CD＝10，⊙O的半径为13，则弦AB与CD的距离为_________．
3
图8
17或7
5．如图9，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．求证：AC＝BD．
图9
证明：如答图5，过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE．
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD．
答图5
6．圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显中国韵味．图10是一款拱门的示意图，其中拱门的下端AB＝18 dm，C为AB的中点，D为拱门最高点，圆心O在CD上，CD＝27 dm，求拱门所在圆的半径．
图10
答图6
随 堂 测
C
图1
C
图2
D
4．如图3，已知M(0，－3)，N(0，－9)，若半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为 ( )
A．(－5，－6)
B．(4，－6)
C．(－6，－4)
D．(－4，－6)
D
图3
250 m
图4(共24张PPT)
第二十四章 圆
第10课时 切线长定理和三角形的内切圆
课堂讲练
知识点1 切线长定理
切线长 切线长定理 图例 几何语言
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 从圆外一点可以引圆的________切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ∵______________ ______，
∴__________，
_______________．
两条
相等
PA，PB与⊙O
相切
PA＝PB
∠OPA＝∠OPB
例1 如图1，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝5，则PB的长为 ( )
A．2
B．3
C．4
D．5
D
图1
训练 1．如图2，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠APB＝60°，OA＝2，则OP的长为_____．
4
图2
例2 如图3，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，过圆上一点C作⊙O的切线EF，分别交PA，PB于点E，F．若PA＝4，则△PEF的周长是 ( )
A．4
B．8
C．10
D．12,
B
图3
训练 2．如图4，⊙O是四边形ABCD的内切圆，且AB＝8，CD＝12，则四边形ABCD的周长为______．
40
图4
知识点2 三角形的内切圆
定义 性质 作法 画图：求作△ABC的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条__________的交点，叫做三角形的内心． 三角形的内心到三角形的三边的距离_______． 1．作任意两角的平分线，交点即为圆心； 2．过交点作任一边的垂线段，即为圆的半径； 3．以交点为圆心，垂线段的长为半径作圆．
角平分线
相等
例3 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径．
图5
解：如答图1，连接OD，OE，OF，
则OD＝OE＝OF．
在Rt△ABC中，由勾股定理，
答图1
∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF．
又∠C＝90°，OE＝OF，∴四边形OECF为正方形．
设OD＝OE＝OF＝r，则CE＝CF＝r．
∴BE＝24－r，AF＝10－r．
∴AB＝BD＋AD＝BE＋AF＝34－2r＝26．
解得r＝4，即⊙O的半径为4．
答图1
训练 3．如图6，在△ABC中．
(1)求作△ABC的内心E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
图6
解：如答图2，点E即为所求．
答图2
(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠C＝78°，求∠AEB的度数．
图6
解：如答图2，连接AE．
∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB，BE平分∠CBA．
答图2
1．如图7，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB，若PA＝2，∠P＝60°，则AB的长为
( )
图7
B
2．【教材改编，RJ九上P100】如图8，△ABC的内切圆⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F．若AB＝12，BC＝10，AC＝8，则AD的长是 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
图8
B
3．如图9，点I是△ABC的内心，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DEF的度数．
图9
解：如答图3，连接IF，ID．
∵点I是内心，
∴∠ADI＝∠AFI＝90°．
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝80°．
∴∠DIF＝180°－∠A＝100°．
答图3
4．【实际应用】如图10，将以O为中心点的量角器与含30°角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，此时点D，C，B在同一条直线上，且DC＝2BC．过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是 ( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．50°
图10
A
5．【动态问题】如图11，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，作△ABC的内切圆⊙O，分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F．设AD＝x，△ABC的面积为S，则S关于x的函数图象大致为 ( )
图11
A
随 堂 测
1．如图1，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，CD与⊙O相切于点E，交PA，PB于点C，D.若△PCD的周长是3，则PA的长是 ( )
A
图1
2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，若∠BOC＝119°，则∠A＝______.
58°
图2
3．如图3，若△ABC的内切圆⊙O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若AB＝3，BC＝5，AC＝4，则图中阴影部分的面积是_____.
1
图3
答图1
4．如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，AC的长分别为c，a，b.
(1)求作△ABC的内切圆⊙O；(尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)
图4
(2)△ABC的内切圆半径r＝_________.(用含a，b，c的代数式表示)
解：如答图1，⊙O即为所求．(共18张PPT)
第二十四章 圆
*微专题 隐圆模型
类型 动点定长模型
原理：圆的定义——平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
应用：1．若一动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
2．如图，若AB＝AC＝AP，则B，C，P三点在以点A为圆心，AB长为半径的圆上．
1．如图1，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为 ( )
A．68°
B．88°
C．90°
D．112°
B
图1
2．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为__________．
图2
3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图3，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．
图3
在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为___________．
类型 定边对直角模型
原理：直径所对的圆周角是直角．
应用：固定长度的线段AB所对的动角∠C恒为90°，则点C在以AB为直径的圆上．
4．(2022泰安)如图4，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4．点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为 ( )
D
图4
5．如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D是AC边上一动点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，则CE长的最小值为_________．
图5
6．如图6，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF，相交于点P，连接CP，则CP的最小值为___________．
图6
图7
类型 定边对定角模型(定弦定角模型)
原理：在⊙O中，固定长度的弦AB所对的同侧的圆周角相等．
应用：固定长度的线段AB，其所对的动角∠P的度数一定，则点P在过A，B，P三点确定的圆上(∠P＜90°时在优弧上，∠P＞90°时在劣弧上)．
8．如图8，△ABC是等边三角形，AB＝3，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则PB的最小值为______．
图8
9．(2022湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图9，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是 ( )
图9
C
10．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为__________．
类型 四点共圆模型(对角互补与等弦对等角)
1．原理：圆内接四边形的对角互补．
应用：若∠A＋∠C＝180°，则A，B，C，D四点共圆．
2．原理：在⊙O中，固定长度的弦AB所对的同侧的圆周角相等．
应用：固定长度的线段AB所对的动角∠P＝∠C(已知)，则A，B，C，P四点共圆．
11．如图10，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为边AC的中点，过点O作OE⊥OF，OE，OF分别交边AB，BC于点E，F，则EF的最小值为_____．
5
图10
图11(共25张PPT)
第二十四章 圆
第3课时 弧、弦、圆心角
课前预习
1．顶点在________的角叫做圆心角．
2．在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也________．
圆心
相等
AB＝A′B′
∠1＝∠2
AB＝A′B′
课堂讲练
知识点1 圆心角的定义
例1 下列选项中，∠MPN是圆心角的是 ( )
D
训练 1．如图1，⊙O中的圆心角是_________．
∠AOC
图1
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
例2 如图2，A，B，C是⊙O上的三点，点B在劣弧AC上，AB＝BC．若∠AOB＝70°，则∠AOC的度数为 ( )
A．90° B．122°
C．140° D．150°,
图2
C
(1)若AB＝5，则AC＝_____；
(2)若∠B＝25°，则∠A＝_________．
图3
5
130°
图4
证明：如答图1，连接OC．
∴∠AOC＝∠BOC．
∴OC为∠AOB的平分线．
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE．
答图1
训练 3．如图5，在⊙O中，BD＝AC．求证：AB＝CD．
图5
图6
训练 4．如图7，在⊙O中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，AB＝2，求△ABC的周长．
解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∴AB＝BC＝AC．
又AB＝2，
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝6．
图7
75°
图8
图9
解：如答图2，连接OC．
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A．
∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠A，∠COD＝∠OCA．
∴∠COD＝∠BOD．
答图2
图10
＜
图11
证明：如答图3，连接OC．
∴∠AOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形．
∴AC＝OA＝OB＝BC．
∴四边形AOBC是菱形．
答图3
图12
随 堂 测
1．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝CD，则下列结论错误的是 ( )
A．∠AOB＝∠COD
B．∠AOC＝∠BOD
C
图1
图2
图3
答图1
证明：如答图1，连接OC，OD，则OC＝OD.(共22张PPT)
第二十四章 圆
第7课时 直线和圆的位置关系
课前预习
1．直线与圆的三种位置关系的判定(r为⊙O的半径，d为圆心O到直线l的距离)：
直线l与⊙O的交点个数 直线l与⊙O的位置关系 d与r的大小关系 图示
_____ ________ d______r
0
相离
＞
_____ ________ d______r
_____ ________ d______r
1
相切
＝
2
相交
＜
课堂讲练
知识点1 直线与圆的位置关系
例1 已知⊙O的半径为3 cm，圆心O到直线l的距离为d．
(1)当d＝2 cm时，⊙O与直线l的位置关系是________，⊙O与直线l有_____个公共点；
(2)当d＝_____ cm时，⊙O与直线l的位置关系是________，⊙O与直线l有1个公共点；
(3)当d＝5 cm时，⊙O与直线l的位置关系是________，⊙O与直线l有_____个公共点．
相交
2
3
相切
相离
0
训练 1．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为5．
(1)当r＝3时，⊙O与直线l的位置关系是________；
(2)当r＝_____时，⊙O与直线l的位置关系是相切；
(3)当r＝6时，⊙O与直线l有_____个公共点．
相离
5
2
知识点2 直线与圆的位置关系的应用
例2 在平面直角坐标系中，以点(－2，3)为圆心，半径为3的圆一定 ( )
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
B
训练 2．在平面直角坐标系中，⊙P的直径为8，圆心P的坐标为(3，5)，则x轴与⊙P的位置关系是 ( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上都不对
C
例3 如图1，已知∠AOB＝30°，M是射线OB上一点，OM＝6，以点M为圆心，r为半径作⊙M．
(1)若r＝3，则射线OA与⊙M的位置关系是________；
(2)若⊙M与射线OA没有交点，则r的取值范围是___________；
(3)当r＝5时，射线OA与⊙M的位置关系是________．
图1
相切
0＜r＜3
相交
训练 3．如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r为半径作⊙C．
(1)若r＝2 cm，则⊙C与AB的位置关系是_______；
(2)若⊙C与AB相切，则r＝______cm；
(3)r＝3 cm，则⊙C与AB的位置关系是________．
相离
图2
2.4
相交
1．已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的公共点的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．无法确定
C
2．【易错点】已知⊙O的半径为4 cm，若直线上一点P与圆心O的距离为4 cm，则直线与圆的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
注：圆心到直线上任意一点的距离≥圆心到直线的距离．
D
图3
1≤r≤3
图4
－6或2
5．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，试判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．
图5
答图1
随 堂 测
1．已知⊙O的半径是5，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是 ( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
B
2．如图1，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是( )
A．以OA为半径的圆
B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆
D．以OD为半径的圆
D
图1
3．在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系是________.
4．已知⊙O的半径是一元二次方程x2－3x－4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是________.
相切
相离
5．如图2，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为2，圆心P的坐标为(－5，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是___________.
3＜d＜7
图2
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝6 cm，直角边AC＝3 cm.
(1)以点C为圆心，4 cm长为半径的圆和斜边AB的位置关系是________；
(2)若以点C为圆心的圆和斜边AB相切，则该圆的半径长为
______ cm.
相交 (共26张PPT)
第二十四章 圆
第5课时 圆周角(二)(圆内接四边形)
课堂讲练
知识点1 圆内接四边形及其性质
(1)概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
(2)性质：圆内接四边形的对角________．
几何语言(如图1)：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠C＝_______°，∠B＋∠D＝_______°．
互补
180
180
图1
例1 如图2，四边形ABCD内接于⊙O．若∠A＝70°，则∠C的度数为 ( )
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
C
图2
训练 1．如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E是BC延长线上一点．若∠BAD＝114°，则∠DCE的度数是_________．
114°
图3
例2 如图4，四边形ABCD内接于⊙O．若∠AOC＝118°，则∠D的度数为 ( )
A．111°
B．118°
C．121°
D．126°
C
图4
图5
60°
知识点2 综合应用
例3 (2022广东)如图6，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
解：△ABC是等腰直角三角形．证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°．
∵∠ADB＝∠CDB，∴AB＝BC．
∴△ABC是等腰直角三角形．
图6
图6
图7
(2)若∠ABC＝60°，AD＝5，求⊙O的直径．
图7
解：如答图1，连接DO并延长，交⊙O于点F，连接CF，则∠FCD＝90°．
答图1
1．如图8，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC的延长线上，连接OB，OD．
(1)若∠BOD＝130°，则∠BCD＝________；
(2)若∠DCE＝70°，则∠BOD＝________．
图8
115°
140°
B
图9
3．如图10，四边形ABCD内接于⊙O．若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是 ( )
A．80°
B．100°
C．110°
D．120°
D
图10
2
图11
图12
图12
6．如图13，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是⊙O的直径，且AB＝12，OD∥BC，连接OD，DE．
(1)求证：CD＝DE；
证明：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠DEC＝∠CAB．
∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ADO．
∵OD∥BC，∴∠C＝∠ADO．
∴∠C＝∠CAB＝∠DEC．∴CD＝DE．
图13
(2)若AD＝4，求CE的长．
图13
解：如答图2，连接OE，AE．
由(1)得∠C＝∠CAB，
∴AB＝BC＝12．
∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B．
又∠AOE＝2∠B，
∴∠AOE＝2∠AOD．
答图2
∴∠AOD＝∠DOE．∴AD＝DE＝CD．
∴AC＝2AD＝8．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．
设CE＝x，则BE＝12－x．
在Rt△ACE与Rt△ABE中，由勾股定理，得
AC2－CE2＝AB2－BE2，
即82－x2＝122－(12－x)2．
答图2
随 堂 测
1．如图1，点A，B，C，D均在⊙O上．若∠B＝80°，则∠D＝_______.
100°
图1
2．如图2，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝54°，则∠BDC的度数为_______.
144°
图2
3．如图3，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD.若∠ABC＝70°，则∠BAD的度数为________.
140°
图3
4．如图4，已知⊙O的直径为10，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠DAB.若∠BCD＝120°，求BC的长．
图4
答图1(共24张PPT)
第二十四章 圆
第11课时 正多边形和圆
课前预习
1．(衔接回顾)(1)正n边形的每个内角的度数是_____________，每个外角的度数是______；
(2)正五边形的每个内角的度数是_______，正六边形的每个外角的度数是______．
108°
60°
2．正多边形与圆的有关概念：
(1)中心：是指正多边形的外接圆的________；
(2)半径：是指正多边形的外接圆的________；
(3)中心角：是指正多边形每一边所对的________角；
(4)边心距：是指正多边形的中心到它的一边的________．
圆心
半径
圆心
距离
课堂讲练
知识点1 正多边形与圆的有关概念
正多边形 内角度数 半径OA 中心角∠AOB 边长AB 边心距OP 周长 面积
①_______ ②_____ ③________ 2 ④______ ⑤_____ ⑥_______
60°
120°
6
例1 填表：
90°
90°
2
1
8
4
120°
2
60°
2
12
知识点2 作圆内接正多边形
例2 如图1，⊙O的半径为4．
(1)尺规作图：作⊙O的内接正方形ABCD； (不写作法，保留作图痕迹)
图1
解：⊙O的内接正方形ABCD如答图1所示．
答图1
(2)求正方形ABCD的边长．
答图1
训练 1．如图2，⊙O的半径为4．
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF； (不写作法，保留作图痕迹)
图2
解：⊙O的内接正六边形ABCDEF如答图2所示．
答图2
(2)求正六边形ABCDEF的面积．
答图2
解：如答图2，连接OC，OD，过点O作OH⊥DC于点H，则OC＝OD＝4，∠DOC＝60°．
∴△OCD是等边三角形．∴DC＝OD＝4．
1．若一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 ( )
A．9 B．8
C．7 D．6
A
2．(2022成都)如图3，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为 ( )
C
图3
3．如图4，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是 ( )
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
C
图4
40
图5
5．如图6，已知⊙O．
(1)尺规作图：作出⊙O的内接正三角形； (不写作法，保留作图痕迹)
(2)若⊙O的半径为2，则(1)中所作的正三角形的面积为_______．
解：如答图3，△ACE即为⊙O的内接正三角形．
答图3
图6
6．如图7，以边长为2的正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，顶点A，D在x轴上，则点C的坐标为 ( )
C
图7
图8
答图4
随 堂 测
1．如图1，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA，OB，则∠AOB的度数为 ( )
A．45°
B．54°
C．60°
D．72°
A
图1
2．已知一个等边三角形外接圆的半径为4，则这个等边三角形的边心距为_____.
3．(2022营口)如图2，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝______度．
2
图2
30
4．如图3，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为_____.
3
图3
5．如图4，G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG与BH相交于点P.
(1)求证：△ABG≌△BCH；
图4
(2)求∠APH的度数．
解：由(1)知△ABG≌△BCH，
∴∠BAG＝∠CBH.
∴∠BAG＋∠BGA＝∠CBH＋∠BGA.
∴∠ABG＝∠BPG＝120°.
∴∠APH＝∠BPG＝120°.
图4(共23张PPT)
第二十四章 圆
第13课时 圆锥相关计算
课前预习
1．圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段．
R
2πr
πrR
πrR＋πr2
R2
图1
课堂讲练
知识点1 计算圆锥的侧面积、全面积
例1 如图2，圆锥的底面半径为3，母线长为6，求它的侧面积及全面积．
解：S侧＝πrR＝π×3×6＝18π．
S全＝S侧＋S底＝18π＋π×32＝27π．
图2
训练 1．如图3，圆锥的底面半径r为6 cm，高h为8 cm．
求该圆锥的侧面积和全面积．
图3
知识点2 圆锥侧面展开图的相关计算
例2 如图4，用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽．
(1)这个纸帽的底面周长为__________；
(2)这个纸帽的底面半径为_________；
(3)这个纸帽的侧面积为___________．
图4
4π cm
2 cm
12π cm2
训练 2．如图5，圆锥的底面半径为1，母线长为3，求这个圆锥侧面展开图的圆心角．
图5
此类题常通过圆锥侧面展开图(扇形)与圆锥中元素之间的关系求解：
(1)扇形的半径长等于圆锥的母线长；
(2)扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；
(3)扇形的面积等于圆锥的侧面积．
知识点3 圆锥的应用
例3 如图6，圆锥形的烟囱帽底面半径为15 cm，母线长为20 cm．
(1)制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是多少？
图6
(2)已知铁皮每平方厘米2元，要制作50个这样的烟囱帽需要多少钱？(π≈3.14，结果取整数)
图6
解：制作50个这样的烟囱帽需要铁皮50×300π＝15 000π(cm2)．
∵铁皮每平方厘米2元，
∴制作50个这样的烟囱帽需要2×15 000π＝30 000π≈94 200(元)．
1．(2022德阳)一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是 ( )
A．16π B．52π
C．36π D．72π
C
2．(2022黑龙江)若一个圆锥的母线长为5 cm，它的侧面展开图的圆
心角为120°，则这个圆锥的底面半径为______cm．
3．如图7，圆锥的底面半径OB为5 cm，它的侧面展开图的半径AB为15 cm，则这个扇形的圆心角α的度数为_________．
图7
120°
4．【空间观念】(2022无锡)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为 ( )
A．12π B．15π
C．20π D．24π
C
5．如图8，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，并将剪下来的扇形围成一个无底圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是 ( )
图8
C
图9
(2)现在有一只蚂蚁从底面上的点A处出发，在侧面上爬行一周又回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离．
图9
答图1
随 堂 测
1．图1是一个圆锥形冰淇淋外壳的简单示意图(不计厚度)，已知其母线长为10 cm，底面圆的半径为3 cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积为 ( )
A．10π cm2
B．30π cm2
C．60π cm2
D．90π cm2
B
图1
2．用一个圆心角为120°，半径为2 cm的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 ( )
B
3．(2022赤峰)如图2，圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为( )
A．10 cm B．20 cm
C．5 cm D．24 cm
图2
D
4．在综合与实践活动课上，某同学需要用一块扇形薄纸板制成如图3所示的底面半径为3 dm，高为4 dm的圆锥形生日帽，则该扇形薄纸板的圆心角为 ( )
A．54°
B．108°
C．136°
D．216°
D
图3
5．(2022西藏)已知Rt△ABC的两直角边AC＝8，BC＝6，将Rt△ ABC绕AC所在的直线旋转一周形成的立体图形的侧面积为_______(结果保留π)．
60π (共17张PPT)
第二十四章 圆
微专题 与圆有关的阴影部分面积计算
类型 公式法
所求阴影部分是一个完整的扇形，其面积可直接用扇形面积公式求解．
1．如图1，在 ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是 ( )
A．π B．2π
C．3π D．6π
图1
C
2．(2022黔东南州)如图2，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3 cm的
⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则图中阴影部分的面积
是_____ cm2．(结果用含π的式子表示)
图2
类型 和差法
情况一 直接和差法
所求阴影部分为不规则图形，可将其面积转化为几个规则图形面积的和或差求解．
3．(2022毕节)如图3，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45 cm，扇面BD的长为30 cm，则扇面的面积是 ( )
A．375π cm2
B．450π cm2
C．600π cm2
D．750π cm2
C
图3
4．如图4，正方形ABCD的边长为4，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 ( )
A．16－4π
B．16－2π
C．4π
D．2π
A
图4
5．如图5，正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，AB长为半径作弧交DA的延长线于点E，连接CE，则图中阴影部分的面积为 ( )
图5
D
6．(2022荆州)如图6，以边长为2的等边三角形ABC顶点A为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是 ( )
图6
D
情况二 构造和差法
所求阴影部分为不规则图形，需添加辅助线，将其面积转化为几个规则图形面积的和或差求解．
B
图7
4－π
图8
2π－4
图9
类型 割补法
所求阴影部分为不规则图形，可通过平移、对称、旋转、等面积等方法，对图形进行割补转化，为利用公式法或和差法创造条件．
A
图10
A
图11
12．如图12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的点A′处，则图中阴影部分的面积为 ( )
图12
B
图13(共30张PPT)
第二十四章 圆
第8课时 切线的判定
课前预习
1．切线的判定定理：经过半径的外端点并且________于这条半径的直线是圆的切线．
几何语言：如图1，∵____________________________，
∴直线l是⊙O的切线．
垂直
图1
OA⊥直线l，OA是⊙O的半径
课堂讲练
知识点1 切线的判定(简单应用)
例1 如图2，OA是⊙O的半径，∠B＝35°，∠AOB＝55°．求证：AB是⊙O的切线．
证明：∵∠B＝35°，∠AOB＝55°，
∴∠OAB＝180°－∠B－∠AOB＝90°．
∴OA⊥AB．
又OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
图2
训练 1．【教材改编，RJ九上P 98】如图3，AB为⊙O的直径，AB＝BC，∠BAC＝45°．求证：BC是⊙O的切线．
证明：∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝45°．
∴∠ABC＝180°－∠C－∠A＝90°．
∴BC⊥AB．
又AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线．
图3
知识点2 切线的判定——证垂直
例2 如图4，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A，且∠CAD＝∠B．求证：直线AC是⊙O的切线．
图4
证明：如答图1，连接OA．
∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°．
∴∠OAB＋∠OAD＝90°．
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B．
又∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠OAB．
∴∠OAC＝∠OAD＋∠CAD＝∠OAB＋∠OAD＝90°．
∴AC⊥OA．
又OA是⊙O的半径，
∴直线AC是⊙O的切线．
答图1
训练 2．如图5，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．求证：PD是⊙O的切线．
图5
证明：如答图2，连接OP．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB．
∴∠OPB＝∠C．
∴OP∥AC．
又PD⊥AC，∴PD⊥OP．
又OP是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
答图2
知识点3 切线的判定——证半径
例3 如图6，已知∠MAN＝30°，O为射线AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点．若AD＝2，求证：AM是⊙O的切线．
图6
解：如答图3，过点O作OF⊥AM于点F．
∵AD＝2，OD＝2，∴AO＝AD＋OD＝4．
∵∠AFO＝90°，∠MAN＝30°，
∴OF为⊙O的半径．
又OF⊥AM，
∴AM是⊙O的切线．
答图3
图7
答图4
1．如图8，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是 ( )
A．∠B＝60°，∠T＝30°
B．∠B＝45°，AB＝AT
C．AB＝4，AT＝3，BT＝5
D．∠T＝∠B
D
图8
2．【逆向思维】如图9，P是⊙O的直径CD的延长线上一点，∠P＝30°，则当∠ACP＝________时，直线PA是⊙O的切线．
30°
图9
3．如图10，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AC相交于点E．求证：BC是⊙D的切线．
证明：如答图5，过点D作DF⊥BC于点F．
∵∠BAD＝90°，∴DA⊥AB．
∵BD平分∠ABC，∴AD＝DF．
∴DF是⊙O的半径．
又DF⊥BC，∴BC是⊙D的切线．
答图5
4．如图11，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
图11
证明：如答图6，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．
又AB＝AC，∴CD＝BD．
又OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．
又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
答图6
随 堂 测
1．如图1，在△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP与⊙O交于点N，则下列条件中，不能判定PM是⊙O的切线的是 ( )
A．∠O＋∠P＝90°
B．∠O＋∠P＝∠OMP
C．OM2＋PM2＝OP2
D．点N是OP的中点
D
图1
2．如图2，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半径为3.求证：AB是⊙O的切线．
图2
答图1
3．如图3，CB为⊙O的直径，点A在⊙O上，P是CB的延长线上的一点，且OB＝BP，∠AOC＝120°.求证：AP是⊙O的切线．
图3
答图2
4．如图4，已知AB是⊙O的直径，BP⊥AB于点B，C是⊙O上的点，且AC∥OP.求证：PC是⊙O的切线．
图4
证明：如答图3，连接OC.
∵BP⊥OB，∴∠OBP＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵AC∥OP，
∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP.
∴∠BOP＝∠COP.
又OB＝OC，OP＝OP，∴△OBP≌△OCP(SAS).
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，即PC⊥OC.
又OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
答图3
5．如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，O是AB上一点，且⊙O经过B，D两点，分别交AB，BC于点E，F.
(1)根据题目要求补全图形(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
图5
解：补全图形如答图4所示．
答图4
(2)求证：AC是⊙O的切线．
图5
证明：如答图4，连接OD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB.
∴∠CBD＝∠ODB.∴OD∥BC.
∴∠ODA＝∠C＝90°.
∴OD⊥AC.
又OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
答图4(共20张PPT)
第二十四章 圆
习题课 切线的判定与性质综合
典例分析
基础过关
基础过关
1．如图1，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是__________________________．(写一个条件即可)
图1
∠TAC＝∠B(答案不唯一)
图2
C
典例分析
例1 如图3，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上位于AB异侧的两点，且∠ABD＝2∠A，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于E，延长AB，CE交于点F．
图3
图3
证明：如答图1，连接OC．
∵∠ABD＝2∠A，∠COF＝2∠A，
∴∠ABD＝∠COF．
∴OC∥DE．
∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．
又OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线．
答图1
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)若CE＝2，BE＝1，求AB的长．
图3
解：如答图1，过点O作OG⊥DE，垂足为G，则∠OGE＝90°．
∵CE⊥DB，OC⊥CF，
∴∠DEC＝∠OCE＝90°．
∴四边形COGE是矩形．
∴OG＝CE＝2，OC＝GE．
答图1
答图1
设OB＝OC＝x，则BG＝x－1．
训练 1．如图4，O为菱形ABCD对角线AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
图4
图4
证明：如答图2，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N．
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC．
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴CA平分∠BCD．
∴OM＝ON．
又ON⊥CD，∴CD与⊙O相切．
答图2
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若菱形ABCD的边长为1，∠B＝60°，求⊙O的半径．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC．
又∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝1．
答图2
答图2
图5
图5
解：如答图3，连接OB．
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°．
∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°．
∴∠BOD＝120°．
答图3
(2)若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切．
图5
答图3
解：证明：如答图3，连接OF．
∵AB＝BF，OB⊥AF，
∴OB垂直平分AF．∴OA＝OF．
∴∠A＝∠OFB＝30°．
∵∠OBF＝90°，∴∠BOF＝60°．
∵∠BOD＝120°，
∴∠DOF＝60°．∴∠BOF＝∠DOF．
答图3
∴△OBF≌△ODF(SAS)．
∴∠ODF＝∠OBF＝90°．
∴OD⊥DF．
又OD为⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切．
训练 2．如图6，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE．
(1)求证：DE是半圆O的切线；
图6
证明：如答图4，连接OD，OE，BD．
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．∴∠BDC＝90°．
答图4
∴△OBE≌△ODE(SSS)．
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
即OD⊥DE．
又OD为半圆O的半径，
∴DE为半圆O的切线．
答图4
(2)若∠BAC＝30°，DE＝1，求AD的长．
答图4
∵BC＝2DE＝2，
∴AC＝4．(共41张PPT)
第二十四章 圆
章末复习
知识点1 垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
1．如图1，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，OC＝5，则弦AB的长是_____．
6
图1
知识点2 弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．
D
图2
知识点3 圆周角
1．圆周角定理及其推论
(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(2)圆周角定理的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等．
②半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2．圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补．
3．(2022牡丹江)如图3，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是 ( )
A．50° B．45°
C．40° D．35°
图3
C
4．(2022长春)如图4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为 ( )
A．138° B．121°
C．118° D．112°
图4
C
知识点4 点和圆、直线和圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP＝d，则：
①点P在圆内 d＜r；②点P在圆上 d＝r；③点P在圆外 d＞r．
2．直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
①直线l和⊙O相交 d＜r；②直线l和⊙O相切 d＝r；
③直线l和⊙O相离 d＞r．
5．已知⊙O的半径为6，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是 ( )
A．OP＞6 B．0≤OP＜6
C．OP＞3 D．0≤OP＜3
A
6．已知⊙O的直径为10 cm，设圆心O到直线l的距离为d．
(1)当d＝4 cm时，直线l与⊙O的位置关系为________；
(2)当d＝5 cm时，直线l与⊙O的位置关系为________；
(3)当d＝10 cm时，直线l与⊙O的位置关系为________．
相交
相切
相离
知识点5 切线的判定与性质
1．(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
2．(1)*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
(2)*尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
7．(2022怀化)如图5，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为______．
图5
8．如图6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为 ( )
A．10
B．12
C．14
D．16
C
图6
知识点6 三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆 三角形的内切圆
概念 经过三角形的三个顶点的圆． 与三角形三边都相切的圆．
圆心 三角形的外心： 三角形三边垂直平分线的交点． 三角形的内心：
三角形三条角平分线的交点．
性质 外心到三角形三个顶点的距离相等． 内心到三角形三边的距离相等．
9．如图7，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为_______°．
思考：若点O是△ABC的外心，∠BOC等于多少度？
图7
120
知识点7 正多边形和圆
1．正多边形相关概念(如图8)
(1)中心O．(2)半径R．
(3)中心角α．(4)边心距r．
2．尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形．
图8
D
12．如图9，在⊙O中，直径AB＝6，∠CAB＝40°，则阴影部分的面积是______．
π
2π
图9
13．(2022大庆)已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是 ( )
A．60π B．65π
C．90π D．120π
B
1．(2022眉山)如图10是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为 ( )
A．28° B．50°
C．56° D．62°
图10
C
2．如图11，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为 ( )
图11
D
30°
图12
图13
5．如图14，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AB＝CD．
图14
(2)连接AC，BD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC＋2∠BAD＝90°．
图14
答图1
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°．
∴∠BAC＋∠AMC＝90°．∴∠BAC＋2∠BAD＝90°．
证明：如答图1，连接AD．
6．如图15，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
图15
图15
证明：如答图2，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB．
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB．
∴∠ODA＝∠DAE．
∴OD∥AE．
∵DE⊥AE，∴OD⊥DE．
又OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
答图2
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求DE的长．
图15
答图2
∴四边形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4．
7．(2022贵阳)如图16，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是 ( )
图16
A
8．(2022滨州)如图17，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为 ( )
A．32° B．42°
C．52° D．62°
图17
A
9．(2022日照)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图18所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，
则圆形镜面的半径为__________．
图18
10．(2022上海)如图19所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为________．(结果保留π)
400π
图19
11．(2022株洲)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图20所示．
问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为___________丈．
图20
为“鑑”，同鉴
12．(2022日照)如图21，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
图21
图21
答图3
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
∴△ADC是等边三角形．
∴∠ADC＝∠ACD＝60°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°－∠ACD＝30°．
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°．
∴∠ADO＝∠ADC＋∠ODC＝90°，
即OD⊥AB．
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
答图3
答图3
∵∠B＝30°，∠BDO＝90°，
∴∠BOD＝60°，OB＝2OD．
答图3(共27张PPT)
第二十四章 圆
第12课时 弧长和扇形面积
课前预习
注：n，180，360在公式中表示倍分关系，都没有单位．
图1
πR2
R
课堂讲练
知识点1 弧长公式
例1 已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6，则这个扇形的弧长是 ( )
A．6π B．5π
C．4π D．3π
C
训练 1．(1)若一条弧的半径为6 cm，弧长为8π cm，则这条弧所对的圆心角为________；
(2)已知扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为20π cm，则扇形的半径为______cm．
240°
30
知识点2 扇形面积公式
例2 (2022广东)扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积(结果保留π)为_____．
训练 2．(2022哈尔滨)一个扇形的面积为7π cm2，半径为6 cm，则此扇形的圆心角是______度．
π
70
例3 若扇形的半径是12 cm，弧长是20π cm，则扇形的面积为 ( )
A．120π cm2 B．240π cm2
C．360π cm2 D．60π cm2
A
训练 3．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为 ( )
A．24 B．22
C．12 D．6
4．若扇形的面积为6π，半径为4，则这个扇形的弧长l＝______．
A
3π
图2
2π－4
训练 5．如图3，点C在以AB为直径的半圆上，O为圆心．若∠BAC＝30°，AB＝12，则阴影部分的面积为 ( )
A．6π
B．12π
C．18π
A
图3
1．一个扇形的半径是12 cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是 ( )
A．300° B．150°
C．120° D．75°
B
2．在⊙O中，60°的圆心角所对的弧长是2π cm，则⊙O的半径是 ( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
C
3．【应用意识】(2022兰州)如图4是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图5所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3 m，OB＝1.5 m，则阴影部分的面积为 ( )
A．4.25π m2
B．3.25π m2
C．3π m2
D．2.25π m2
D
图4 图5
图6
5．【模型意识】(2022玉林)数学课上，老师将如图7边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计)，则所得扇形DAB的面积是_____．
1
图7
6．【跨学科】(2022衡阳)如图8，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______ cm．(结果保留π)
4π
图8
7．如图9，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为________．
4－π
图9
8．如图10，AB是⊙O的直径，弦AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD．
(1)求直径AB的长；
图10
(2)求阴影部分的面积．(结果保留π)
图10
答图1
随 堂 测
C
图1
D
图2
4．(2022青海)如图3，从一个腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为_______ cm.
20π
图3
5．(2022重庆)如图4，在菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F.若AB＝2，∠BAD ＝60°，则
图中阴影部分的面积为____________.(结果不取近似值)
图4(共29张PPT)
第二十四章 圆
章节课标相关内容：
内容要求
图形的性质——圆
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系．
2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．
内容要求
4．了解三角形的内心与外心．
5．了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念(见例)．
6．能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形．
7．*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
8．*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等．
9．会计算圆的弧长、扇形的面积．
10．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
学业要求
图形的性质
1．掌握圆的概念．
2．知道图形的特征、共性与区别．
3．在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力．
4．经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力．
例 通过直观理解概念
通过直线和圆的位置关系，理解切线的概念，探索切线与过切点的半径的位置关系．
【说明】基于直线和圆的位置关系，一条直线与一个圆的位置关系有三种可能情况：不相交、交于两点、交于一点．这里只需要分析后两种情况．
交于两点．如图1，直线l与⊙O交于两点P和Q，连接OP，OQ，则△OPQ为等腰三角形．
交于一点．如图2，直线l与⊙O只有一个交点P．此时称l为⊙O在点P处的切线，称点P为切点．因为l上的其他点到点O的距离都大于点P到点O的距离，所以OP⊥l．因此，切线与过切点的半径垂直．
图1 图2
第1课时 圆
课前预习
定义 示意图 表示方法
圆 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 注：圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． (1)以点O为圆心的圆，记作_______；
(2)OA称为圆的________；
(3)固定端点O称为________．
⊙O
半径
圆心
定义 示意图 表示方法
弦 连接圆上任意两点的线段叫做______，经过圆心的弦叫做直径． 注：圆中，________是最长的弦． (1)弦有______________；
(2)直径有______；
(3)最长的弦为______．
弦
直径
AB，AE，CD
AB
AB
定义 示意图 表示方法
弧 圆上任意两点间的部分叫做________，简称______． (1)写出一个半圆为_____________；
(2)优弧有_____________；
(3)劣弧有___________．
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．
圆弧
弧
重合
相等
相等
等圆
互相重合
等弧
课堂讲练
知识点1 圆的定义
例1 确定一个圆的条件为 ( )
A．圆心 B．半径
C．圆心和半径 D．以上都不对
C
训练 1．(1)已知点A，B都在⊙O上，若OA＝4 cm，则OB的长为 ( )
A．2 cm B．4 cm
C．8 cm D．16 cm
(2)到定点O的距离为6 cm的点的集合是以点_____为圆心，_____cm为半径的圆．
B
O
6
知识点2 与圆有关的概念
例2 如图1，在⊙O中：
(1)半径有__________；
(2)直径有______；
(3)弦有______________；
(4)劣弧BC对应的优弧是______；
(5)写出一个半圆为__________．
AO，BO
AB
AB，AC，BC
图1
训练 2．如图2，点A，B，C均在⊙O上．
(1)弦有__________；
(2)劣弧有__________；
(3)优弧有____________．
图2
AB，AC
图3
图3
训练 3．如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，连接CD，若∠A＝25°，求∠DCE的度数．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°－25°＝65°．
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°．
∴∠BCD＝180°－65°－65°＝50°．
∴∠DCE＝∠ACB－∠BCD＝90°－50°＝40°．
图4
1．判断下列说法的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半圆是弧，但弧不一定是半圆； ( )
(2)过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径； ( )
(3)直径是圆中最长的弦； ( )
(4)直径不是弦； ( )
(5)优弧的长大于劣弧； ( )
(6)以点O为圆心可以画无数个圆． ( )
√
×
√
×
×
√
2．如图5，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO．若∠A＝25°，则∠D的度数为________．
50°
图5
3．如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，求AC的长．
图6
答图1
4．【四点共圆】如图7，BD，CE分别是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B，C，D，E均在以点M为圆心的同一个圆上．
图7
答图2
随 堂 测
1．已知⊙O的直径为10 cm，则⊙O的弦长不可能是 ( )
A．4 cm B．5 cm
C．9 cm D．12 cm
2．下列结论正确的是 ( )
A．过圆心的线段是直径 B．半圆是弧
C．半径是弦 D．弧是半圆
D
B
3．如图1，在直径为100 mm的⊙O中，弦AB＝50 mm，则∠AOB的度数是________.
60°
图1
4．如图2，AB，CD是⊙O的两条直径，点E，F分别是OC，OD的中点，连接AF，BE，AE，BF. 求证：四边形AEBF是平行四边形．
证明：∵AB，CD为⊙O的两条直径，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵点E，F分别是OC，OD的中点，
∴OE＝OF.∴四边形AEBF是平行四边形．
图2(共28张PPT)
第二十四章 圆
第9课时 切线的性质
课前预习
1．切线的性质：圆的切线垂直于过________的半径．
几何语言：如图1，
∵OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，
∴_____________．
图1
2．切线的性质的运用：
①由切线，得垂直；②常作辅助线：连接圆心与切点．
切点
OA⊥直线l
课堂讲练
知识点1 利用切线的性质的简单计算
例1 如图2，PA与⊙O相切于点A，∠P＝30°，BP＝5，求∠POA的度数以及AP的长．
图2
解：∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°．
∵∠P＝30°，
∴∠POA＝90°－∠P＝60°，OP＝2OA．
又OA＝OB，∴OP＝2OB．
∴OA＝OB＝BP＝5，OP＝10．
图2
训练 1．如图3，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝28°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的度数为______．
34°
图3
2．如图4，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8，AB＝10，则AC＝_____，OA＝______．
5
图4
图5
证明：∵F为弦AC的中点，OD为⊙O的半径，∴OD⊥AC．
∵ED是⊙O的切线，∴OD⊥ED．
∴AC∥ED．
训练 3．如图6，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，过点C作⊙O的切线，交OD于点D，且DE＝CE．求证：OE＝CE．
图6
证明：如答图1，连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°．
∴∠D＋∠COD＝90°，∠DCE＋∠OCE＝90°．
∵DE＝CE，
∴∠D＝∠DCE．
∴∠COD＝∠OCE．
∴OE＝CE．
答图1
例3 如图7，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，交BC于点F．
(1)求证：DF⊥BC；
图7
证明：如答图2，连接OD．
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD．
∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠C．
∵OA＝OD，
∴∠BAC＝∠ODA．
∴∠ODA＝∠C．
∴OD∥BC．
又DF⊥OD，∴DF⊥BC．
答图2
(2)已知DE＝6，BE＝3，求⊙O的半径．
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ODE中，OD2＋DE2＝OE2，
即r2＋62＝(r＋3)2．解得r＝4.5．
∴⊙O的半径为4.5．
答图2
训练 4．如图8，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD是⊙O的切线．
(1)求证：∠CDA＝∠CBD；
图8
证明：如答图3，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，即∠CDA＋∠ODA＝90°．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．
∴∠CBD＋∠OAD＝90°．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CDA＝∠CBD．
答图3
(2)若∠CBD＝30°，AB＝4，求AC的长．
解：∵OB＝OD，∴∠CBD＝∠ODB．
∴∠COD＝∠CBD＋∠ODB＝2∠CBD＝60°．
∵∠ODC＝90°，
∴∠OCD＝30°．
∴OC＝2OD．
∵AB＝4，∴OA＝OB＝OD＝2．
∴AC＝OC－OA＝2OD－OD＝2．
答图3
1．如图9，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线．若AB＝AC＝2，则∠C＝________，BC＝_______．
45°
图9
2．【实际应用】将以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按图10所示的方式摆放，此时直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P．若点P对应读数为37°，则∠CBD的度数是 ( )
A．53°
B．43°
C．37°
D．27°
C
图10
3．如图11，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分别交于点B，C．若圆心M的坐标是(4，5)，则弦BC的长为_____．
6
图11
4．【教材改编，RJ九上P102】如图12，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D，连接AE．
(1)求证：AE平分∠BAC；
图12
证明：如答图4，连接OE，则OA＝OE．
∴∠OEA＝∠OAE．
∵PQ切⊙O于点E，∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，∴OE∥AC．
∴∠OEA＝∠EAC．
∴∠OAE＝∠EAC，即AE平分∠BAC．
答图4
图12
(2)若AD＝2，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
解：如答图4，连接OD．
∵∠BAC＝60°，OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形．
∴OA＝OD＝AD＝2．
∴⊙O的半径为2．
答图4
随 堂 测
1．如图1，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD.若∠C＝50°，则∠AOD的度数为 ( )
A．80°
B．70°
C．60°
D．40°
A
图1
2．如图2，PB为⊙O的切线，B为切点，连接PO交⊙O于点A，若PA＝2，PO＝5，则PB的长为_____.
4
图2
3．如图3，BD是⊙O的直径，点A在⊙O上，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点C，连接AB.
(1)若∠B＝25°，求∠C的度数；
图3
解：如答图1，连接OA.
∵∠B＝25°，
∴∠AOC＝2∠B＝50°.
∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC.
∴∠OAC＝90°.
∴∠C＝90°－∠AOC＝40°.
答图1
(2)若AC＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
解：由(1)知，∠OAC＝90°.
设OA＝OD＝r，则OC＝r＋2.
在Rt△OAC中，OC2＝OA2＋AC2，
即(r＋2)2＝r2＋42.
解得r＝3.∴⊙O的半径为3.
答图1
