(共19张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第9课时 实际问题与一元二次方程(二)(互赠、握手、数字问题)
课堂讲练
知识点1 互赠、握手(双循环、单循环)问题
例1 (1)3名同学互赠礼物，每名同学送出_____份礼物，共送出_____份礼物；
(2)4名同学互赠礼物，每名同学送出_____份礼物，共送出______份礼物；
(3)x名同学互赠礼物，每名同学送出__________份礼物，共送出___________份礼物；
(4)若干名同学互赠礼物，共送出132份礼物，则共有_____名同学．
2
6
3
12
(x－1)
x(x－1)
12
训练 1．(1)3位新同事互相握手，每位新同事需握手_____次，共握手_____次；
(2)4位新同事互相握手，每位新同事需握手_____次，共握手_____次；
(3)x位新同事互相握手，每位新同事需握手__________次，共握手
___________次；
(4)若干位新同事互相握手，共握手120次，则共有______位新同事．
2
3
3
6
(x－1)
16
1．互赠问题(甲 乙)：x人互赠礼物，则共赠送x(x－1)份礼物．
例2 在某足球世界杯小组赛中，每两队之间要进行一场比赛，若小组赛共进行了6场比赛，则该小组有_____支球队．
训练 2．为迎接元旦，活跃校园气氛，某校组织班级三人篮球赛，比赛采用双循环赛制(即参加球赛的每两队之间都进行两次比赛)，共要比赛56场，则有_____个班级参加比赛．
4
8
知识点2 数字问题
例3 【教材改编，RJ九上P21】已知两个相邻正偶数的积是168，求这两个相邻正偶数中较大的数．
解：设这两个相邻正偶数中较大的数是x，则较小的数是(x－2)．
依题意，得x(x－2)＝168．
整理，得x2－2x－168＝0．
解得x1＝14，x2＝－12(不符合题意，舍去)．
答：这两个相邻偶数中较大的数是14．
训练 3．有一个两位数，它十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
解：设这个两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为(x＋2)．
根据题意，得3x(x＋2)＝10x＋(x＋2)．
整理，得3x2－5x－2＝0．
∴x＋2＝4．
答：这个两位数为24．
1．【跨学科】读诗词，列方程：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符(诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄)．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是 ( )
A．10x＋(x－3)＝x2 B．10(x－3)＋x＝x2
C．10x＋(x－3)＝(x－3)2 D．10(x－3)＋x＝(x－3)2
B
2．某生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有______名同学．
15
3．在一次商品交易会上，参加交易会的公司每两家之间都要签订一份合同，共签订了78份合同，则共有多少家公司参加了这次交易会？
4．【规律探究】如图1，从四边形ABCD的一个顶点能引1条对角线，四边形ABCD共有2条对角线；如图2，从五边形ABCDE的一个顶点能引2条对角线，五边形ABCDE共有5条对角线；如图3，从六边形ABCDEF的一个顶点能引3条对角线，六边形ABCDEF共有9条对角线……
(1)根据上述规律，从n边形的一个顶点能引__________条对角线，n
边形共有__________条对角线；(用含n的式子表示)
(n－3)
(2)若一个多边形共有35条对角线，求这个多边形的边数．
随 堂 测
1．一个两位数，它的十位数字比个位数字大3，且十位数字与个位数字的积是28，求这个两位数．设这个两位数的个位数字为x，则可列方程 ( )
A．x2＋3x－28＝0 B．x2－3x－28＝0
C．x2＋3x＋28＝0 D．x2－3x＋28＝0
A
2．在一次会议上，参加会议的人之间都要互送名片，一共送出了240张名片，求参加这次会议的人数．
解：设参加这次会议的人数为x人．
根据题意，得x(x－1)＝240.
解得x1＝16，x2＝－15(不符合题意，舍去)．
答：参加这次会议的人数为16人．
3．2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛(每两队之间都比赛一场)．
(1)如果有6支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；
15
(2)如果一共进行了45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？(共21张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第11课时 实际问题与一元二次方程(四)(营销问题)
课前预习
利润＝售价－成本
1．某件商品的进价是200元，售价是260元，则该件商品的利润为______元．
总利润＝每件商品的利润×销售量
2．某商品的利润为2元/件，销售量为300件，则总利润为_______元．
60
600
课堂讲练
知识点1 直接给出单件(单价)变化关系
例1 某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件每降价1元，每天可多销售5件．要想每天盈利1 600元，并使顾客得到实惠，每件应降价多少元？
分析：设每件应降价x元．
列方程为________________________．
解得x1＝_____，x2＝______．
要使顾客得到实惠，应取x＝______．
答：每件应降价______元．
每件利润(元) 销售量(件) 利润(元)
降价前
降价后
(44－x)(20＋5x)＝1 600
4
36
36
36
44
20
880
20＋5x
(44－x)(20＋5x)
44－x
训练 1．今年国庆期间，某商场经营了一种文具，进价为30元/个，试营销阶段发现：当销售单价定为40元时，每天能销售30个，销售单价每上涨1元，每天的销售量将减少1个．请问当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润为400元？
解：设当销售单价为x元时，该文具每天的销售利润为400元．
根据题意，得(x－30)[30－(x－40)]＝400．
解得x1＝x2＝50．
答：当销售单价为50元时，该文具每天的销售利润为400元．
注：未知数可直接设售价，也可设涨(降)价，再求售价，要注意等量关系．
知识点2 间接给出单件(单价)变化关系
例2 某文具店销售一款成本价为每本6元的笔记本，当单价定为10元时，每天可售出80本，根据市场行情，现决定降价销售．市场调研显示：单价每降低0.5元，每天可多售出20本．
(1)设这种笔记本的单价降低x元，则每天可售出_____________本；(用含x的代数式表示)
(80＋40x)
(2)为使这种笔记本每天的利润达到360元，文具店应把这种笔记本的单价降低多少元？
解：依题意，得(10－x－6)(80＋40x)＝360．
解得x1＝x2＝1．
答：文具店应把这种笔记本的单价降低1元．
注：单价变动非整数值时，可将其转化为整数值后再进行计算．
训练 2.2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受人们喜爱，某商店将进货价为每个30元的冰墩墩饰品以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明：这种冰墩墩饰品的售价每上涨10元，其销售量就减少100个，同时规定售价不能超过60元．为了实现销售这种饰品平均每月10 000元的销售利润，每个饰品应定为多少元？
解：设售价上涨x元，则销售量为(600－10x)个．
根据题意，得(40＋x－30)(600－10x)＝10 000．
解得x＝40或x＝10．
∵规定售价不能超过60元，
∴0≤x≤20．∴x＝10．
40＋10＝50(元)．
答：每个饰品应定为50元．
1．某设备公司经营销售某种机器，已知每台机器盈利10万元时，年销售量是240台．调查发现：销售单价每上涨1万元，年销售量就减少10台，求每台机器的销售单价上涨多少时，年销售利润恰为2 640万元？
解：设每台机器的销售单价上涨x万元，则年销量为(240－10x)台．
根据题意，得(10＋x)(240－10x)＝2 640．
整理，得x2－14x＋24＝0．
解得x1＝2，x2＝12．
答：每台机器上涨2万元或12万元时，年销售利润恰为2 640万元．
2．已知A产品的售价比年初上涨了60%，上涨后购买1件A产品需要80元．
(1)年初购买1件A产品的价格是______元．
(2)由于成本增加，A产品进货价现在增加到每件65元，某超市按80元价格出售，平均一天能销售100件．经调查发现：A产品的售价每下降1元,其日销售量就增加10件，超市为了实现销售A产品每天有1560元的利润，并且让顾客尽可能得到实惠，A产品的售价应该下降多少元？
50
解：设A产品的售价下降x元，则每件A产品的销售利润为(80－x－65)元，日销售量为(100＋10x)件．
根据题意，得(80－x－65)(100＋10x)＝1 560．
解得x1＝2，x2＝3．
∵要让顾客尽可能得到实惠，∴x＝3．
答：A产品的售价应该下降3元．
3．【数形结合】某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液的销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图1所示．
图1
(1)求y与x之间的函数关系式；
图1
(2)在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1 760元，求这种消毒液每桶的实际售价．
图1
解：由题意，得
(10x＋100)(55－x－35)＝1 760．
解得x1＝12，x2＝－2(舍去)．
∴55－x＝43．
答：这种消毒液每桶的实际售价为43元．
随 堂 测
1．某商店购进了一批玩具陀螺，如果以每个陀螺的成本价提高6元出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价每上涨1元，则每天的销售量就减少2个．在原售价的基础上，每个陀螺涨价多少元，才能让顾客得到实惠的同时，商店每天获得的利润为320元？
解：设每个陀螺涨价x元，则每天可售出(40－2x)个．
依题意，得(6＋x)(40－2x)＝320.
解得x1＝4，x2＝10.
∵要让顾客得到实惠，∴x＝4.
答：在原售价的基础上，当每个陀螺涨价4元时，才能让顾客得到实惠的同时，商店每天获得的利润为320元．
2．某景区的门票价格为每人80元，且每天最多能接待2 500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1 000张门票．为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格．经过调查发现，当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票．
(1)设每张门票价格降低x元，则每天可售出_____________张门票；
(1 000＋50x)
(2)若景区想获得每天12万元的门票收入，则每张门票价格应降低多少元？
解：由题意，得(80－x)(1 000＋50x)＝120 000.
整理，得x2－60x＋800＝0.解得x1＝20，x2＝40.
当x＝20时，1 000＋50x＝2 000＜2 500，符合题意；
当x＝40时，1 000＋50x＝3 000＞2 500，不符合题意，舍去．
答：每张门票价格应降低20元．(共25张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第5课时 解一元二次方程(四)(因式分解法)
课前预习
1．因式分解：(1)ax＋bx＝___________；
(2)a2＋2ab＋b2＝__________；
(3)a2－b2＝_______________；
(4)a2－6a＋9＝__________；
(5)2a2－8＝________________．
x(a＋b)
(a＋b)2
(a＋b)(a－b)
(a－3)2
2(a＋2)(a－2)
2．(1)若A·B＝0，则A＝_____或B＝_____；
(2)用上面的知识解方程：(x－3)(x＋2)＝0．
解：(x－3)(x＋2)＝0．
于是得________＝0，或________＝0，
即x1＝_____，x2＝_______．
0
0
x－3
x＋2
3
－2
课堂讲练
知识点 用因式分解法解一元二次方程
例1 用因式分解法解方程：
5x2＋3x＝0．
解：因式分解，得x(5x＋3)＝0．
于是得x＝0，或5x＋3＝0，
训练 1．用因式分解法解方程：
5x－2x2＝0．
解：因式分解，得x(5－2x)＝0．
于是得x＝0，或5－2x＝0，
例2 用因式分解法解方程：
x(x－2)＝2－x．
解：移项，得x(x－2)＋x－2＝0．
因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．
于是得x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1．
训练 2．用因式分解法解方程：
3x(x－1)＝2x－2．
解：整理，得3x(x－1)－2(x－1)＝0．
因式分解，得(x－1)(3x－2)＝0．
于是得x－1＝0，或3x－2＝0，
例3 用因式分解法解方程：
4x2＋x＝x＋9．
解：整理，得4x2－9＝0．
因式分解，得(2x＋3)(2x－3)＝0．
于是得2x＋3＝0，或2x－3＝0，
训练 3．用因式分解法解方程：
2x2＋4x＝－2．
解：移项、二次项系数化为1，得x2＋2x＋1＝0．
因式分解，得(x＋1)2＝0．
于是得x＋1＝0，
x1＝x2＝－1．
例4 用因式分解法解方程：
(x－2)2－4x2＝0．
解：因式分解，得(x－2＋2x)(x－2－2x)＝0．
于是得3x－2＝0，或－x－2＝0，
训练 4．用因式分解法解方程：
(3x－2)2＝(2x＋3)2．
解：移项，得(3x－2)2－(2x＋3)2＝0．
因式分解，得(3x－2＋2x＋3)(3x－2－2x－3)＝0．
于是得5x＋1＝0，或x－5＝0，
(选学)十字相乘法
例5 用因式分解法解方程：
x2＋6x＋8＝0．
解：因式分解，得(x＋2)(x＋4)＝0．
于是得x＋2＝0，或x＋4＝0，
x1＝－2，x2＝－4．
训练 5．用因式分解法解方程：
2x2＋x－1＝0．
解：因式分解，得(2x－1)(x＋1)＝0．
于是得2x－1＝0，或x＋1＝0，
1．方程x(x＋6)＝0的解是 ( )
A．x＝0 B．x＝－6
C．x＝0或x＝－6 D．x＝0或x＝6
2．关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值为________．
C
0或4
3．【代几综合】已知一元二次方程x2－10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线的长，则这个菱形的面积为 ( )
A．6 B．10
C．12 D．24
4．【易错题】已知x＝1是一元二次方程(a－2)x2＋4x－a2＝0的一个实数根，则a＝_______．
C
－1
5．解方程：(1)x(5－x)＝9－x;
解：整理，得x2－6x＋9＝0．
因式分解，得(x－3)2＝0．
于是得x－3＝0，
x1＝x2＝3．
(2)x(x－2)＝15．
解：整理，得x2－2x－15＝0．
因式分解，得(x－5)(x＋3)＝0．
于是得x－5＝0，或x＋3＝0，
x1＝5，x2＝－3．
6．解方程：(1)(x－3)2＝2x(3－x);
解：移项，得(x－3)2＋2x(x－3)＝0．
因式分解，得(x－3＋2x)(x－3)＝0，
即(3x－3)(x－3)＝0．
于是得3x－3＝0，或x－3＝0，
x1＝1，x2＝3．
(2)(2x－1)2＝x2＋6x＋9．
解：整理，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0．
因式分解，得(2x－1＋x＋3)(2x－1－x－3)＝0．
于是得3x＋2＝0，或x－4＝0，
随 堂 测
1．解方程x(x－2)＋3(x－2)＝0时，最适当的解法是 ( )
A．直接开平方法 B．因式分解法
C．配方法 D．公式法
2．(2022梧州)一元二次方程(x－2)(x＋7)＝0的根是________________.
3．规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其运算规则为 a◎b＝a(a＋b)，则方程(x－2)◎7＝0的根为________________.
B
x1＝2，x2＝－7
x1＝2，x2＝－5
4．用因式分解法解方程：(1)9x2－121＝0；
(2)(2x＋1)2＝8x.
5．解方程：(1)x2＋4x＝5；(2)x2－1＝2(x＋1).
解：(1)移项，得x2＋4x－5＝0.
因式分解，得(x＋5)(x－1)＝0.
于是得x＋5＝0，或x－1＝0，x1＝－5，x2＝1.
(2)整理，得(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0.
因式分解，得(x＋1)(x－3)＝0.
于是得x＋1＝0，或x－3＝0，x1＝－1，x2＝3.(共21张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第7课时 一元二次方程根与系数的关系
课前预习
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1＝_____________，x2＝_______________，则x1＋x2＝________，x1x2＝______．
课堂讲练
知识点1 利用根与系数的关系求值
例1 已知x1，x2是方程x2－6x＋5＝0的两个根，求x1＋x2及x1x2的值．
解：a＝1，b＝_______，c＝_____．
－6
5
－6
6
5
5
(1)x1x2＝_____，x1＋x2＝_____；
(2)x1＋2x1x2＋x2＝______．
2
8
12
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝12－4×(－1) ＝5．
(2)(x1－x2)2．
训练 2．一元二次方程2x2－3x－8＝0的两个根为m，n，求下列代数式的值：
(1)m2n＋mn2；
(2)(m－2)(n－2)．
知识点2 利用根与系数的关系求参数的值
例3 (2022贵港)若x＝－2是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是 ( )
A．0，－2 B．0，0
C．－2，－2 D．－2，0
训练 3．设x1，x2是关于x的方程3x2－kx－8＝0的两个根，且x1＝ 1－x2，则k的值为_____．
B
3
m≤0
训练 4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2两个实数根．
(1)若x1＝1，求x2及m的值；
(2)若x1－x2＝0，求m的值．
(2)∵x1－x2＝0，x1＋x2＝6，∴x1＝x2＝3．
∴x1x2＝2m－1＝9．解得m＝5．
1．已知a和b是方程x2＋x－2 023＝0的两个根，则代数式a＋b的值是 ( )
A．2 023 B．－2 023
C．－1 D．1
C
20
3．【易错题】若关于x的方程x2＋(2－k)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝ ( )
A．3 B．1
C．－1 D．±1
注：判断一元二次方程的根是否满足其他条件时要先满足Δ≥0．
C
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0的两个根，且满足x1＋x2＝－x1x2，求k的值．
解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2k＋1)，x1x2＝k2＋1．
∵x1＋x2＝－x1x2，∴－(2k＋1)＝－(k2＋1)．
∴k2－2k＝0，即k(k－2)＝0．解得k1＝0，k2＝2．
5．已知关于x的一元二次方程px2＋2x＋q＝0的两个实数根分别为m，n．
(1)若m＝2，n＝－4，求p，q的值；
(2)若p＝3，q＝－1，求|m－n|的值．
随 堂 测
1．(2022湖北)若一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根是x1，x2，则x1x2的值是_____.
2．已知关于x的一元二次方程x2＋4x－1＝0有两个实数根x1，x2，则下列说法正确的是 ( )
A．x1＋x2＝4 B．x1x2＝－1
C．x1＝x2 D．x＋4x2－1＝0
3
B
3．(2022宜宾)已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为 ( )
A．0 B．－10
C．3 D．10
4．若关于x的一元二次方程x2＋x－a＝0的一个根是2，则另一个根是_______.
A
－3
5．(2022随州)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x1x2＝5，求k的值．
解：根据题意，得x1x2＝k2＋1.
∵x1x2＝5，
∴k2＋1＝5.
解得k1＝－2，k2＝2.(共28张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第2课时 解一元二次方程(一)(直接开平方法)
课堂讲练
知识点 用直接开平方法解一元二次方程
类型1 形如x2＝p(p≥0)，则x＝±
例1 用直接开平方法解下列方程：
(1)x2＝49；
解：根据平方根的意义，得x＝±7，
即x1＝7，x2＝－7．
(2)x2－3＝0．
解：整理，得x2＝3．
(2)x2－4＝4．
例2 用直接开平方法解下列方程：
(1)4x2＝9；
(2)4x2－13＝12．
类型2 形如(x＋h)2＝p(p≥0)，则x＋h＝±
例3 用直接开平方法解下列方程：
(1)(x－1)2＝4；
解：根据平方根的意义，得x－1＝±2，
即x－1＝2，或x－1＝－2．
于是，方程(x－1)2＝4的两个根为x1＝3，x2＝－1．
(2)3(x＋3)2＝27．
解：整理，得(x＋3)2＝9．
根据平方根的意义，得x＋3＝±3，
即x＋3＝3，或x＋3＝－3．
于是，方程3(x＋3)2＝27的两个根为x1＝0，x2＝－6．
训练 3．用直接开平方法解下列方程：
(1)(x＋1)2＝0.81；
解：根据平方根的意义，得x＋1＝±0.9，
即x＋1＝0.9，或x＋1＝－0.9．
于是，方程(x＋1)2＝0.81的两个根为x1＝－0.1，x2＝－1.9．
(2)10(2＋x)2＝0．
解：整理，得(2＋x)2＝0．
根据平方根的意义，得2＋x＝0．
于是，方程10(2＋x)2＝0的两个根为x1＝x2＝－2．
注：对于(x＋h)2＝p(p≥0) ，当p＝0时，方程有两个相等的实数根．
例4 解方程：3(2x－1)2＝21．
训练 4．解方程：2(1－x)2－24＝0．
1．方程(x＋1)2＝4的解为 ( )
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝3
C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－1
2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为 ( )
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
A
C
3．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4有实数根，那么m的取值范围是 ( )
A．m＞3 B．m≥3
C．m＞－4 D．m≥－4
4．【代几综合】已知三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的根，则此三角形的周长为 ( )
A．17 B．11
C．15 D．11或15
D
C
5．解方程：
(1)2(x－1)2－18＝0;
解：整理，得(x－1)2＝9．
根据平方根的意义，得x－1＝±3，即x－1＝3，或x－1＝－3．
于是，方程2(x－1)2－18＝0的两个根为x1＝4，x2＝－2．
6．【拓展延伸】解方程：(y＋2)2＝(3y－1)2．
7．求证：无论m取何值，关于x的方程(x－2)2－m2＝1都有两个不相等的实数根．
证明：根据题意，得(x－2)2＝m2＋1．
∵m2＋1＞0，
∴无论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
随 堂 测
1．方程x2－9＝0的解是 ( )
A．x1＝3，x2＝－3 B．x1＝x2＝0
C．x1＝x2＝3 D．x1＝x2＝－3
2．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2－a＝0的一个根，则常数a的值是_____.
3．解一元二次方程(x＋3)2＝4时，通过开平方可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋3＝2，则另一个一元一次方程是_____________.
A
1
x＋3＝－2
4．下图是一个简单的数值运算程序，则输入的x的值为 ( )
A．±2 B．±3
C．3或－1 D．1或－3
C
5．解方程：
(1)4x2－121＝0；
(2)2(5＋x)2＝32.
解：整理，得(x＋5)2＝16.
根据平方根的意义，得x＋5＝±4，即x＋5＝4，或x＋5＝－4.
于是，方程2(5＋x)2＝32的两个根为x1＝－1，x2＝－9.
6．解方程：(1)(2x－1)2＝3；
(2)x(2x＋1)＝x＋2.
解：整理，得x2＝1.
根据平方根的意义，得x＝±1，即x1＝1，x2＝－1.(共25张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第3课时 解一元二次方程(二)(配方法)
课前预习
1．配方：将代数式配成完全平方的形式．
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
2．填空：
(1)x2＋8x＋______＝(x＋_____)2；
(2)x2－6x＋_____＝(x－_____)2；
16
4
9
3
3．尝试用配方法解方程：x2＋4x＋4＝16．
解：首先等号左侧易配方，
得__________＝16，
再用直接开平方法，得x＋_____＝_______，
即x1＝_____，x2＝_______．
(x＋2)2
2
±4
2
－6
课堂讲练
知识点 用配方法解一元二次方程
解方程x2－8x＋7＝0，步骤如下：
【移项】常数项在右，含未知数的项在左：x2－8x＝_______；
【配方】方程两边同时加上_____：x2－8x＋_____＝－7＋_____；
【写平方形式】方程左边写成平方形式，右边合并同类项：(________)2＝_____；
【开平方】用直接开平方法解方程：x1＝_____，x2＝_____．
－7
42
42
42
x－4
9
7
1
类型1 a＝1，b为偶数
例1 用配方法解方程：x2＋2x－2＝0．
解：移项，得x2＋2x＝2．
配方，得x2＋2x＋12＝2＋12，
(x＋1)2＝3．
训练 1．用配方法解方程：x2－15＝14x．
解：移项，得x2－14x＝15．
配方，得x2－14x＋72＝15＋72，
(x－7)2＝64．
由此可得x－7＝±8，
x1＝15，x2＝－1．
类型2 a＝1，b为奇数
例2 用配方法解方程：x2＋5x＋4＝0．
训练 2．用配方法解方程：x2＝4－x．
类型3 a≠1
例3 用配方法解方程：4x2－8x＋1＝0．
训练 3．用配方法解方程：3x2－12x＝－15．
解：二次项系数化为1，得x2－4x＝－5．
配方，得x2－4x＋22＝－5＋22，
(x－2)2＝－1．
∵－1＜0，
∴原方程无实数根．
例4 用配方法解方程：2x2－x＝1．
训练 4．用配方法解方程：3x2＋8x－3＝0．
1．(2022甘肃)用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是 ( )
A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6
C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6
2．(2022荆州)一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为(x－2)2＝k，则k的值是_____．
C
1
3．解方程：(1)x2－10x－2＝0；
4．【阅读理解】一天，小亮在解方程x2＝－1时，突发奇想：虽然x2＝－1在实数范围内无解，但如果存在一个数i，使i2＝－1，那么当 x2＝－1时，就有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个根．据此回答下列问题：
(1)i可以运算，例如：i3＝i2·i＝－1×i＝－i，则i4＝_____；
(2)方程x2－4x＋5＝0的两根为____________________(根用含i的式子表示)．
1
x1＝2＋i，x2＝2－i
随 堂 测
A
B
3．用配方法解方程：y2－4y－4＝0.
解：移项，得y2－4y＝4.
配方，得y2－4y＋22＝4＋22，(y－2)2＝8.
4．用配方法解方程：2x2＋3x＋1＝0.
5．用配方法解方程：x(x＋4)＝x＋12.(共24张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第10课时 实际问题与一元二次方程(三)(面积问题)
课前预习
矩形面积＝______×______
1．一个矩形的周长为50，面积为100．设矩形的长为x，则可列方
程为________________．
2．一个直角三角形的两条直角边相差3 cm，面积是9 cm2，设较长的直角边的长为x cm，根据题意，可列方程为________________．
长
宽
底
高
课堂讲练
知识点1 “边框”问题
例1 如图1，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，求原正方形空地的边长．
图1
解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余矩形空地的两边长分别为__________m与__________m．
根据题意，得____________________．
化为一般形式，得________________．
解得__________________________________．
答：原正方形空地的边长为_____m．
(x－3)
图1
(x－2)
(x－3)(x－2)＝20
x2－5x－14＝0
x1＝7，x2＝－2(不符合题意，舍去)
7
训练 1．如图2，幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺一块面积为18 m2的地毯，且四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少？
图2
图2
知识点2 “小路”问题
例2 如图3，某校生物小组有一块长32 m、宽20 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540 m2，则小道的宽应是多少？
解：设道路的宽为x m．
依题意，得(32－x)(20－x)＝540．
解得x1＝2，x2＝50(不符合题意，舍去)．
答：小道的宽应是2 m．
图3
训练 2．改善小区环境，争创文明家园．如图4，某社区决定在一块长16 m，宽9 m的矩形场地ABCD上修建三条等宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分为草坪．要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？
解：设小路的宽应为x m．
根据题意，得(16－2x)(9－x)＝112．
解得x1＝1，x2＝16(不符合题意，舍去)．
答：小路的宽应为1 m．
图4
知识点3 “围墙”问题
例3 如图5，现有总长为12米的建筑材料，借助一面长6米的已有砖墙MN，围成一个矩形场地ABCD．若矩形场地的面积为16平方米，求AB的长．
图5
解：设AB的长为x米，则BC的长为(12－2x)米．
根据题意，得x(12－2x)＝16．
解得x1＝4，x2＝2．
∵BC＝12－2x≤6，
解得x≥3．
∴x＝4．
答：AB的长为4米．
图5
训练 3．利用一条长为24 m的篱笆以及一面墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃(如图6)，设AB为x m，则能围成面积为50 m2的花圃吗？请说明理由．
图6
解：不能，理由：
∵篱笆的总长为24 m，且AB为x m，
∴BC为(24－3x)m．
依题意，得x(24－3x)＝50．
整理，得3x2－24x＋50＝0．
∵Δ＝(－24)2－4×3×50＝－24＜0，
∴原方程没有实数根．
∴不能围成面积为50 m2的花圃．
图6
1．如图7，在一个长为60 m，宽为40 m的矩形场地内修筑两条道路，且小路出口处的宽度相等，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2 204 m2，那么道路的宽为_____m．
2
图7
2．(2022青海)如图8，小明同学用一张长11 cm、宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计)．设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为_____________________．
(11－2x)(7－2x)＝21
图8
3．某展览馆计划将一个长60米、宽40米的矩形场馆重新布置，如图9所示，展览馆的中间是一个1 500平方米的矩形展览区，且四周留有等宽的通道，求通道的宽为多少米？
解：设通道的宽为x米，则展览区的长为(60－2x)米，宽为(40－2x)米．
根据题意，得(60－2x)(40－2x)＝1 500．
解得x1＝5，x2＝45(不符合题意，舍去)．
答：通道的宽为5米．
图9
4．如图10，一农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边利用长为18米的住房墙，另外三边用34米长的建筑材料围成，为了方便进出，要在平行于住房墙的一边留一扇2米宽的门．
(1)设矩形猪舍的一边AD的长为x米，则另一边AB长为___________米；(用含x的代数式表示)
图10
(36－2x)
解：依题意，得x(36－2x)＝160．
解得x1＝8，x2＝10．
当x＝8时，36－2x＝20＞18，不符合题意，舍去；
当x＝10时，36－2x＝16＜18，符合题意．
答：AD的长为10米．
(2)若围成的矩形猪舍ABCD的面积为160平方米，求AD的长．
图10
随 堂 测
1．如图1，从正方形铁片上截去一个2 cm宽的矩形铁片，余下的面积是48 cm2.设原正方形铁片的边长为x cm，则可列方程为____________.
x(x－2)＝48
图1
2．(2022泰州)如图2，在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为x m.
根据题意，得(50－2x)(38－2x)＝1 260.
解得x1＝4，x2＝40(不符合题意，舍去)．
答：道路的宽应为4 m．
图2
3．如图3，用长为20 m的篱笆与一面墙(墙的最大可用长度为11 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了两扇宽为1 m的小门．若花圃的面积刚好为40 m2，则花圃AB段的长为多少米？
图3
图3(共23张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第4课时 解一元二次方程(三)(公式法)
课前预习
1．请用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
解：移项，得_______________．
系数化为1，得________________．
配方，得__________________________，即_________________．
ax2＋bx＝－c
课堂讲练
知识点 用公式法解一元二次方程
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ＝b2－4ac．
(1)当Δ＞0时，方程有两个________的实数根；
(2)当Δ＝0时，方程有两个________的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程____________．
不等
相等
无实数根
类型1 Δ＞0 x1≠x2
例1 用公式法解方程：x2＋5x＋3＝0．
解：a＝1，b＝5，c＝3．
Δ＝b2－4ac＝52－4×1×3＝13＞0．
训练 1．用公式法解方程：3x2－1＝－2x．
解：方程化为3x2＋2x－1＝0．
a＝3，b＝2，c＝－1．
Δ＝b2－4ac＝22－4×3×(－1)＝16＞0．
训练 2．用公式法解方程：x2＝3(2x－3)．
解：方程化为x2－6x＋9＝0．
a＝1，b＝－6，c＝9．
Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0．
类型3 Δ＜0 方程无实数根
例3 用公式法解方程：3x2＋2x＝7x－4．
解：方程化为3x2－5x＋4＝0．
a＝3，b＝－5，c＝4．
Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0．
方程无实数根．
1．【过程推理】小明在解方程x2－4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
解：a＝1，b＝－4，c＝－2．(第一步)
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝24＞0．(第二步)
小明解答过程开始出错的步骤是 ( )
A．第一步 B．第二步
C．第三步 D．第四步
C
2．用公式法解下列方程：
(1)x2＋4x＝5;
解：方程化为x2＋4x－5＝0．
a＝1，b＝4，c＝－5．
Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－5)＝36＞0．
(2)3x2＋5(x＋1)＝0．
解：方程化为3x2＋5x＋5＝0．
a＝3，b＝5，c＝5．
Δ＝b2－4ac＝52－4×3×5＝－35＜0．
方程无实数根．
(2)(x＋1)(x＋3)＝－1．
4．【数形结合】如图1，点A在数轴的负半轴上，点B在数轴的正半轴上，且点A对应的数是2x－1，点B对应的数是x2＋x．若AB＝5，则x
的值为_________．
图1
随 堂 测
1．如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是 ( )
A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0
C．p2－4q＞0 D．p2－4q＜0
A
A
3．用公式法解方程：2x2－6x＝9－x.
解：方程化为2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.(共21张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第8课时 实际问题与一元二次方程(一)(传播、增长率问题)
课堂讲练
知识点1 传播问题
例1 奥密克戎是新冠病毒的一种变异毒株，传播性很强，某位奥密克戎携带者未被有效隔离，经过两轮传播后，共有100名感染者．求每轮传播中，平均一个人传染了几个人？(假设每轮传染人数相同)
1＋x＋x(1＋x)
解：设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则
第一轮传播新增加_____名感染者，一轮传播后共有__________名感染者；
第二轮传播新增加___________名感染者，两轮传播后共有_______ __________名感染者．
列方程，得______________________．
解得_________________________________．
答：每轮传染中，平均一个人传染了_____个人．
x
(1＋x)
x(1＋x)
1＋x＋
1＋x＋x(1＋x)＝100
x1＝9，x2＝－11(不合题意，舍去)
9
训练 1．为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动．
(1)求x的值；
解：依题意，得1＋x＋x2＝111．
解得x1＝10，x2＝－11(不合题意，舍去)．
∴x的值为10．
(2)再经过几轮转发后，参与人数会超过10 000人？
解：三轮转发之后，参与人数为1＋10＋100＋1 000＝1 111(人)；四轮转发之后，参与人数为1＋10＋100＋1 000＋10 000＝11 111(人)．
∵11 111＞10 000，
∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10 000人．
知识点2 增长率问题
例2 新能源汽车由于其节能、环保的特点，越来越受消费者喜爱．我国的新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
解：设年平均增长率为x，则2021年的出口量为____________万台，2022年的出口量为____________万台．
列方程，得________________．
解得___________________________________________．
答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是________．
20(1＋x)
20(1＋x)2
20(1＋x)2＝45
x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意，舍去)
50%
训练 2．某地为解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，其中某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元．求这种药品平均每次降价的百分率．
解：设这种药品平均每次降价的百分率为x．
根据题意，得200(1－x)2＝128．
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)．
答：这种药品平均每次降价的百分率为20%．
设初始值为a，平均增长(下降)率为x，增长(下降)后的值为b．
(1)连续增长两次问题：a(1＋x)2＝b；
(2)连续下降两次问题：a(1－x)2＝b．
注：解方程时直接用“直接开平方法”，记得要舍去不符合实际意义的根．
1．某种电脑病毒可以通过互联网快速传播，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是 ( )
A．x(x＋1)＝81 B．1＋x＋x2＝81
C．(1＋x)2＝81 D．1＋(1＋x)2＝81
C
2．直播购物逐渐走进人们的生活当中．某电商对一款标价为400元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，对该商品采取降价促销，两次降价后的价格为324元/件．若两次降价的百分率相同，求该种商品每次降价的百分率．
解：设该种商品每次降价的百分率为x．
依题意，得400(1－x)2＝324．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去)．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
3．【类比应用】某种植物的主干长出若干数目的支干，每条支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是91，则每条支干长出多少条小分支？(设每条支干长出x条小分支)
(1)根据问题中的数量关系，填空：
①主干的数目为_____；
②从主干中长出的支干的数目为_____；(用含x的式子表示)
③从支干中长出的小分支的数目为_____．(用含x的式子表示)
1
x
x2
(2)请完成该问题的解答．
解：依题意，得1＋x＋x2＝91．
整理，得x2＋x－90＝0．
解得x1＝9，x2＝－10(舍去)．
答：每条支干长出9条小分支．
4．【社会热点】随着我国数字化阅读方式的普及，数字阅读凭借独有的便利性成为了人们更快获取优质内容的重要途径．某市2020年数字阅读市场规模为400万元，2022年为576万元．
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x．
根据题意，得400(1＋x)2＝576．
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去)．
答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%．
(2)若年平均增长率不变，预计2023年该市数字阅读市场规模是否可以达到700万元？
解：576×(1＋20%)＝691.2(万元)．
∵691.2＜700，
∴预计2023年该市数字阅读市场规模不能达到700万元．
随 堂 测
1．某商品经过两次降价，售价由原来的每件100元降到每件81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ( )
A．10% B．15%
C．20% D．25%
A
2．流行病学中有一个数字R0叫做基本传染数，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人．有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0.
解：依题意，得(1＋R0)2＝36.
解得R0＝5，或R0＝－7(不符合题意，舍去)．
答：新冠病毒的基本传染数R0为5.
3．某市政府为落实农村危房改造政策，2021年已投入4亿元资金，且预计投入资金逐年增加，2023年将投入16亿元资金用于农村危房改造工程．
(1)求这两年中投入资金的年平均增长率；
解：设这两年中投入资金的年平均增长率为x.
由题意，得4(1＋x)2＝16.
解得x1＝1＝100%，x2＝－3(不符合题意，舍去)．
答：这两年中投入资金的年平均增长率为100%.
(2)若危房改造政府补助为2 000元/户，则这三年共完成危房改造多少户？
解：三年政府总投资的资金为
4＋4×(1＋100%)＋16＝4＋8＋16＝28(亿元)＝2 800 000 000(元).
∴这三年共完成危房改造的户数为
2 800 000 000÷2 000＝1 400 000(户).
答：这三年共完成危房改造1 400 000户．(共47张PPT)
第二十一章 一元二次方程
章末复习
知识点1 一元二次方程的相关概念
1．一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程．
2．一元二次方程的一般形式
一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
项和项 的系数 二次项：ax2 二次项系数：a 一次项：bx 一次项系数：b 常数项：c
1．若方程(m－2)x2＋mx－3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ( )
A．m≥2且m≠2 B．m≠0且m≠2
C．m≥2 D．m≠2
2．将一元二次方程2x2＋3x＝1化成一般形式后，它的二次项是______，一次项系数是_____，常数项是_______．
D
2x2
3
－1
知识点2 一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值．
3．若方程x2－mx＋2m＝0有一个根是1，则m的值为_______．
－1
知识点3 一元二次方程的解法
1．直接开平方法：针对x2＝p，(x＋h)2＝p(p≥0)形式．
2．配方法：利用完全平方公式把方程转化为(x＋a)2＝p(p≥0)形式．
4．因式分解法：常见有提公因式法、公式法、十字相乘法．
4．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－10x＋22＝0；
解：移项，得x2－10x＝－22．
配方，得x2－10x＋25＝－22＋25，
(x－5)2＝3．
(2)x(2x＋3)＝2x＋3．
解：移项，得x(2x＋3)－(2x＋3)＝0．
因式分解，得(2x＋3)(x－1)＝0．
于是得2x＋3＝0，或x－1＝0，
知识点4 根的判别式
根的判别式：Δ＝b2－4ac．
①Δ＞0 方程有两个不等的实数根；
②Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
③Δ＜0 方程无实数根．
5．一元二次方程x2－4x＝－4的根的情况是 ( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
B
6．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn＝_____．
7
知识点6 实际问题与一元二次方程
1．传播问题
2．增长率问题
3．互赠、握手问题
4．数字问题
5．面积问题
6．营销问题
7．(2022宁夏)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是 ( )
A．6.2(1＋x)2＝8.9 B．8.9(1＋x)2＝6.2
C．6.2(1＋x2)＝8.9 D．6.2(1＋x)＋6.2(1＋x)2＝8.9
A
1．方程(x－1)(x＋2)＝0的解是 ( )
A．x＝－2 B．x＝1
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2
C
C
3．(2022益阳)若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．已知a是方程2x2－3x－5＝0的一个根，则代数式－4a2＋6a的值为 ( )
A．10 B．－10
C．2 D．－40
B
B
5．(2022黑龙江)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？ ( )
A．8 B．10
C．7 D．9
B
m＜3
6
解：系数化为1，得(x＋1)2＝100．
直接开平方，得x＋1＝±10，
x1＝－11，x2＝9．
(2)x2＋12x＋27＝0；
解：移项，得x2＋12x＝－27．
配方，得x2＋12x＋36＝－27＋36，
(x＋6)2＝9．
由此可得x＋6＝±3，
x1＝－9，x2＝－3．
(3)4x2＝4x＋2；
(4)x(x－2)＝15．
解：方程化为x2－2x－15＝0．
因式分解，得(x－5)(x＋3)＝0．
于是得x－5＝0，或x＋3＝0，
x1＝5，x2＝－3．
9．如图1，在一块边长为12 m的正方形土地上开辟4块全等的试验田，总面积为81 m2，若过道(空白部分)的宽均相同，求过道的宽．
解：设过道的宽为x m．
根据题意，得(12－3x)2＝81．
解得x1＝1，x2＝7(不合题意，舍去)．
答：过道的宽为1 m．
图1
10．(2022眉山)建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1 000万元，2021年投入资金1 440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x．
依题意，得1 000(1＋x)2＝1 440．
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
11．已知关于x的一元二次方程x2－kx＝3(k＋3)．
(1)求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
证明：∵x2－kx＝3(k＋3)，
∴x2－kx－3(k＋3)＝0．
a＝1，b＝－k，c＝－3(k＋3)．
Δ＝b2－4ac＝(－k)2－4×1×[－3(k＋3)]＝k2＋12k＋36＝(k＋6)2≥0．
∴无论k取何值，该方程总有两个实数根．
12．某商店将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可出售200件．现采取提高商品售价的方法增加利润，已知该商品的售价每提高0.25元，每天的销售量减少5件．
(1)将每件商品的售价定为多少元，才能使每天的利润为640元？
(2)店主想要获得每天800元的利润，小红认为不可能，你是否同意小红的说法？请说明理由．
13．(2022扬州)请填写一个常数，使得关于x的方程x2－2x＋________________＝0有两个不相等的实数根．
A
15．(2022泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是 ( )
A．3(x－1)x＝6 210 B．3(x－1)＝6 210
C．(3x－1)x＝6 210 D．3x＝6 210
A
16．(2022衢州)将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图2所示．利用容积列出图中
x(cm)满足的一元二次方程：_________________. (不必化简)
图2
18．(2022广州)已知T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)·(2a－3b)＋a2．
(1)化简T；
解：T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)(2a－3b)＋a2
＝a2＋6ab＋9b2＋4a2－9b2＋a2
＝6a2＋6ab．
(2)若关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
解：∵关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2a)2－4(－ab＋1)＝4a2＋4ab－4＝0．
∴a2＋ab＝1．
∴T＝6(a2＋ab)＝6×1＝6．
19．(2022宜昌节选)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量；
解：设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x－100)吨．
依题意，得x＋2x－100＝800．
解得x＝300．
∴2x－100＝2×300－100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
根据上述材料，完成下列问题：
(1)材料理解：方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝______．x1x2＝________；
图3
16
图4
(2)三角点阵中前a行的点数之和能是500吗？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
图4
图4(共21张PPT)
第二十一章 一元二次方程
第6课时 一元二次方程根的判别式
课堂讲练
方程式 根的判别式 求根公式 方程的根与Δ的关系
ax2＋bx＋c＝0(a≠0) Δ＝_______ ________________ ①Δ＞0 方程有____________ 实数根；
②Δ______0 方程有两个相等的实数根；
③Δ＜0 方程______实数根．
注：Δ≥0 方程有(两个)实数根
b2－4ac
两个不等的
＝
无
知识点1 计算判别式(Δ)，判断方程根的情况
例1 不解方程，判断下列方程根的情况：
方程 a，b，c的值 Δ的值 根的情况
x2＋3x＝1 a＝_____，b＝_____，c＝_______ ______ 方程_____________ 实数根
x(x＋5)＝x－4 a＝_____，b＝_____，c＝_____ _____ 方程_____________ 实数根
x2－2x＋18＝0 a＝____，b＝_____， c＝______ _______ 方程______实数根
1
3
－1
13
有两个不等的
1
4
4
0
有两个相等的
－2
18
－12
无
训练 1．不解方程，判断方程2x2＝6x＋7的根的情况是 ( )
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
训练 2．方程2x2－4x＋2＝0的根的情况是___________________．
C
有两个相等的实数根
知识点2 根据根的情况，求参数的值或取值范围
例2 关于x的一元二次方程mx2－4x＋3＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
解：a＝_____，b＝_______，c＝3．
Δ＝b2－4ac＝(_______)2－4×_____×3＝___________．
∵方程mx2－4x＋3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ______0，且_____≠0．
解得_________且________．
m
－4
－4
m
16－12m
＞
m
m≠0
注：在求参数的取值范围时，别忘了a≠0．
训练 3．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋1＝0(k为常数)没有实数根，求k的取值范围．
解：a＝1，b＝－2，c＝k＋1．
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4(k＋1)＝－4k．
∵方程没有实数根，
∴Δ＜0，即－4k＜0．
解得k＞0．
知识点3 计算判别式(Δ)，证明方程根的情况
例3 已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0．求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根．
证明：a＝1，b＝－(k＋1)，c＝2k－2．
Δ＝b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×1×(2k－2)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0．
∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根．
训练 4．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0．求证：方程总有两个不相等的实数根．
证明：a＝1，b＝2m，c＝m2－1．
Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4(m2－1)＝4＞0．
∴原方程总有两个不相等的实数根．
1．若关于x的一元二次方程x2－x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是 ( )
A．2 B．1
C．－2 D．3
C
2．(2022辽宁)下列一元二次方程无实数根的是 ( )
A．x2＋x－2＝0 B．x2－2x＝0
C．x2＋x＋5＝0 D．x2－2x＋1＝0
3．(2022深圳)已知一元二次方程x2＋6x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为_____．
C
9
4．【易错题】关于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
解：根据题意，得Δ＝42－4(k－1)＞0，且k－1≠0，
解得k＜5且k≠1．
(2)若k为(1)中的最大整数，请求出此时该方程的根．
解：由(1)可知k的最大整数值为4．
当k＝4时，方程化为3x2＋4x＋1＝0．
因式分解，得(3x＋1)(x＋1)＝0．
5．【代几综合】已知关于x的方程x2－kx＋k－1＝0．
(1)求证：不论k为何值，方程总有实数根；
证明：Δ＝k2－4×1×(k－1)＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0．
∴不论k为何值，方程总有实数根．
(2)若等腰三角形的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求k的值．
解：x2－kx＋k－1＝0．因式分解，得(x－k＋1)(x－1)＝0．
解得x1＝k－1，x2＝1．
由题意，得等腰三角形两边恰好是这个方程的两个实数根．
①当2为腰时，k－1＝2．解得k＝3．
②当1为腰时，此时1＋1＝2，不符合题意，舍去．
综上所述，k的值为3．
随 堂 测
1．(2022北京)若关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ( )
C
2．(2022安顺)定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝(a＋b) (a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝(3＋2)(3－2)－1＝5－1＝4.若x*k＝2x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况是 ( )
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
B
3．若关于x的方程x2－4x＋k＝0有两个实数根，则k的值可能是_____. (写出一个即可)
4．关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0无实数根，则m的取值范围是________.
1
m＞2
5．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝m2.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
证明：原方程可化为x2－5x＋6－m2＝0.
a＝1，b＝－5，c＝6－m2.Δ＝b2－4ac＝25－4(6－m2)＝1＋4m2.
∵m2≥0，∴1＋4m2＞0，即Δ＞0.
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．(共31张PPT)
第二十一章 一元二次方程
内容要求
1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程．
2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
3．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．
4．了解一元二次方程的根与系数的关系(见例)．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
章节课标相关内容：
学业要求
1．能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；认识方程解的意义，经历估计方程解的过程．[抽象能力、应用意识]
2．能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．[运算能力]
3．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系．
4．知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．[模型观念]
上述韦达定理的论证，是基于代数的逻辑推理的一种体现．在这样的过程中，感悟符号表达对于数学发展的作用，积累用数学符号进行一般性推理的经验．
第1课时 一元二次方程
课前预习
1．【教材改编，RJ九上P2】一个矩形的长比宽多2 cm，面积为 100 cm2．若设矩形的宽为x cm，则可列方程为________________，化简，得_________________．
像上述所列，等号两边都是________，只含有______个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_____(二次)的方程，叫做一元二次方程．
x(x＋2)＝100
x2＋2x－100＝0
整式
一
2
课堂讲练
知识点1 一元二次方程的定义
例1 下列是一元二次方程的打“√”，不是的打“×”．
(1)2x2＋3x－4＝0； ( )
(2)x2＋y－2＝0； ( )
(3)x3＋1＝2x； ( )
(5)(x＋2)(x－3)＝x． ( )
√
×
×
×
√
训练 1．下列方程中，是一元二次方程的是 ( )
A．3x(x－1)＝0 B．2x＋1＝0
C．y－3x＝0 D．x2－2x＋5
A
例2 若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则 ( )
A．a＞1 B．a＝1
C．a≠1 D．a≥0
C
训练 2．若关于x的方程(2－m)x|m|－2x＋1＝0是一元二次方程，则m的值为_______．
注：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中a≠0．
－2
知识点2 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是______________________．其中二次项为______，二次项系数为_____；一次项为______，一次项系数为_____；常数项为_____．
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
ax2
a
bx
b
c
例3 填空：
一元二次方程 一般形式 a b c
3x2＝5－x
x(x－3)＝2
(x＋5)(x－5)＝0
2(x＋2)2＝x
3x2＋x－5＝0
3
1
－5
x2－3x－2＝0
1
－3
－2
x2－25＝0
1
0
－25
2x2＋7x＋8＝0
2
7
8
训练 3．填空：
一元二次方程 一般形式 二次项 一次项 常数项
2x2－1＝5x
4x2＝49
(x＋)2＝3
2x2＝x(x＋3)
2x2－5x－1＝0
2x2
－5x
－1
4x2－49＝0
4x2
0
－ 49
x2
－1
x2－3x＝0
x2
－3x
0
例4 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是1的方程是 ( )
A．2x2＋1＝－3x B．2x2－1＝－3x
C．2x2－3x＝1 D．2x2＋3x＝1
A
训练 4．一元二次方程x(x＋3)＝5x－10化为一般形式为________________．其中二次项为_____，一次项系数为_______，常数项为______．
x2－2x＋10＝0
x2
－2
10
知识点3 一元二次方程的根
使方程左右两边________的未知数的值就是这个一元二次方程的解(根)．
相等
例5 在“1，2，0，－2，－3”这些数中，哪些是方程x2＝2－x的根？
解：当x＝1时，方程左边＝12＝1，右边＝2－1＝1，
∴左边＝右边．
∴“1”是方程x2＝2－x的根．
同理，“－2”也是方程x2＝2－x的根，“2，0，－3”不是方程 x2＝2－x的根．
训练 5．以－2为根的一元二次方程是 ( )
A．x2－x＋2＝0 B．x2－x－2＝0
C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0
D
例6 (2022广东)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝_____．
训练 6．已知方程x2＋2x－3＝0的一个根是a，则a2＋2a的值为_____．
1
3
1．把一元二次方程4x2＋5x＝81化为一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数及常数项分别为 ( )
A．5，81 B．5x，81
C．5，－81 D．－5x，－81
C
2．若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx－2＝0(a≠0)的一个根，则2 023－2a＋2b的值等于 ( )
A．2 017 B．2 019
C．2 021 D．2 025
B
3．【易错题】已知关于x的方程(m－1)xm2＋1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为_______．
4．【实际生活】国庆节期间，某班x名同学互相发祝福短信，若每人都给其他同学各发一条短信，一共发出2 450条短信，则可列方程___________________，化为一般式为___________________．
5．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋c＝b，则该方程一定有一个根是x＝_______．
－1
x(x－1)＝2 450
x2－x－2 450＝0
－1
6．【易错题】若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，求m的值．
解：化简，得(m－3)x2＋(m2－9)x－5＝0．
由题意，得m－3≠0，m2－9＝0．
∴m＝－3．
随 堂 测
1．下列方程中，属于一元二次方程的是 ( )
A．x－y＝1 B．x＝3
C．x2－1＝0 D．xy－1＝0
2．一元二次方程x(x－2)＝x－1化为一般形式是 ( )
A．x2－2x＋2＝0 B．x2－2x＝0
C．x2－3x－1＝0 D．x2－3x＋1＝0
C
D
3．请写出一个未知数为x，常数项为0，且它的一个根为2的一元二次方程：________________________.
4．若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为_____.
x2－2x＝0(答案不唯一)
1
5．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．
(1)一次足球联赛的每两队之间都要进行两场比赛，若共比赛90场，问共有多少个队参加比赛？
解：设共有x个队参加比赛．
根据题意，得x(x－1)＝90.
化简为x2－x－90＝0.
(2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为 24 cm2，求它的两条直角边的长．
解：设其中一条直角边的长为x cm，则另一条直角边的长为(14－x)cm.(共21张PPT)
第二十一章 一元二次方程
习题课 解一元二次方程的综合
类型 一元二次方程的解法综合
情况一 遇见类“aX2＋c＝0”形式时，考虑直接开平方法
1．解下列方程：
(1)4x2－48＝0；
(2)16(2－x)2－9＝0．
情况二 遇见类“aX2＋bX＝0”形式时，考虑因式分解法
2．解下列方程：(1)3x(x－2)＋x－2＝0；
(2)(x＋3)2＝2(x＋3)．
解：移项，得(x＋3)2－2(x＋3)＝0．
因式分解，得(x＋3)(x＋3－2)＝0，
(x＋3)(x＋1)＝0．
于是得x＋3＝0，或x＋1＝0，
x1＝－3，x2＝－1．
情况三 遇见“二次项系数化为1后一次项系数为偶数”形式时，考虑配方法
3．解下列方程：(1)x2＋6x＋3＝0；
(2)3x2＋6x＋2＝11．
解：移项、合并同类项，得3x2＋6x＝9．
二次项系数化为1，得x2＋2x＝3．
配方，得x2＋2x＋1＝3＋1，
(x＋1)2＝4．
由此可得x＋1＝±2，
x1＝1，x2＝－3．
情况四 遇见一般形式时，考虑公式法(万能法)或*十字相乘法(选做)
4．解下列方程：(1)2x＋1＝4x2；
解：方程化为4x2－2x－1＝0．
a＝4，b＝－2，c＝－1．
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×4×(－1)＝20＞0．
(2)2x2－3x＋1＝0．
解：因式分解，得(2x－1)(x－1)＝0．
于是得2x－1＝0，或x－1＝0，
综合练习 5．用合适的方法解下列方程：
(1)x2＋8x－20＝0；
解：移项，得x2＋8x＝20．
配方，得x2＋8x＋42＝20＋42，(x＋4)2＝36．
由此可得x＋4＝±6，
x1＝2，x2＝－10．
(2)(2y－5)2＝(3y＋1)2；
解：移项，得(2y－5)2－(3y＋1)2＝0．
因式分解，得 (2y－5＋3y＋1)(2y－5－3y－1)＝0，
(5y－4)(－y－6)＝0．
于是得5y－4＝0，或－y－6＝0，
(3)(x－3)(2x－1)＝1．
解：方程化为2x2－7x＋2＝0．
a＝2，b＝－7，c＝2．
Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×2×2＝33＞0．
方程有两个不等的实数根
类型 一元二次方程的简单应用
情况一 利用方程的根
6．若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－x＋m2－1＝0有一个根为0，则m的值为 ( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或0
A
7．已知a是一元二次方程2x2＋4x－3＝0的一个根，则代数式a2＋ 2a－1的值是 ( )
A．1 B．2
C
8．若实数a，b是一元二次方程x2＋2x－3＝0的两个根，且a＜b，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
情况二 利用根的判别式
9．关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( )
A．k＞－1 B．k＜－1
C．k＞1 D．k＞－1且k≠0
10．已知关于x的方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：b＝_____，c＝_____．(答案不唯一)
D
2
1
11．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
解：△ABC为直角三角形．理由如下：
根据题意，得Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，即b2＋c2＝a2．
∴△ABC为直角三角形．
(2)如果△ABC是等边三角形，求这个一元二次方程的根．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c．
∴方程可化为x2＋x＝0．
解得x1＝0，x2＝－1．
情况三 利用根与系数的关系
12．已知关于x的方程x2－(2m＋3)x＋2＝0的两根互为相反数，则
m ＝________．
13．菱形的两条对角线的长分别是方程x2－mx＋56＝0的两个根，则此菱形的面积是______．
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14．已知关于x的一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
解：∵一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0有实数根，
∴Δ≥0且m≠0，
即4m2－4m(m－2)≥0，且m≠0．
解得m＞0．
(2)若方程两根x1，x2满足|x1－x2|＝1，求m的值．
解：∵|x1－x2|＝1，
∴(x1－x2)2＝1．
∴(x1＋x2)2－4x1x2＝1．
