(共24张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第2课时 锐角三角函数(二)(余弦、正切)
课前预习
1．请填写下表．
对边
斜边
邻边
斜边
对边
邻边
2．如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
则sin A＝______，cos A＝______，
tan A＝______，sin B＝______，
cos B＝______，tan B＝______．
图2
课堂讲练
例1 如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A的余弦值和正切值．
图3
训练 1．如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，求sin A，cos A和tan A的值．
图4
图5
图6
1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2＋ b2＝c2，则下列结论正确的是 ( )
A．b·cos B＝c B．a·tan A＝b
C．c·sin A＝a D．c·tan B＝b
C
C
图7
4
图8
图9
图9
6．如图10，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12．求sin B，cos B，tan B的值．
图10
答图1
随 堂 测
C
A
3．如图1，AC是电线杆AB的一根拉线，已知BC＝6米，∠ACB＝α，则拉线AC的长为 ( )
图1
C
4．如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列等式一定成立的是 ( )
A．sin A＝sin B
B．cos A＝cos B
C．sin A＝cos B
D．tan A＝tan B
C
图2
图3
6．如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.若AD＝8，BD＝4，则tan B的值是______.
图4(共22张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第7课时 解直角三角形的应用(三)(坡度、坡角)
衔接回顾
图1
30°
1∶1
课堂讲练
例1 如图2，河堤横断面迎水坡AB的坡比(即坡度)是3∶4，已知堤高BC＝6 m，求坡面的水平长度AC．
图2
训练 1．如图3，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1∶2，物体从地面点A处沿着该斜坡前进了10米到达点B处，求物体离地面的高度BC．(结果保留根号)
图3
图4
训练 2．如图5，某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．已知原阶梯式自动扶梯AB长10 m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，求改造后的斜坡式自动扶梯AC的长.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)
图5
图5
图6
B
图7
解：如答图1，过点B作BD⊥AF于点D，则四边形BDFE为矩形．
答图1
∴EF＝BD．
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
图8
答图2
答图2
随 堂 测
图1
2
图2
图2
(1)求改造前坡顶与地面的距离BE；
(2)学校计划将斜坡AB改造成AF，那么BF的长至少是多少米？(结果精确到1米．参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈ 1.33)
图2
答图1(共21张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第5课时 解直角三角形的应用(一)(仰俯角)
衔接回顾
1．如图1，在进行测量时，在视线与水平线所成的角中：
图1
(1)抬头看时，视线与水平线的夹角叫_______，图中人眼看点A的仰角为_______；
(2)低头看时，视线与水平线的夹角叫_______，图中人眼看点B的俯角为_______．
仰角
30°
俯角
70°
课堂讲练
例1 如图2，某飞机在离地面1 280 m的空中A处探测到正下方的目标C，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝40°．求飞机A与指挥台B的距离．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
图2
图2
训练 1．如图3，在距离树(BC)12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，已知测角仪AD的高为1.5米，求树BC的高．(结果保留根号)
图3
答图1
例2 如图4，为了测量旗杆AB的高度，小敏站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，旗杆顶端A的仰角为37°，测得旗杆与教学楼的水平距离CD为8 m，求旗杆AB的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)
图4
图4
图5
图5
图6
图6
图7
答图2
答图2
随 堂 测
1．图1是一架人字梯，已知AB＝AC，AC与地面BC的夹角为α，两梯脚之间的距离BC为8米，则梯长AB为 ( )
A．4cos α 米
B．4sin α 米
C．4tan α 米
D
图1
2．小明想利用所学的数学知识对学校的实验楼AB的高度进行测量．如图2，先测得实验楼AB与教学楼CD之间的距离AC为31 m，又站在M点处测得教学楼CD的顶端D的仰角为45°，实验楼AB的顶端B的仰角为55°.已知教学楼CD的高度为16.7 m，小明的观测点N距地面1.7 m．求实验楼AB的高度．(结果精确到1 m．参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
图2
解：如答图1，过点N作NF⊥CD，垂足为F，延长FN交AB于点E，则NE⊥AB.由题意，得NM＝CF＝EA＝1.7，AC＝EF＝31.
∵CD＝16.7，∴DF＝CD－CF＝15.
在Rt△DFN中，∠DNF＝45°，
答图1
在Rt△BEN中，∠BNE＝55°，∴BE＝EN·tan 55°≈16×1.43＝22.88.
∴AB＝BE＋EA≈22.88＋1.7≈25(米).
答：实验楼AB的高度约为25米．(共25张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第4课时 解直角三角形
衔接回顾
1．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)三边之间的关系：___________；(勾股定理)
(2)两锐角之间的关系：____________＝90°；
(3)边、角之间的关系：
sin A＝______，cos A＝______，
tan A＝______，sin B＝______，
cos B＝______，tan B＝______．
a2＋b2＝c2
图1
∠A＋∠B
解直角三角形：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
课堂讲练
图2
图2
图3
训练 2．如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，b＝20，解这个直角三角形．(结果精确到0.1．参考数据：tan 40°≈0.84，cos 40°≈0.77)
图4
图5
答图1
图6
答图2
在解三角函数相关问题中，若题目中未给出直角三角形，可采用作辅助线的方法构造直角三角形进行解答．
图7
图7
图8
答图3
答图3
随 堂 测
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，∠A＝45°，解这个直角三角形．
图1(共21张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第6课时 解直角三角形的应用(二)(方向角)
衔接回顾
1．方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始线旋转到目标的方向所成的角．如图1，点A在点O的北偏东30°方向．
(1)点B在点O的___________________方向；
(2)点C在点O的_____________方向；
(3)点D在点O的_____________方向．
图1
南偏西45°(西南)
北偏西60°
南偏东75°
课堂讲练
例1 如图2，海面上有A，B两岛分别位于C岛的正北方向和正东方向上，一艘船从C岛出发，以20海里/小时的速度向正北方向航行2小时到达A岛，此时测得B岛在A岛的南偏东58°方向上，求B，C两岛之间的距离．(参考数据：sin 58°≈0.8，cos 58°≈ 0.5，tan 58°≈1.6)
图2
图2
图3
答图1
例2 如图4，一架飞机沿正北方向匀速飞行，在A处测得雷达站C在北偏西37°方向上，在B处测得雷达站C在北偏西63°方向上，此时BC＝150公里，求A，B两地的距离．(参考数据：sin 63°≈0.89，cos 63°≈0.45，tan 37°≈0.75)
图4
图4
训练 2．如图5，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．求B处到灯塔P的距离．(结果保留根号)
图5
答图2
图6
解：如答图3，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D．
由题意，得∠BAD＝53°，∠CAD＝30°，BC＝1.5×40＝60．
答图3
答图3
2．(2022锦州)如图7，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离．(结果精确到0.1海里．参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
图7
解：如答图4，过点B作BD⊥AC于点D．
由题意，得∠BAD＝60°－30°＝30°，∠C＝180°－30°－30°－70°＝50°，BC＝20，
∴BD＝BC·sin 50°≈20×0.766＝15.32．
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD≈30.64≈30.6(海里)．
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
答图4
随 堂 测
1．小敏同学从家里沿北偏西60°方向走100 m到商场购买文具，再从商场向正南方向走200 m到学校，小敏同学的家到学校的距离为 ( )
B
2．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．周末，小强一家到B，C两处景区游玩，如图1，他们从家A处出发，向正西方向行驶160 km到达景区B处，测得景区C在景区B的北偏西15°方向上，且出发时测得景区C在家A的北偏西60°方向上．
(1)填空：∠C＝______°；
(2)求景区B到景区C的距离．(结果保留根号)
45
图1
答图1(共29张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
章节课标相关内容：
内容要求 学业要求
图形的变化——图形的相似 1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值． 2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题． 图形的变化
1．知道直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数，能用锐角三角函数解决简单的实际问题．[几何直观、应用意识、模型观念]
第1课时 锐角三角函数(一)(正弦)
随 堂 测
课堂讲练
课前预习
课前预习
图1
AB(c)
BC(a)
AC(b)
2．如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边长为_____，∠B的对边长为_____，sin B的值为______．
5
图2
3
注：(1)正弦的大小只与锐角的角度大小有关，与直角三角形的大小无关．
(2)正弦的常见表示方法：①sin A，sin 30°，sin α(可省去角的符号)；②sin ∠ABC，sin ∠1(不能省去角的符号)．
课堂讲练
例1 如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，求 sin A和sin B的值．
图3
训练 1．如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sin A和sin B的值．
图4
图5
图6
在直角三角形中，利用锐角三角函数求解边长时，可将所给出的锐角三角函数转化为边与边之间的关系，再进行求解．
例3 如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，求sin A和 sin B的值．
图7
图8
图8
在计算与三角函数值有关的问题时，若给出的条件不能直接进行计算，可用设参数的方法表示各线段，进而利用比例关系、构造方程等方法进行求解各线段，最终计算三角函数值．
1．在Rt△ABC中，若各边长都扩大3倍，则锐角A的正弦值 ( )
A
A
图9
4．如图10，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，BC＝6，AC＝8，则sin ∠CDB＝______．
图10
5．如图11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，求sin A，sin ∠ACD的值．
图11
图11
随 堂 测
图1
C
C
B
4．如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列各组线段的比值中与sin B不相等的是 ( )
图2
C
5．如图3，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则sin ∠CDB＝______.
图3(共28张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
章末复习
知识点1 三角函数的定义
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
图1
80
2
知识点2 特殊角的三角函数值
4．计算：
(1)tan 60°＋2sin 45°＝__________；
(2)sin260°＋tan 45°·cos 60°＝______．
60°
60°
知识点3 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，知道其中两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个元素．
图2
知识点4 解直角三角形的实际应用
(1)步骤：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；②根据问题中的条件，利用锐角三角函数，勾股定理等解直角三角形；③得到数学问题的结果；④得到实际问题的答案．
(2)常考题型：仰俯角、方向角、坡角．
7．如图3，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角α＝30°．若地面目标B，C之间的距离为6千米，则飞机离地面的高度AB＝_______千米．(结果保留根号)
图3
B
A
图4
4
5．如图5，网格中的小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是______．
图5
6．将宽为2 cm的长方形纸条按如图6所示的方式折叠，那么折痕PQ的长是______cm．
图6
8．消防车是救援火灾的主要装备．图7是一辆登高云梯消防车的实物图，图8是其工作示意图，起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，点A距离地面的高度AE为3米．当起重臂AC的长为24米，∠CAE＝120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．
图7
图8
解：如答图1，过点A作AG⊥CF于点G．
答图1
由题意，得四边形AEFG是矩形．∴AE＝FG＝3，∠GAE＝90°．
∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE－∠GAE＝30°．
图9
(1)求△BCD的周长；
(2)求sin ∠DBE的值．
图9
图9
10．(2022通辽)如图10，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos ∠ADC的值为 ( )
图10
B
11．(2022绥化)定义一种运算：
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．
12．(2022张家界)我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图11，已知大正方形ABCD的面积是100，小正
方形EFGH的面积是4，那么tan ∠ADF＝______．
图11
图12
图13
答图2
(2)如图14，某市规划对一片三角形区域进行绿化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)
图14
答图3(共22张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
课前预习
1．(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则
BC＝______AB，AC＝______AB，BC＝______AC，
所以sin 30°＝______，cos 30°＝______，tan 30°＝______．
图1
(2)根据(1)中方法，请求出45°，60°角的三角函数值，并将下表填写完整．
锐角A 锐角三角函数 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
1
课堂讲练
知识点1 利用三角函数值进行计算
例1 填空：
(1)2tan 45°＝_____；
(2)sin260°＝______；
(3)cos 60°tan 30°＝______．
2
(2)tan 60°cos 30°－cos245°；
训练 2．求下列各式的值：
(1)2sin 30°－tan260°；
(2)sin 45°cos 45°＋4tan 30°sin 60°；
60°
30°
15°
60°
30°
45°
C
D
随 堂 测
D
A
3．计算：
(1)tan 30°·sin 60°＝______；
(2)tan 60°＋2cos 45°＝__________.
4．已知β为锐角，填空：
(1)若tan β＝1，则β的度数为________；
45°
30°
45°
5．计算：
(1)sin 45°cos 60°－cos 45°；
