(共24张PPT)
第二十七章 相似
第3课时 相似三角形的判定(一)
课前预习
1．相似三角形是最常见的相似多边形，它的对应角________，对应边__________．
相等
成比例
∠A′
AC
3
课堂讲练
知识点1 平行线分线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 几何语言：
∵l3∥l4∥l5，
∴________________ _____________．
推广：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
图1
2
3
训练 1．如图2，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1，l2，l3分别相交于点A，O，B和点C，O，D．若AO＝3，BO＝2，CO＝3.6，则CD的长是_____．
6
图2
知识点2 相似三角形的判定1
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
拓展：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线(或反向延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
几何语言：∵__________，∴________________．
DE∥BC
△ADE∽△ABC
证明：∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC．
图3
(2)△DEC与△ABC的相似比为______．
训练 2．如图4，AD，BC相交于点O，AB∥CD∥EF，则图中共有几对相似三角形？请分别写出来．
图4
解：图中共有3对相似三角形．
分别是△OBA∽△OEF，△OBA∽△OCD，△OEF∽△OCD．
知识点3 相似三角形的判定与性质综合
例3 如图5，在 ABCD中，E是BA延长线上的一点，连接EC交AD于点F．
(1)求证：△EAF∽△EBC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．∴△EAF∽△EBC．
图5
(2)若EA＝2，AB＝3，BC＝10，求AF的长度．
图5
训练 3．如图6，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，AC与BE相交于点M，若AC＝9，求AM的长．
图6
1．如图7，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝70°，∠B＝45°，当∠AED＝______°时，△ABC∽△ADE．
65
图7
2．【教材改编，RJ九下P31】如图8，直线l1∥l2∥l3，AC与DF交于点G，AB∶BG∶CG＝2∶1∶3．若DF＝12，则EG＝_____．
2
图8
3．【应用意识】如图9，AB是斜靠在墙AC上的楼梯，梯脚B点距离墙1.6 m，梯上D点距墙1.2 m．若BD＝0.5 m，则梯子的长度为________．
2 m
图9
4．【数形结合】如图10，在平面直角坐标系中，OB＝9，C为△AOB的边OA上一点，AC∶OC＝2∶1，过C作CD∥OB交AB于点D．若点C的纵坐标为1，则点D的纵坐标为 ( )
A．5 B．6
C．7 D．8
图10
C
图11
5．如图11，在菱形ABCD中，AB＝3，CE⊥AB于点E，∠A＝120°，CE与BD交于点F．
(2)求BF的长．
图11
随 堂 测
1．(2022丽水)如图1，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是 ( )
图1
C
2．(2022鞍山)如图2，AB∥CD，AD，BC相交于点E.若AE∶DE＝1∶2，AB＝2.5，则CD的长为_____.
5
图2
3．如图3，将边长分别为2 cm的三个正方形按如图所示的方式排列，连接BH，交EF于点I，则EI的长度为______cm.
图3
4．如图4，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且四边形BDEF是菱形，求AD的长．
图4(共21张PPT)
第二十七章 相似
微专题 四大相似模型
类型 A字型相似及其变形
特征：两个三角形有一组角为公共角
正A字型
斜A字型
特征：两个三角形有一组角为公共角
母子型
射影定理型
1．如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，点M在AB上，AM＝2，过点M作直线MN截△ABC，且满足∠AMN＝∠C，则MN的长为 ( )
图1
C
2．如图2，在△ABC中，已知BD∶AB∶CD＝1∶2∶3，若AD＝7，则AC的长是______．
14
图2
3．如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，在△ABC内截取正方形CDEF，使得点E在边AB上，则正方形CDEF的边
长为______．
图3
4．如图4，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．
(1)求证：∠A＝∠CBP；
证明：∵PB与⊙O相切于点B，
∴∠ABP＝90°，即∠ABC＋∠CBP＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCP＝90°．
∴∠A＋∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠CBP．
图4
(2)若AC＝9，CP＝4，求BC的长度．
图4
类型 “8”字型相似
特征：两个三角形有一组角为对顶角
5．如图5，AD，BC相交于点P，连接AC，BD，∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，则BD的长为______．
图5
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．∴∠AFB＝∠CBF．
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF．
∴∠ABF＝∠AFB．∴AF＝AB＝4．
∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB．
图6
类型 旋转型相似
特征：共顶点旋转，共顶点的角相等
△ABC∽ADE △ABD∽△ACE
7．如图7，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ADE∽△ABC．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC．
∵∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC．
图7
8．如图8，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，且△CAB∽△CDE．
求证：(1)△CAD∽△CBE；
图8
(2)EB⊥AB．
证明：∵△CAD∽△CBE，
∴∠A＝∠CBE．
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠CBA＝90°．
∴∠CBE＋∠CBA＝90°，即∠DBE＝90°．
∴EB⊥AB．
图8
类型 一线三等角型相似
特征：三个等角的顶点在同一条直线上
一线 三等角
一线 三垂直
C
图9
10．如图10，已知A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P的坐标为 ( )
B
图10
11．如图11，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，点P为BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B．
(1)求证：△ABP∽△PCM；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵∠BAP＋∠B＋∠APB＝180°，
∠APB＋∠APM＋∠CPM＝180°，∠APM＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPM．
∴△ABP∽△PCM．
图11
(2)当∠MPC＝90°时，求线段BP的长度．
图11
答图1
答图1(共20张PPT)
第二十七章 相似
第10课时 位似(二)
课堂讲练
知识点1 位似图形的坐标特征
例1 如图1，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把△OAB放大2倍得到△OA1B1，△OA2B2．
(1)点A(_____，_____)的对应点分别为A1(_____，_____)，A2(_______，_______)；
(2)点B(_____，_______)的对应点分别为B1(_____，_______)，B2(_______，_____)．
图1
2
1
4
2
－4
－2
1
－2
2
－4
－2
4
(1)点B(_____，_____)的对应点为B1(_____，_______)，点C(_____，_____)的对应点为C1(_______，_______)；
(2)线段BC的中点为点P(_____，_____)，则它在线段B1C1上的对应点为P1(______，_____)．
图2
0
4
0
－2
4
4
－2
－2
2
4
－1
－2
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为__________或_______________．
(kx，ky)
(－kx，－ky)
B
图3
训练 2．如图4，线段AB两个端点的坐标分别为A(8，2)，B(6，6)．若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大为原来的2倍得到线段CD，则点C的坐标为__________，点D的坐标为___________．
(16，4)
图4
(12，12)
图5
解：如答图1，四边形OA′B′C′即为所求．
O(0，0)，A′(2，0)，B′(3，2)，C′(0，3)．
答图1
训练 3．如图6，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为(－4，1)．在网格内画出以点B为位似中心，将△ABC按相似比为2放大所得到的△A1B1C1，并写出C1的坐标．
图6
解：如答图2，△A1B1C1即为所求．
C1(－1，－3)．
答图2
A
图7
2．(2022黔西南州)如图8，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A(4，0)，点C(2，0)，则△OAB与△OCD周长的比值是_____．
图8
2
3．如图9，已知矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心点P在y轴上．若点B，F的坐标分别为(4，3)，(－2，1)，则点P的坐标为
________．
图9
(1)请画出点P的位置，点P的坐标为__________；
4．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图10所示．已知点A(1，0)，B(4，－1)，C(3，2)，△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．
图10
(0，－2)
解：如答图3，点P即为所求．
答图3
解：如答图3，△A2B2C2即为所求．
答图3
(2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1∶1．
图10
随 堂 测
D
图1
2．如图2，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是 ( )
A．(－1，0)
B．(1，0)
C．(0，－1)
D．(0，1)
C
图2
3．如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，3).
图3
解：如答图1，△A1B1C1即为所求．
答图1
(1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2；
图3
(2)△A1B1C1的面积为______.
10
答图1(共24张PPT)
第二十七章 相似
第6课时 相似三角形的性质
衔接回顾
1．相似三角形的对应角________，对应边的比等于__________(定义)．
(1)DE的长度为_____；(2)∠F的度数是_______．
图1
相等
相似比
6
85°
课堂讲练
知识点1 相似三角形的性质1
相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比．
(1)它们的相似比为______；
(2)它们的对应高的比为______；
(3)已知△ABC中AB边上的中线长为6 cm，则△DEF中DE边上的中线长为__________．
12 cm
训练 1．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是它们的对应高.若AD＝2，A′D′＝1，则下列说法正确的是 ( )
A．它们的对应角的比为2∶1
B．它们的对应边的比为1∶1
C．它们的对应中线的比为2∶1
D．它们的对应角平分线的比为4∶1
C
知识点2 相似三角形的性质2
相似三角形周长的比等于相似比．
例2 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，则△ABC与△DEF的周长的比为 ( )
A．1∶3 B．3∶1
C．9∶1 D．9∶1
B
9
易错点 在相似三角形中，如果没有指定对应边，需要进行分类讨论
D
例3 已知两个三角形相似，其中一个三角形三边的长分别是4，6，8，另一个三角形的某一边的长是2，则该三角形的周长是 ( )
A．4.5 B．6
C．9 D．以上答案都有可能
知识点3 相似三角形的性质3
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
图2
图2
训练 3．如图3，在Rt△ABC中，AC＝4，点D在边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB．当△DEC的面积与四边形ABED的面积相等时，求CD的长．
图3
1．将某直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则该直角三角形 ( )
A．每个角扩大2倍 B．斜边扩大2倍
C．周长扩大4倍 D．面积扩大8倍
B
2．已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为 ( )
A．8 B．2
C．16 D．4
A
3．将一副三角板按图4所示的方式摆放，若点O到AB的距离为2，则点O到CD的距离为_______．
图4
4．如图5，在该正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E均在格点上．若△ABC∽△DCE，则△DCE的面积是_____．
图5
5．如图6，在□ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F．
(1)求证：AB＝FD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．∴∠ABE＝∠F．
∵E是AD边上的中点，∴AE＝DE．
又∠AEB＝∠DEF，∴△ABE≌△DFE(AAS)．
∴AB＝FD．
图6
(2)当□ABCD的面积为8时，求△FED的面积．
图6
随 堂 测
A
2．如图1，△ABC∽△A′B′C′，下列说法正确的是 ( )
A．∠B＝2∠B′ B．S△ABC＝2S△A′B′C′
C．AC＝4A′C′ D．A′B′＝6
D
图1
3．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6 cm
变成了2 cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的______.
4．如图2，在□ABCD中，△AEF∽△CDB，点E是边AB的中点，若△CDB的周长为6，则△AEF的周长为_____.
图2
3
5．已知两个直角三角形相似，相似比为3∶4，若小三角形的斜边长为12 cm，则大三角形的斜边的中线长为_____cm.
8
3
图3(共22张PPT)
第二十七章 相似
第4课时 相似三角形的判定(二)
课堂讲练
知识点1 相似三角形的判定2
三边__________的两个三角形相似．
几何语言(如图)：在△ABC和△A′B′C′中， __________________， ∴△ABC∽△A′B′C′．
成比例
例1 如图1，根据所给条件，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
图1
解：△ABC∽△DEF．
训练 1．如图2，已知E是线段AB的中点，根据所给的条件，求证：△ABC∽△BED．
图2
知识点2 相似三角形的判定3
两边__________且夹角________的两个三角形相似．
几何语言(如图)：在△ABC和△A′B′C′中， __________________________， ∴△ABC∽△A′B′C′．
成比例
相等
例2 判断图3中的两个三角形是否相似，并说明理由．
图3
解：△ACB∽△ECD．
训练 2．如图4，根据所给条件，判断△ADE和△ABC是否相似，并说明理由．
图4
解：△ADE∽△ABC．
图5
(2)当∠B＝40°时，求∠ACE的大小．
图5
图6
训练 3．如图6，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2＝AD·BD．
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)若AC＝3，BC＝4，求AB的长．
图6
1．依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似．(相似打“√”，不相似打“×”)
(1)AB＝2 cm，BC＝2 cm，CA＝3 cm，A′B′＝6 cm，B′C′＝6 cm，C′A′＝9 cm； ( )
(2)∠A＝∠A′＝45°，AB＝12 cm，AC＝15 cm，A′B′＝16 cm，A′C′＝20 cm． ( )
√
√
2．【易错点】如图7，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是AB边的
中点，E是AC边上任意一点，当AE＝___________时，△ADE和△ABC相似．
注：要分辨“△ABC与△ADE相似”和“△ABC∽△ADE”两种说法的区别．
图7
3．如图8，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，求证：△ABC∽△DEF．
图8
4．如图9，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，点F在边CD上，且CD＝4DF，连接BE，EF．
求证：(1)△ABE∽△DEF；
图9
证明：设AB＝4k．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4k，∠A＝∠D＝90°．
∵CD＝4DF，E是边AD的中点，
∴DF＝k，AE＝DE＝2k．
(2)∠BEF＝90°．
图9
证明：∵△ABE∽△DEF，
∴∠ABE＝∠DEF．
∵∠ABE＋∠AEB＝90°，
∴∠DEF＋∠AEB＝90°．
∴∠BEF＝180°－(∠DEF＋∠AEB)＝90°．
随 堂 测
1．将一个三角形的各边都缩小到原来的一半，得到的三角形与原三角形 ( )
A．一定不相似 B．不一定相似
C．无法判断是否相似 D．一定相似
D
2．如图1，AB，CD相交于点O，AO＝2，BO＝4，CO＝3，当DO＝_____时，△ACO∽△BDO.
6
图1
3．如图2，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，P是CD边上的一个动点，当DP＝_____时，△ADP与△BCP相似．
4
图2
图3
4．如图3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AB＝6，AC＝4，BC＝8，AD＝2，AE＝3，求线段DE的长．(共31张PPT)
第二十七章 相似
章节课标相关内容：
内容要求
图形的变化——图形的相似
1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
2．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．
3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
内容要求
4．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明．
5．了解相似三角形的性质定理(这些定理不要求证明)：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．
7．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．(见例)
学业要求
图形的变化
1．了解图形相似的意义，会判断简单的相似三角形．[几何直观]
内容要求 学业要求
图形与坐标 1．在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的． 图形与坐标
1．会用坐标表达图形的变化，感悟通过几何建立直观的过程．在这样的过程中，感悟数形结合的思想，会用数形结合的方法分析和解决问题．
例 利用图形的相似解决问题[应用意识、模型观念]
在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．
图1
【说明】如图1，右边是一个高楼的示意图．可以组织一个教学活动，利用相似三角形测量高楼的高度．
在距高楼MN为b米的点B处竖立一个长度为l米的直杆AB，调整自己的位置，使得直立时眼睛C、直杆顶点A和高楼顶点M三点共线．测量人与直杆的距离DB，记为a米；测量眼睛高度CD，记为h米．
图1
第1课时 图形的相似
随 堂 测
课堂讲练
课前预习
课前预习
1．相似图形与全等图形的对比：
全等图形 相似图形
定义 ________和________ 都相同的图形 ________相同的图形
图例
符号表示 四边形ABCD≌四边形EFGH 四边形ABCD∽四边形EFGH
联系 相似是全等的拓展，全等是相似的特例．
形状
大小
形状
课堂讲练
知识点1 相似图形的概念
________相同的图形叫做相似图形．其中一个图形可以看作由另一个图形放大或________得到．
形状
缩小
例1 观察下列各组图形，其中是相似图形的有__________，是全等图形的有______．
注：两个相似图形的大小相等，则两图形全等．
①②④
④
训练 1．下列选项中的两个图形，是相似图形的是 ( )
C
例2 下列图形不是相似图形的是 ( )
A．五星红旗上的大五角星与小五角星
B．同一底片打印出来的两张照片
C．从哈哈镜中看到的人像与从平面镜中看到的人像
D．两张大小不同的中国地图的边境线
C
训练 2．下列各组图形：①关于直线对称的两个图形；②两个边长不相等的正方形；③两个边长不相等的菱形；④两个等腰直角三角形．其中一定相似的有 ( )
A．①② B．①④
C．①②④ D．①②③④
C
相等
×
√
√
×
B
2
1．下列图形中，与图1是相似图形的是 ( )
D
图1
2．下列说法错误的是 ( )
A．两个全等三角形一定相似
B．两个大小相同的图形一定相似
C．两个形状相同的图形一定相似
D．一个图形放大后得到的图形与原图形一定相似
B
A
图2
B
5．【易错点】如图3，在5×5的格点图中有一个四边形，请你在格点图中画出一个与该多边形相似的图形．(要求大小不同)
图3
解：画出图形如答图1所示．(答案不唯一)
答图1
注：将一个图形放大或缩小，指的是将这个图形的每条边都同时放大或缩小相同的比例．
随 堂 测
1．如图1，在测量某物体的长度时，若看不清标尺上的刻度，可利用放大镜将标尺上的数字放大，这种图形变换是 ( )
A．平移变换
B．旋转变换
C．轴对称变换
D．相似变换
D
图1
2．观察下列各组图形，其中不是相似图形的是 ( )
A
3．已知四条线段a，b，c，d成比例，a＝5，d＝20，且b＝c，则c＝______.
10
50
D (共23张PPT)
第二十七章 相似
第7课时 相似三角形应用举例(一)
课堂讲练
知识点1 简单的实际问题
例1 图1是可伸缩折叠的不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，OA＝OB，OC＝OD，点A，B之间的距离为1.2米，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为 ( )
A．0.8米
B．0.86米
C．0.96米
D．1米
C
训练 1．图3是测量某玻璃管内径的示意图，点D正对10 mm刻度线，点A正对30 mm刻度线，DE∥AB．若测得AB的长为6 mm，则玻璃管内径DE的长为_____mm．
2
图3
知识点2 利用影长的测量问题
例2 《孙子算经》是我国古代一部重要的数学著作，其中一题可译为：如图4，有一根直立的竹竿AB，量出它在太阳下的影长BF＝15尺，同时立一根长1.5尺的小标杆CD，它的影长DE＝0.5尺，求竹竿AB的长．
图4
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABF＝∠CDE＝90°．
由题意，得AF∥CE．
∴∠AFB＝∠CED．
∴△ABF∽△CDE．
答：竹竿AB的长为45尺．
图4
训练 2．如图5，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC．若树高AB＝2 m，树影BC＝3 m，树与路灯的水平距离BP＝4 m，求路灯OP的高度．
图5
知识点3 测量河宽问题
例3 【教材改编，RJ九下P40】如图6，点A是河对岸上一点，点A，B，D在同一条直线上，点A，C，E在同一条直线上，且AD⊥DE，BC∥DE．若BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB．
图6
图6
训练 3．【教材改编，RJ九下P41】 如图7，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，在BC上取一点E，满足点A，E，D在同一条直线上．测得BE＝30 m，CE＝15 m，DC＝30 m，求河的宽度AB．
图7
图7
1．某时刻身高1.8米的人在阳光下的影长是1.2米，此时一根旗杆的影长是6米，则旗杆的高度是 ( )
A．8米 B．9米
C．10米 D．10.8米
B
2．【跨学科】图8是小孔成像原理的示意图，已知OA＝30 cm，OC＝10 cm，AB∥CD．若物体AB的高度为15 cm，则像CD的高度是_____ cm．
5
图8
3．【实践探究】
下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．
题目 测量小河的宽度AB
测量方法 示意图
测量数据 BC＝1 m，BD＝10 m，DE＝1.2 m
4．(2022陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图9所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
图9
解：如答图1，过点C作CM⊥OD于点C，交AD于点M．
∵AD∥EG，∴∠EGF＝∠MDC．
∵EF⊥GC，MC⊥GC，
∴∠EFG＝∠MCD＝90°．
∴△EGF∽△MDC．
答图1
解得CM＝3．
由题意易得AM∥BC，CM∥AB，
∴四边形ABCM为平行四边形．
∴AB＝CM＝3．
答：旗杆的高AB是3米．
答图1
随 堂 测
1．某小组为了测量河AB的宽度，采取了如下方法：如图1，从点D处沿与AD垂直的方向走15米到点C，再取一点O，使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上．现测得OC＝10米，AC＝20米，则河AB的宽度为______米．
45
图1
2．如图2，已知甲、乙两盏路灯相距30米，当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行25米时，发现自己影子的顶部正好接触到路灯乙的底部，若小刚的身高为1.5米，则路灯甲高_____米．
9
图2
3．如图3，小明在A时刻测得树CE的影长DE为2 m，又在B时刻测得树CE的影长EF为8 m，若两次日照的光线互相垂直，求树CE的高度．
图3
解：由题意，得∠DCF＝90°，CE⊥DF，DE＝2，EF＝8.
∴∠DCE＋∠D＝90°，∠DCE＋∠ECF＝90°.
∴∠D＝∠ECF.
又∠DEC＝∠CEF，
∴△EDC∽△ECF.
∴EC＝4.
答：树CE的高度是4 m．
图3(共23张PPT)
第二十七章 相似
第2课时 相似多边形
课堂讲练
知识点1 相似多边形的定义(判定)
两个边数相同的多边形，如果它们的角分别________，边__________，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做__________，记作k． 几何语言： ∵____________________________________________， 且________________________， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
相等
成比例
相似比
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′
例1 观察如图1所示的3个图形，图②与图①的对应边成比例，图③与图①的对应角相等，那么它们是相似多边形吗？请说明理由．
图1
解：图②和图③均与图①不是相似多边形．
理由：图①和图②的对应角不相等；图①和图③的对应边不成比例．
注：两个多边形必须同时满足对应角相等与对应边成比例，这两个多边形才相似．
训练 1．如图2，在矩形ABCD和矩形A′B′C′D′中，AB＝16，AD＝10，A′B′＝8，A′D′＝5．
(1)求证：矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′；
(2)相似比k＝_____．
图2
2
知识点2 相似多边形的性质
如果两个多边形相似，那么这两个多边形的对应角________，对应边__________． 几何语言： ∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似， ∴____________________________________________， 且__________________________．
相等
成比例
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′
例2 如图3，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
(1)∠C＝_______，∠B＝_______；
(2)求x，y的长度．
图3
135°
69°
训练 2．如图4，已知五边形ABCDE∽五边形AFGHI．
(1)求DE的长度；
图4
解：∵五边形ABCDE∽五边形AFGHI，
∴∠AED＝∠I＝92°，∠C＝∠G＝140°．
∴∠D＝180°×(5－2)－∠A－∠AED－∠ABC－∠C＝98°．
(2)求∠D的度数．
图4
1．已知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，其中五边形ABCDE的5个内角中，最大的角是120°，最小的角是60°，则五边形A1B1C1D1E1中最小的内角的度数是 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
C
2．【易错题】如图5所示的两个菱形______相似四边形．(填“是”或“不是”)
是
图5
3．【教材改编，RJ九下P28】如图6，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折(EF为折痕)，得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原矩形的长与宽的比，则原矩形的长与宽的比是 ( )
D
图6
4．已知两个相似六边形的相似比为3∶5，它们的差是24 cm，那么较大六边形的周长为______cm．
60
5．如图7，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点．
(1)求证：△ADE与△ABC相似；
图7
(2)△ADE与△ABC的相似比为______．
图7
6．【教材改编，RJ九下P28】如图8，矩形花坛ABCD的宽AB＝ 20 m，长AD＝30 m．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形EFGH．
(1)如图8①，当小路的宽度为2 m时，矩形ABCD与矩形EFGH是否相似？请说明理由．
图8①
图8①
(2)如图8②，要使小路的四周围成的矩形EFGH与矩形ABCD相似，并且相对的两条小路的宽度相等，小路的宽度x与y的比值应为多少？
图8②
随 堂 测
1．如图1，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，A′B′＝6 cm，则B′C′的长为 ( )
A．8 cm
B．10 cm
C．12 cm
D．15 cm
B
图1
2．如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形
FBGE与正方形ABCD的相似比为______.
图2
3．如图3，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为5∶3，则下列结论中，正确的有________.
①∠E∶∠K＝5∶3；
②∠A＋∠H＝∠B＋∠G；
③ 5BC＝3HI；
④ 3AF＝5GL.
②④
图3
4．下列正多边形中，平行于一边的直线把正多边形分割成两部分，则阴影部分(多边形)与原正多边形相似的是 ( )
5．将一个矩形剪去一个正方形后，若剩下的矩形与原矩形相似，
则原矩形的长与宽的比是________.
A (共24张PPT)
第二十七章 相似
第9课时 位似(一)
课前预习
位似图形 定义 如果两个图形对应点连线相交于一点，并且这点与对应点所连线段__________，那么这两个图形叫做____________，这点叫做____________．
性质 文字表述 (1)位似图形的对应点的连线相交于位似中心；
(2)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；
(3)位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比．
成比例
位似图形
位似中心
位似图形 性质 图形示例 如图1，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，
则(1)AB∥__________，
AD∥__________，
CD∥__________，BC∥__________；
图1
A′B′
A′D′
C′D′
B′C′
AO
BO
CO
DO
位似图形 注：利用位似将图形放大或缩小时，位似中心点O的位置有以下几种常见情况：
①在图形内部 ②在图形顶点 ③在图形外部
(图形异侧、图形同侧) (图形异侧、图形同侧)
课堂讲练
知识点1 位似的概念
例1 判断下列图形(实线部分)是否为位似图形，并在横线处填空．(填“是”或“否”)
______ ______ ______ ______
是
是
否
是
训练 1．如图2，利用位似把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心是 ( )
A．点G
B．点F
C．点E
D．点D
B
图2
知识点2 位似的性质
例2 如图3，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，AO＝3，AA1＝6．
(1)△ABC与△A1B1C1的相似比是________；
(2)已知△ABC的周长为6，那么△A1B1C1的周长是______．
图3
1∶3
18
(1)若OA＝4，则OA′＝_____；
(2)矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积比为______．
图4
8
知识点3 位似作图
例3 如图5，已知△ABC和点O，以点O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半．
图5
解：如答图1，△A′B′C′或△A″B″C″即为所求．
答图1
训练 3．如图6，在10×10的正方形网格中，四边形ABCD是格点四边形(顶点都在网格线的交点上)，以点O为位似中心，在网格中把四边形ABCD放大为原来的3倍．
图6
解：如答图2，四边形A′B′C′D′即为所求．
答图2
1．如图7，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，相似比为3∶4，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为 ( )
A．6 B．8
C．9 D．10
图7
B
2．如图8，以点O为位似中心，把△ABC放大得到△A′B′C′，相似比为2∶5，则下列说法中错误的是 ( )
A．△ABC∽△A′B′C′
B．AO∶AA′＝2∶5
C．AB∶A′B′＝2∶5
D．AC∥A′C′
B
图8
3．如图9，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心．若OA＝AA′，△ABC的周长为2，则△A′B′C′的周长为_____．
4
图9
4．图10是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点A，B，C均在格点上，请用无刻度直尺在给定的网格中按要求作图，并保留作图痕迹.
图10
解：如答图3，△BMN即为所求．
答图3
(2)若每个小正方形的边长为1，则四边形AMNC的面积是______．
答图3
随 堂 测
1．(2022百色)已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1∶3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是 ( )
A．1∶3 B．1∶6
C．1∶9 D．3∶1
C
2．下列每组的两个图形不是位似图形的是 ( )
B
3．如图1，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，点A是位似中心，且AC∶AF＝2∶3.若EF＝18，则BC＝ ( )
A．6
B．9
C．12
D．27
C
图1
4．如图2，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的6×6网格中，点A，B，C，D均在格点上．请根据下述要求，利用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．
图2
解：如答图1①，△DEF即为所求．
答图1①
图2①
(2)在图2②中的BD上找一点P，使△APB∽△CPD.
解：如答图1②，点P即为所求．
答图1②
图2②(共21张PPT)
第二十七章 相似
第8课时 相似三角形应用举例(二)
课堂讲练
知识点1 利用标杆的测量问题
例1 如图1，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度．已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，求旗杆CD的高度．
图1
图1
训练 1．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、小树顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图2)．已知小明的眼睛离地面的距离AB＝1.6米，小树CD高2米，小明到小树的距离BD＝2米，小树离城楼底部的距离DF＝40米，小亮身高EG＝1.75米，求城楼的高度．
图2
解：如答图1，过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N．
解得EM＝8.4．
∴GF＝EM＋MF－EG＝8.4＋1.6－1.75＝8.25(米)．
答：城楼的高度为8.25米．
答图1
由题意，得AM＝BF＝2＋40＝42，CN＝CD－ND＝CD－AB＝2－1.6＝0.4，MF＝AB＝1.6．
∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM．
知识点2 利用反射的测量问题
例2 如图3，某数学兴趣小组为了测量学校一凉亭AB的高度，采取了如下方法：①在凉亭的右边点E处放置一面平面镜，测得BE＝12米；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A(此时∠AEB＝∠CED)，测得ED＝3米，点B，E，D在同一水平线上．已知眼睛到地面的距离CD＝1.6米，求凉亭AB的高．
图3
解：根据题意，得∠ABE＝∠CDE＝90°，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE．
解得AB＝6.4．
答：凉亭AB的高为6.4米．
图3
训练 2.如图4，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280 cm，AB＝140 cm，球在点E的位置，AE＝35 cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打出，经过反弹后(∠EFB＝∠DFC)，球刚好弹到点D的位置，求CF的长．
图4
知识点3 利用相似三角形的性质间接测量的问题
例3 如图5，光源P在水平横杆AB的上方，在光源的照射下，横杆AB在地面上的影子为CD(点P，A，C在一条直线上，点P，B，D在一条直线上)，不难发现AB∥CD．已知AB＝1.5 m，CD＝4.5 m，点P到横杆AB的距离是1 m，则光源P到地面的距离是_____m．
图5
3
1．如图6，淇淇在湖边看到湖对岸有一棵树，已知淇淇的身高为1.7 m，与树的距离为20 m，树的顶端在水中的倒影距淇淇5 m远，则树高为 ( )
A．3.4 m
B．4.7 m
C．5.1 m
D．6.8 m
C
图6
2．西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔．如图7，某校社会实践小组为了测量大雁塔BA的高度，在地面上的点C处垂直于地面放置了一根高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的
图7
顶端点D，大雁塔的塔尖点B恰好在同一直线上，测得EC＝4米；将标杆CD向后移动53米到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B恰好在同一直线上(点F，G，E，C，A在同一直线上)，测得FG＝6米．请你根据以上数据，计算大雁塔BA的高度．
图7
图7
3．图8是一块三角形材料ABC，师傅计划把它加工成矩形零件．已知BC＝12 cm，BC边上的高AD＝8 cm，矩形EFGH的边EF在BC上，点G，H分别在AC，AB上．设HE的长为y cm，EF的长为x cm．
图8
解：由题意可知AK＝AD－y＝8－y，HG＝EF＝x．
∵四边形EFGH是矩形，∴HG∥BC．
∴△AHG∽△ABC．
图8
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x取何值时，四边形EFGH是正方形？
图8
随 堂 测
图1
图2
1．图1是小明做的一个风筝，图2是它的支架的示意图，已知BC∥DE，AG⊥BC，分别交BC，DE于点F，G.若AF∶FG＝3∶5，BC＝30 cm，则DE的长是 ( )
A．50 cm
B．60 cm
C．70 cm
D．80 cm
D
2．如图3，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且直角边DE与点A在同一直线上．已知DE＝0.4 m，EF＝0.2 m，边DF离地面的高度DG＝1.5 m，小明与树的距离BG＝8 m，求树AB的高度．
图3
解：由题意，得四边形BCDG是矩形．
∴CB＝DG＝1.5 m，CD＝BG＝8 m.
∵∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，
∴△DEF∽△DCA.
解得CA＝4.
∴AB＝CB＋CA＝1.5＋4＝5.5(m).
答：树AB的高度为5.5 m．
图3(共41张PPT)
第二十七章 相似
章末复习
知识点1 相似多边形
判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似．
性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
1．若图1中的两个四边形相似，则α＝_______°，x＝______，y＝______．
100
图1
知识点2 平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
几何语言：
∵l3∥l4∥l5，
2．如图2，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BC＝6，则CE的长为 ( )
A．2
B．4
C．8
D．10
B
图2
知识点3 相似三角形的判定
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定2：三边成比例的两个三角形相似．
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
判定4：两角分别相等的两个三角形相似．
3．如图3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，则下列条件中，不能判定△ADE∽△ACB的是 ( )
C
图3
知识点4 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
性质2：相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)及周长的比等于相似比．
性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
4．若两个相似三角形对应边上的中线之比为2∶3，则这两个三角形的周长之比为________，面积之比为________．
2∶3
4∶9
知识点5 相似三角形的应用
1．简单的实际问题
2．利用影长的测量问题
3．测量河宽问题
4．利用标杆的测量问题
5．利用反射的测量问题
6．利用性质间接测量的问题
5．【教材改编，RJ九下P43】图4中的比例规是一种画图工具，由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短．若螺丝钉点O的位置满足OA＝3OD，OB＝3OC，则当A，B两点间的
距离为5时C，D两点间的距离为______．
图4
知识点6 位似及位似图形的坐标特征
1．位似图形的性质
(1)对应点的连线相交于位似中心；
(2)对应边互相平行或在同一条直线上；
(3)对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
2．位似图形的坐标特征
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)．
A．(3，9)
B．(9，3)
C．(3，1)
D．(1，3)
图5
B
1．观察下列各组图形，其中两个图形一定相似的是 ( )
C
2．在比例尺为1∶2 000的地图上，A，B两地的图上距离为2 cm，则A，B两地的实际距离为 ( )
A．10 m B．20 m
C．40 m D．4 000 m
C
3．(2022巴中)如图6，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC∶OC＝1∶2，过C作CD∥OB交AB于点D，C，D两点的纵坐标分别为1，3，则点B的纵坐标为 ( )
A．4
B．5
C．6
D．7
C
图6
4．如图7，在△BCD中，BD＝CD＝5，延长CD至点A，使得AD＝3．连接AB，此时△ABC∽△ADB，则BC的长为 ( )
图7
A
5．如图8，在四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于点E，则下列式子中能判断AD∥BC的是 ( )
D
图8
6．如图9，已知∠ACB＝∠D＝90°，请你再添加一个条件：__________________________，使△ABC和△BCD相似．
图9
∠A＝∠CBD(答案不唯一)
8．如图10，在一堂数学实践课上，老师让小明(AB)站在点B处去观测10 m外的一棵大树(CD)，所用工具为一个平面镜P和测量长度的卷尺(点B，P，D在同一条直线上)．已知小明的眼睛距地面1.6 m，大树高6.4 m，则当小明与平面镜相距_____m时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端C．
2
图10
9．如图11，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙2米，小红上了两节梯子到D点，此时D点距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为_____米．
6
图11
10．如图12，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A的坐标为(2，1)，则位似中心的坐标是__________．
(4，2)
图12
11．如图13，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F．若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为______．
14
图13
(1)若AB＝8，求线段AD的长；
图14
(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
图14
图14
13．(2022河池)如图15，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2)．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标．
图15
解：(1)如答图1，△A1B1C1即为所求．
(2)如答图1，△A2B2C2即为所求．
B2(－4，－6)．
答图1
14．如图16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝______．
图16
15．(2022山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳(如图17)上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的 ( )
A．平移
B．旋转
C．轴对称
D．黄金分割
D
图17
图18
D
17．(2022镇江)《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图19为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的______倍．
图19
1.2
18．(2022徐州)如图20，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为 ( )
图20
C
19．(2022盐城)如图21，在△ABC与△A′B′C′中，点D，D′分别在边BC，B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若______，则△ABD∽△A′B′D′．
③
图21
证明：∵△ACD∽△A′C′D′，
∴∠ADC＝∠A′D′C′．
∴∠ADB＝∠A′D′B′．
又∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△ABD∽△A′B′D′．
(同理，选①也正确．证明合理即可)
图21
20．【RJ九下P39例4】(2022广西)古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图22，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是_______米．
134
图22
21．【RJ九下P44题14】如图23，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，AF⊥BC于点F．动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA向点A运动，过点D作DE∥BC，交AC于点E．记点D运动x秒时，DE的长度为y．
(1)AF的长度为______．
图23
(2)写出y与x的函数解析式．
图23
(3)如图23，作DM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N得到矩形DMNE，点D在运动过程中，是否存在某时刻使矩形的面积最大？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
图23
图23(共26张PPT)
第二十七章 相似
第5课时 相似三角形的判定(三)
课堂讲练
知识点1 相似三角形的判定4
两角分别________的两个三角形相似．
几何语言(如图)：在△ABC和△A′B′C′中，__________________________， ∴△ABC∽△A′B′C′．
相等
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
例1 如图1，点B，D，C，F在同一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE．求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵AB∥EF，AC∥DE，
∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF．
∴△ABC∽△EFD．
图1
训练 1．如图2，在矩形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°．
∴∠BEF＋∠BFE＝90°．
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°．
∴∠BEF＝∠CFG．
∴△EBF∽△FCG．
图2
知识点2 直角三角形相似的判定
1．三角形相似的判定定理在直角三角形中同样适用：有一个锐角相等，或两组直角边成比例的两个直角三角形相似．
2．直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
几何语言(如图)：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°． ∵____________，∴△ABC∽△A′B′C′．
图3
图4
知识点3 相似三角形的判定与性质综合
例3 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，E是AC的中点，ED⊥AB，垂足为D．
(1)求证：△ABC∽△AED；
图5
证明：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°．
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠EDA．
又∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
(2)求AD的长．
图5
训练 3．如图6，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F．
(1)求证：△ABF∽△EAD；
图6
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠D＝90°．
∴∠DAE＋∠BAE＝90°．
∵BF⊥AE，∴∠BFA＝90°＝∠D．
∴∠FBA＋∠BAE＝90°．∴∠DAE＝∠FBA．
∴△ABF∽△EAD．
(2)若AB＝13，BF＝12，求AE的长．
图6
1．如图7，下列条件中不能判定△AOB和△COD相似的是( )
A．∠A＝∠D
B．∠A＝∠C
C．∠A＝∠B
D．∠B＝∠C
C
图7
2．如图8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AD＝1，BD＝4，则CD＝_____．
2
图8
3．如图9，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．
求证：△ABC∽△BDC．
证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°．
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝36°．
∴∠A＝∠CBD．
又∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
图9
4．如图10，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得∠EFB＝∠DAB．
(1)求证：△ADE∽△BFA；
图10
证明：由题意，得∠DAB＝∠DAE＋∠FAB，∠EFB＝∠FBA＋∠FAB．
∵∠DAB＝∠EFB，∴∠DAE＝∠FBA．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB．
∴∠DEA＝∠FAB．∴△ADE∽△BFA．
(2)若AB＝8，AF＝6，DE＝7.5，求EF的长．
图10
随 堂 测
1．如图1，点D在△ABC的边AC上，要使△ADB与△ABC相似，下列添加的条件中，不正确的是 ( )
A．∠ABD＝∠C
B．∠ADB＝∠ABC
C
图1
2．如图2，在△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为D，CE与BD交于点F，则图中不一定与△ABD相似的三角形是 ( )
A．△BEF B．△ACE
C．△BCD D．△CDF
图2
C
3．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是边AB的中点，现有一动点P位于边AC上，且△ADP与△ABC相似，则线段AP
的长为___________.
图3
4．如图4，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB.
求证：△ADE∽△DCF.
证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C.
又DF∥AB，
∴∠A＝∠FDC.
∴△ADE∽△DCF.
图4
5．如图5，在矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，点E在AD上，且DE＝3AE，连接AC，BE.试判断△ABC与△EAB是否相似，并说明理由．
图5
图5
解：△ABC∽△EAB.理由如下：
6．如图6，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，过点A作AE⊥CD，垂足为E.
(1)求证：△ABC∽△CAE；
证明：∵CD是Rt△ABC的中线，
∠ACB＝90°，
∴CD＝AD.∴∠CAB＝∠ECA.
∵AE⊥CD，∴∠CEA＝∠ACB＝90°.
∴△ABC∽△CAE.
图6
(2)若AC＝8，AB＝10，求线段AE的长．
图6(共20张PPT)
第二十七章 相似
微专题 相似三角形与四边形、圆、函数的综合
类型 相似三角形与四边形的综合
1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB．
∴∠DCQ＝∠PAQ，
∠CDQ＝∠APQ，
∴△APQ∽△CDQ．
图1
(2)点P从点A出发，沿AB边以每秒2个单位长度的速度向B点运动，运动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC
图1
解：当t＝2时，DP⊥AC．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAP＝∠B＝90°．
∴∠CAB＋∠ACB＝90°．
图1
类型 相似三角形与圆的综合
2．如图2，在半圆O中，BC为直径，∠BCD的平分线交半圆O于点F，E为CF延长线上一点，且CD·BE＝CG·BF．
求证：(1)△BEF∽△CGD；
证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠D＝90°，∠BFC＝90°．
∴∠BFE＝180°－∠BFC＝90°．
∵CD·BE＝CG·BF，
∴△BEF∽△CGD．
图2
(2)BE为⊙O的切线．
解：∵△BEF∽△CGD，∴∠EBF＝∠DCG．
又CF平分∠BCD，∴∠BCG＝∠DCG．
∴∠EBF＝∠BCG．
∵∠BFC＝90°，∴∠FBC＋∠BCG＝90°．
∴∠FBC＋∠EBF＝90°，即∠EBC＝90°．
∴BE⊥BC．
又OB为圆的半径，∴BE为⊙O切线．
图2
证明：如答图1，连接BE．
图3
答图1
∵BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°．
∴∠BEA＝180°－∠BEC＝90°．
∴∠BEC＝∠BEA．
答图1
(2)若BC＝10，CE＝6，求线段AD的长．
图3
图3
类型 相似三角形与函数的综合
4．如图4，抛物线y＝－2x2＋5x＋3与x轴正半轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
图4
图4
(1)求直线AB的解析式；
(2)当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标．
图4
答图2
②如答图3，当∠EBD＝90°时，过点E作EQ⊥y轴，垂足为Q，则EQ＝t．
答图3
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＋∠BAO＝90°．
∵∠EBD＝90°，
∴∠ABO＋∠EBQ＝90°．
∴∠EBQ＝∠BAO．
答图3
(2)若PA＝2AB，求k的值．
解：在y＝kx＋b中，令x＝0，则y＝b．
∴B(0，b)．
若PA＝2AB，可分为以下两种情况：
①如答图4，当点B在y轴正半轴时(记为B1)，b＞0，此时B1P与x轴的交点记为A1，过点P作PH⊥x轴于点H，则B1O∥PH．
∴△A1OB1∽△A1HP．
答图4
答图4
答图4
