数与形
教学内容:
人教版义务教育数学教科书第105页的例1及相关练习。
教学目标：
1.自主探究发现图形中规律，会应用发现的规律解决数学问题。
2.在解决数学问题的过程中，体会数形结合、归纳推理等基本的数学思想。
3.提升数学学习兴趣，增强数形结合解决问题的意识。
教学重点：
探究图形中隐藏着的数的规律。
教学难点：
体会数形结合、归纳推理等基本的数学思想。
教学过程：
一、谈话导入
师;同学们，我们已经进行了近六年的数学学习了，提到数学，你想到了什么？
生1：整数、分数、小数等。
生2:三角形、四边形、圆形等。
师：按照大家想的内容，我们进行分类。一类称为“数”，另一类称为“形”。“数”和“形”是数学学习中两个重要的研究对象。“数”和“形”之间有什么联系呢？今天，我们一起来研究“数与形”。
二、合作学习，探究新知
师：请看大屏幕。
快速计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=？
师：老师已经有答案了，有些同学也举起了小手。我们先来听听XX的想法。
生1：我们将加数分为五组,1+19=20，3+17=20.......每组和都是20，205=100。
生2：这是一组等差数列。（首项+末项）项数2，
（1+19）102=100。
师:这个方法比较简便.老师还有一种方法算得又对又快。秘诀是借助图形,你们想知道这个秘诀么
生:想。
师:这个算式有些长,我们先从简单的入手。
打开学习单请看学习单,任务一。
观察这些图形,各有多少个小正方形.用数或算式表示出来.提示:从不同的角度观察 ，写出尽可能多的表示方法。
1 4 9 16
1 1+3 1+3+5 1+3+5+7
1 1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1
1 2+1+1 3+2+2+1+1 4+3+3+2+2+1+1
师：同学小组交流一下你们的想法。
2分钟小组交流讨论。
师：同学们刚才的讨论真激烈啊！我们来请几个代表给我们讲一讲他们的想法。
生1：我是一个一个数的，第一个图形有1个小正方形，第二个图形有4个小正方形，第三个图形有9个小正方形，第四个图形有16个小正方形。
生2：我是一行一行数的，第一个图形有1行，每行有1个，就是；第二个图形有2行，每行有2个，就是；
第三个图形有3行，每行有3个，就是；第四个图形有4行，每行有4个，就是。
生3：我是一层一层数的，第一个图形有1层，就是1
个；第二个图形有2层， (1+3)个；第三个图形有3层，（1+3+5）个,第四个图形有4层。
师：这位同学的方法很独特。他提醒我们可以这样一层一层去观察。按照这样的规律，你能想出下一个图形是什么图形么？用平方数和分层的方法表示。
生：下一个图形是边长为5×5的正方形，，分层是1+3+5+7+9=25(个)。
师：，你能想到什么图形？用分层的方法表示出来。
生：我想到的是一个7×7的正方形，算式是1+3+5+7+9+11+13。
师：81呢
生：81是.是一个9×9的正方形。分层是：1+3+5+7+9+11+13+15+17。
师：回顾探究过程，你想到了什么？
生：从1开始，有几个连续的奇数相加，就是几的平方。
师：从1开始，3个连续的奇数相加，就是。从1开始，8个连续的奇数相加，就是。从1开始，n个连续的奇数相加，就是。
师:谁能用字母表示一下这个规律.
生：从1开始，n个连续的奇数相加，就是。
师:接下来,我们用发现的规律去解决问题。（学生抢答）生:1+3+5+7+9+11+13+15=64
因为是从1开始,8个连续奇数的和是,是64.
师,那我刚上课时说的那道题么，秘诀是什么呢
我当时想到的图形是什么样的？
生:从开始,10个连续奇数的和是,是100
我猜老师当时想到一个10x10的正方形,是100。
师:同学们太棒了!看来简单的题已经难不住你们了!那我们一起来看一下学习单上任务二、如果有困难,我们可以借助画图来解决。
1+3+5+7+9+7+5+3+1
11+13+15+17+19
生1:我将它分为两部分.第一部分是1+3+5+7+9.从1开始,5个连续奇数的和是,第二部分是7+5+3+1.从1开始,4个连续奇数的和是,+=41。
生2:我也是将它分为两部分,第一部分是一个边长是5的正方形.第二部分是一个边长是4的正方形,+=41。 师:第二道题呢
生1:我想到了1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。是从1开始,10个连续奇数的和是,减去1+3+5+7+9是从1开始，5个连续奇数的和是,-=75。
生2:1+3+5+7+9+11+13+15+17+19是一个边长为10的正方形,去掉1+3+5+7+9一个边长为5的正方形,-=75.
师:同学们,这么善于观察,让"数"与"形"拉起手来,帮助我们解决这些问题。
师:让我们回到这组图形,继续听听这两位同学的想法。
生4:我是斜着数的.第一幅图是1个小正方形；第二幅图是1+2+1；第三幅图是1+2+3+2+1；第四幅图是1+2+3+4+3+2+1。
师:又一个不同的角度.斜着数。
生5:我是转着圈看的.第一幅图1个；第二幅图2+1+1；第三幅图3+2+2+1+1；第四幅图4+3+3+2+2+1+1。
师:这些同学思维真巧妙，让我们把掌声送给他们。
师:回顾这节课学习过程,由形得到数,数帮助我们更快速找到了形的规律；由数到形,形帮助我们更准确地理解了数.
那再来看看这道题。
2+4+6+8+10
生:我想到了1+3+5+7+9,再加上6个1,也就是6,从1开始,6个连续奇数的和是,再加上6，所以选B。
师:我们又用数形结合的思想解决了一道难题。其实,在我们的数学学习中,很早就开始研究“数与形”了,我们和北京小学天宁寺分校郭老师一起回忆一下，请同学们看视频。
双师教学。
三、全课总结
师:学习和生活中,运用数形结合解决的问题很多.只要灵活运用会起到事半功倍的效果。正如华罗庚先生所说:“数无形时少直觉,形无数时难入微。”
师:谈谈你们的收获
生1:许多图形中藏着数,复杂的图形找不到规律时,可以借助数或算式发现图形的规律。
生2:当图形较复杂,数据较大时,我们可以从较小数据的图形中探索规律。
生3：数和形之间有着密切的联系，借助这些联系，可以帮助我们解决很多问题。
师：同学们，数学知识从来都不是孤立存在的，它们之间有着各种各样的联系。数与形之间的联系也不仅限于今日所学，在今后的学习中，我们会有更深入地探索。请同学们课下登陆国家中小学智慧平台，完成习题库中的练习。(共17张PPT)
数 与 形
六年级上册数学广角
X
a b c
+ -
0.35
35%
b=2a
数
形
快速计算：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=？
观察这些图形，各有多少个小正方形？用数或者算式表示下面图形的个数。
（提示：从不同的角度观察，写出不同的表示方法。）
？
1
3
5
7
9
11
13
81
3
5
13
11
9
7
1
15
17
从1开始n个连续奇数相加的和等于
......
1=
1+3=
1+3+5=
1+3+5+7=
1+3+5+7+9=
1+3+5+7+9+11+13+15=( )
用今天所学知识解决以下问题：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=( )
1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）
11+13+15+17+19= ( )
1+3+5+7+9 +11+13+15+17+19
任务二：解决以下问题
+
41
-
75
10
10
观察这些图形，各有多少个小正方形？用数或者算式表示下面图形的个数。
观察这些图形，各有多少个小正方形？用数或者算式表示下面图形的个数。
1+3+5+7=
形
数
数
形
2+4+6+8+10+12=
A.
B.
C.
1
1
1
1
1
9
7
3
5
1
11
1
( )
B
举例说说在之前的学习中，运用数、形结合解决问题的例子
如：
×
1.分数乘法
3.把一根木头锯成4段，需要锯多少次？
2.小明 小时走了2千米，平均每小时走多少千米？
小时走了2km
1小时走 km
学习和生活中，运用数形结合解决的问题很多，只要灵活运用，会起到事半功倍的效果。
忆旧固新
1
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