绍兴市2023-2024学年高一下学期6月期末考试
数学
注意事项：
1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上。本卷答案必须做在答卷相应位置上。
2.全卷满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
3．十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是（ ）
A．3，17，12 B．5，16，14 C．7，17，14 D．7，17，13
4．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知平面四边形ABCD，，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立
8．如图，矩形ABCD中，．面积为的平行四边形ACEF绕AC旋转，且平面ABCD，则（ ）
A．平面平面EFD B．平面平面ABC
C．平面平面BCF D．平面平面ADF
二、选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．复数的模为 B．复数的虚部为﹣1
C．若，则 D．若复数满足，则
10．已知一组样本数据的标准差，其平均数，则下列数据的标准差与s不相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，已知正方体的棱长为1，E，F，G分别为棱，BC上的点，，则（ ）
A．
B．平面EFG经过棱AB中点H
C．平面EFG截该正方体，截面面积的最大值为
D．点D到平面EFG距离的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。
12．抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是______．
13．已知向量与的夹角为60°，，则向量在向量上的投影向量的模为______．
14．正四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(8分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，
(1)求及向量与夹角的大小；
(2)若，求实数t的值．
16．(10分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAB是正三角形，平面PAB，M，N分别为AB，PC的中点．
(1)证明：平面PAD；
(2)求四棱锥P﹣ABCD的体积．
17．(10分)某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图：
根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70．
(1)估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值；
(2)求乙工厂频率分布直方图中a，b的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)；
(3)现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率．
18．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，
．
(1)证明：平面ACE；
(2)求点E到平面ABCD的距离；
(3)求侧面ADE与侧面BCF所成二面角的正切值．
19．(12分)克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中．
(1)若圆O的半径为r，且，
(ⅰ)求的大小；
(ⅱ)求的取值范围(用r表示)．
(2)若，求线段BD长度的最大值．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
B
A
B
A
二、
选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。全部选对的得4分，部分选对的得
部分分，有选错的得0分。
题号
9
10
11
答案
AB
ACD
ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。
12.
13.
5
14.1+√2
2
四、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本题满分8分)
解：(1)因为AB=(-√3，-)，
…1分
所以AB=2.
…2分
设向量OA与OB的夹角为0，
则cos日=
OA.OB
1
…3分
IOAOBI 2
因为0∈[0，，所以日=-
…4分
3
(2)因为20A+tOB=(-V3t,t+4),
…5分
又AB/(2OA+tOB),所以V3+4)+V3t=0,
…7分
所以t=-2.
…8分
16.(本题满分10分)
(1)证明：如图，取PD的中点2，连接AQQN,
因为在△PDC中，Q,N分别为PD,PC的中
点，所以ON∥CD,且QN=二CD,1分
2
因为在正方形ABCD中，M分别为AB的中点，
所以AM IICD,且AM=CD,
…2分
所以四边形AMNQ是平行四边形，
…3分
则N∥AQ,又AQc平面PAD,所以MN∥平面PAD.
…5分
(2)解：连接PM,因为AD⊥平面PAB,
PMc平面PAB,所以AD⊥PM,
又因为侧面PAB是正三角形，M为AB的中点，
所以PM⊥AB,
所以PM⊥平面ABCD,
…7分
所以四棱锥P-ABCD的体积是
…10分
3
26
17.(本题满分10分)
解：(1)因为35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.2+75×0.1+85×0.05=55.5，
所以，估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值为55.5cm.
…2分
(2)由10a+0.2+0.15=0.7,得a=0.035,
由0.05+10b+0.15=0.3,得b=0.01.
…4分
设乙工厂被测零件尺寸的中位数为x,
05X10+0.01×10+0.015×10+0.035xx-60=05,解得x=65≈
所以，乙工厂被测零件尺寸的中位数为65.71cm.
…6分
(3)因为采用分层抽样，所以，从甲工厂生产的零件中抽取尺寸在[40,50)内的零件2个，
尺寸在[70,80)内的零件1个，从乙工厂生产的零件中抽取尺寸在[40,50)内的
零件2个，尺寸在[80,90)内的零件3个，
…8分
从8个零件中任取2个零件的取法有28种，两个零件的尺寸都在[40,50)内的
取法有6种，所以两个零件的尺寸都在[40,50)内的概率为
63
…10分
2814
18.(本题满分12分)
(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC,
…1分
又因为∠EAB=∠EAD,AB=AD,所以△EAB兰△EAD,所以EB=ED.
设AC∩BD=G,连接EG,则G为BD的中点，BD⊥EG,
…2分
又EG∩AC=G,所以BD⊥平面ACE.
…3分
