2023-2024学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期末考试
高一数学试卷
考试时间：2024年6月28日试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4,考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.某校高一年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机
抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为()
A.40,32
B.42,30
C.44,28
D.46,26
2.下列统计量中，都能度量样本x,x2,…,xn的集中趋势的是()
A.样本X,x2,…,xn的标准差与极差
B.样本x,X2,…,xn的中位数与平均数
C.样本x1,x2,…,xm的极差与众数
D.样本X,x2,…,xn的方差与平均数
3.在正方体ABCD-A'B'CD'中，二面角D'-AB-D的大小是()
A.30
B.45
C.60
D.90
高一数学试卷第1页共6页
4.已知m,n是两条不同的直线，《，B是两个不同的平面，下列结论正确的是()
A.若mCa,nca,m∥B,n∥B,则a∥B
B.若a∩B=m,n/1m,则n∥ca
C.若mca,ncB,m⊥n,则a⊥B
D.若mc,m⊥B,则a⊥B
5.设D为△4BC所在平面内一点，若BC=3CD,则下列关系中正确的是()
A.4D--14B+44C
B.AD-14B-44C
3
3
C.AD-44B+4C
D.AD-44B-14C
3
3
3
6.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结
论不正确的是()
A.圆柱的侧面积为4πR2
B.圆锥的侧面积为√5πR2
C.圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D,三个几何体的表面积中，球的表面积最小
7.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，侧面PAB为等边三角形，E,F分别
为PA,BC的中点，给出以下结论：
①BE/I平面PFD;②EF/平面PCD:
③平面PAB与平面PCD交线为I,则CD/I;④BE⊥平面PAC.
则以上结论正确的序号为()
A.①③
B.②③
C.①②③
D.①②③④
高一数学试卷第2页共6页2023-2024 学年度下学期武汉市重点中学 5G 联合体期末考试
高一数学试卷答案
1~8 ABBD ADCC 9.BCD 10.CD
11.【答案】BCD
【解析】棱长为 2的正四面体 P ABC的外接球与棱长为1的正方体的外接球半径相同，
设外接球的半径为 R，则 2R 12 12 12 3，所以 S 4πR2 3π，所以 A错误．
设正四面体P ABC内任意一点到四个面的距离分别为 d1,d2 ,d3 ,d4，
设正四面体 P ABC的高为d ，
S S 1 3又 ABC ABP S APC S PBC 2 2 sin 60 ，2 2
1
由等体积法可得 S d1 d2 d3 d
1
4 Sd， S S ABC S ABP S APC S3 3 PBC ，
所以 d1 d2 d3 d4 d为定值，所以 B正确．
如图所示，设 BC中点为D，连接 PD， AD，则 AD BC， PD BC，
6
故 PDA为所求二面角的平面角， AP 2， PD AD ，
2
2 2
6 6 2
2
AD2 PD2 AP2 2
由余弦定理得 cos PDA
2 1 ，
2AD PD 3
2 6 6
2 2
则 C正确．
对于选项 D，要使正四面体 S EFG在四面体 P ABC的内部，且可以任意转动，
则正四面体 S EFG的外接球要在四面体 P ABC内切球内部，
当正四面体 S EFG的外接球恰好为四面体 P ABC内切球时，正四面体 S EFG的体积最大
值，
V 13 4 1 1 1又 P ABC 1 1 1 ，3 2 3 S S
3
VABC VABP SVAPC SVPBC ，2
{#{QQABLYAAggioAIJAAAhCAQXoCAIQkBCACQgGQFAAMAAAwANABAA=}#}
设正四面体 P ABC内切球的半径为 r，
1
则VP ABC r S ABC S3 ABP S APC S PBC ，
1 1
即 r 4 3 3 ，解得 r ，
3 3 2 6
所以正四面体 S EFG 3的外接球半径为 ．
6
2 3
设正四面体 S EFG 2的边长为 a，则 3 a 2 ，所以 a ，
2 6 3
2 1 1
故体积V 3S EFG a ，即正四面体 S EFG的体积最大值为 ，所以 D正确．12 81 81
2 5 , 5
12. 6 2 . 13．
5 5
.
4
14.【答案】90°； .
3
【解析】PQ为外接球直径，所以∠PBQ=90°；
设 PN h1，QN h2 ，BN=2，则 h h 4，1 2
tan PN h1， tan
QN
h ，
MN MN 2
tan h h h h
，
1 2 1 2
1 h1h2 3
而 h h 2 h h 4，当且仅当 h1 h2 2 时取等，1 2 1 2
故 tan 4max 3
15.【答案】(1)第 70百分位数为 6.5；方差 3.6;(2)a＝24； ＝25.
【解析】（1）按从小到大顺序：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，
由于 10×70%＝7，故第 70百分位数为 6 7 ；
6.5
2
平均数 x
1 3 4 2 5 6 2 7 3
5，
10
{#{QQABLYAAggioAIJAAAhCAQXoCAIQkBCACQgGQFAAMAAAwANABAA=}#}
1 5 2 3 5 2 2 4 5 2 5 5 22 2 s 6 5
2 3 7 5 2
3.6 .
10
（2）①由0.020 10 0.2 0.5， 0.020 0.035 10 0.55 0.5，可得15 a 25，
0.20 a 15 0.035 0.5 a 0.3所以 ，解得 15 24，
0.035
所以这 600名中国果切消费者年龄的中位数为 24.
②其平均数
10 0.020 10 20 0.035 10 30 0.025 10 40 0.015 10 50 0.005 10 25 .
π 13
16.【答案】(1) A 3；(2)① sin B
2 3
；② .
14 13
【解析】（1）已知b2 c2 bc a2，由余弦定理b2 c2 2bccos A a2，
则 cos A
1
，又 A 0,π π，则 A
2 3
.
1 π
（2）① sinC sin A，由正弦定理有 c a，得C A ，
7 3
cosC 1 sin 2C 4 3故 ，
7
sinB sin A C sin AcosC cos AsinC 3 4 3 1 1 13 .
2 7 2 7 14
bsin A 2
3
a 2 14 3②由正弦定理可知， 13 ，sin B 13
14
故VABC 1的面积为 S ABC absin C
1 14 3 2 1 2 3 .
2 2 13 7 13
17.【答案】(1)证明见解析；(2)60 ；(3) 2 .
【解析】（1）如图，连接 AC交 BD于点O，
因为 E， F分别为 AD1，CD1的中点，所以EF // AC .
因为 AC 平面 ABCD，且 EF 平面 ABCD，所以 EF / /平面 ABCD .
（2）因 AB / /CD / /D1C1，且 AB CD D1C1，易得 ABC1D1，
{#{QQABLYAAggioAIJAAAhCAQXoCAIQkBCACQgGQFAAMAAAwANABAA=}#}
则有 BC1 / /AD1，由（1）得 EF // AC，故 EF与 BC1所成角为 D1AC（或其补角）.
因为 AC AD1 CD1，所以 D1AC 60
，
即 EF 与 BC 1所成角的大小为60 .
（3）连接D1O，过D作DG D1O于点G .
因为DD1 平面 ABCD，且 AC 平面 ABCD，
所以DD1 AC，又 BD AC且DD1 I BD D，所以 AC 平面D1DO .
因为DG 平面D1DO，所以DG AC，
又DG D1O，且 AC D1O O， AC,D1O 平面 ACD1，所以DG 平面 ACD1，
所以直线 BD与平面D1EF所成角为 DOD1（或其补角）.
2 DD
因为正方体的边长为 1，所以DD1 1，DO ，所以 tan DOD 1
2 1
2 .
DO
18. 3 3【答案】（1） 8, 15 ；（2）① ，② ；（3）证明见解析
2 2
uuur
【解析】（1）设 P x, y ，则 AP x, y 2,3 x 2, y 3 ，
uuur
AB 4, 3 2,3 2, 6 ，
uuur 3 uur uuur uuur
因为点 P在线段 AB的延长线上，且 AP PB ，所以
2 AP 3AB
，
x 2 3 2 x 8
所以 P 8, 15
y 3 3 6
，解得 ，所以 ；
y 15
（2）①因为a,b为单位向量，所以 a 1， b 1，
1 1 2 1 2
所以 a b a b
2 2
a a b b 1 1 1 cos60
1 3 ；
2 2 2 4 2
f x a xb a xb 2②因为 a2 2xa b x2b2 1 2xcos60o x2
{#{QQABLYAAggioAIJAAAhCAQXoCAIQkBCACQgGQFAAMAAAwANABAA=}#}
2
x2 x 1 x 1 3
，
2 4
x 1 3所以当 时，函数 f x a xb 的最小值为 ；
2 2
（3）若选①：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它
们夹角的余弦的积的两倍．
uur uur uuur
证明：如图，设CB a,CA b, AB c，
c a 2由三角形法则有 b ，所以 c2 a b a2 b2 2a b
即 c2 a2 b2 2abcosC .
同理可得， a2 b2 c2 2bccos A，b2 a2 c2 2accosB .
若选②：
在平行四边形 ABCD中， AC， BD为对角线，
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2
证明： AC BD AB DC AD BC .
根据条件作出图形，
因为四边形 ABCD为平行四边形，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB DC， AD BC， AC AB AD，
uuur 2 uuur uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur2所以 AC AB AD AB 2AB AD AD ，
uuur uuur uuur
因为 BD AD AB，所以
uuur 2 uuur uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur2BD AD AB AD 2AD AB AB ，
uuur 2 uuur 2 uuur2 uuur2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2
所以 AC BD 2AB 2AD AB DC AD BC ，
即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；
若选③：
在VABC中，D，E，F 分别为BC，AB，AC的中点，证明：AD，CE，BF相交于一点.
{#{QQABLYAAggioAIJAAAhCAQXoCAIQkBCACQgGQFAAMAAAwANABAA=}#}
由题意作出图形，
uuur uuur
设 AC a ， BC=b，
uuur uur uur uuur uuur uuur
AD AC CD a 1
uuur uuur uuur
则 AB CB CA b a ， b ， BF BC
1
CF b a ，
2 2
uuur uuur uuur uuur
设 AD，CE相交于一点G1， AG1 AD 0 1 ， BG1 BF 0 1 ，
uuur uuur 1 1 uuur uuurAG 1 1则 1 AD a b a b， BG1 BF b a b a ，
2 2 2 2
uuur uuur uuur
又 AG
1
1 AB BG a b b a 1 b
1
1
a ，
2 2
1
1 2 2 2 uuur uuur
所以 ，解得 ， ，所以 AG
2
1 AD，
1 1 3 3 3
2
uuuur 2 uuur
再设 AD， BF相交于一点G2 ，同理可证得 AG2 AD，3
即G1，G2 重合，即 AD，CE， BF相交于一点，
所以三角形的三条中线交于一点.
19.【答案】(1) 2 21 4 2证明见解析；(2) ；(3)存在，CF .
7 5
【解析】（1）连接 AB1，在三棱台 ABC - A1B1C1中， AB//A1B1；
Q AB 2AA1 2A1B1 2BB1，
四边形 ABB1A1为等腰梯形且 ABB1 BAA1 60
，
设 AB 2x，则 BB1 x .
2 2
由余弦定理得： AB1 AB BB
2
1 2AB BB cos60
1 3x
2
，
AB2 AB21 BB
2
1 ， AB1 BB1；
{#{QQABLYAAggioAIJAAAhCAQXoCAIQkBCACQgGQFAAMAAAwANABAA=}#}
因为平面 ABB1A1 平面 BCC1B1，平面 ABB1A1I平面 BCC1B1 BB1， AB1 平面 ABB1A1，
AB1 平面 BCC1B1，又 BC 平面 BCC1B1， AB1 BC；
QVABC是以 B为直角顶点的等腰直角三角形， BC AB，
Q ABI AB1 A， AB, AB1 平面 ABB1A1， BC 平面 ABB1A1 .
（2）由棱台性质知：延长 AA1,BB1,CC1交于一点 P，
Q AB 11 1 AB， S ABC 4S A B C ， V1 1 1 P ABC 8VP A B C ，2 1 1 1
V 8 8 7 3 2 3P ABC V7 ABC A1B C
；
1 1 7 12 3
Q BC 平面 ABB1A1，即BC 平面 PAB，
BC即为三棱锥 P ABC中，点 B到平面 PAB的距离，
由（1）中所设： AB BC 2x， PAB PBA 60 ，
VPAB为等边三角形， PA PB AB 2x，
1
VP ABC S BC
1 1 2x 2 3 2 3 2 3VPAB 2x x3 ， x 1；3 3 2 2 3 3
1 2
AB BC PA PB 2， AC PC 2 2， SVPAC 2 2 2 12 7，2
设所求点 B到平面 ACC1A1的距离为d ，即为点 B到面 PAC的距离，
QV V 1 S d 7 2 3 2 21P ABC B PAC ， PAC d ，解得： d .3 3 3 7
即点 B到平面 ACC1A
2 21
1的距离为 .
7
（3）Q BC 平面 ABB1A1，BC 平面 ABC， 平面 ABC 平面 PAB，
因为平面 ABC I平面 PAB AB
取 AB中点 N ，在正VPAB中， PN AB， PN 平面 ABC，
{#{QQABLYAAggioAIJAAAhCAQXoCAIQkBCACQgGQFAAMAAAwANABAA=}#}
又 PN 平面 PNC， 平面 PNC 平面 ABC．
作 FE CN ，平面PNC I平面 ABC CN，则 FE 平面 ABC，
作 ED AB，连接FD，则 ED即FD在平面 ABC上的射影，
Q FE 平面 ABC， AB 平面 ABC， AB FE，
Q DE I FE E，DE,FE 平面DEF ， AB 平面DEF ，
Q FD 平面DEF ， AB FD， FDE即二面角 F AB C的平面角.
设 FE 3t，则DE 3t，
DE ND EF CE BD EF DE BD + ND ， ，所以 =1，
BC NB PN CN NB PN BC NB NB
3t 3t 3 2
即 1
2
，解得 t ，所以 EF 5 CF CF ，3 2 5 PN 3 CP 2 2
4 2
所以CF ＜CC 2， F CF 4 21 存在满足题意的点 ， .5 5
{#{QQABLYAAggioAIJAAAhCAQXoCAIQkBCACQgGQFAAMAAAwANABAA=}#}
