【高中数学】任意角 课件(共26张PPT) 2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

(共26张PPT)
三角函数
5.1.1任意角
理解角的概念推广的必要性.
理解并掌握正角、负角、零角、象限角、
终边相同角的概念及表示.
理解推广之后的角的概念.
准备好了吗 一起去探索吧!
难点
角的概念的推广，终边相同的角的表示.
将0~360°范围的角推广到任意角.
重点
我们规定， 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角.
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.
如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，
零角的始边与终边重合.如果α是零角，那么α=0°.
定义 正 角
负角
零角
探究 一 任意角角的分类
经过上面的学习我们可以知道，图(1)中的角是一个正角，它等于750°
图(2)中，正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°
(1) (2)
注意
(1)钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角
(因为时针或分针都是按顺时针方向旋转的)
(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下， “角α”或“∠α”可以简记成“α”
这样我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角，负角和零角.
相等角
设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O′ 旋转而成.
如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.
相反角
如下图，我们把射线OA绕端点O 按不同方向旋转相同的量
所成的两角角叫做互为相反角.角α的相反角记为-a.
探究二 相等角、角的加减
角的减法
像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，
我们有α-β=α+(-β).
角的加法
设α,β是任意两个角.我们规定，
把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.
为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.
那么,角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，
那么就认为这个角不属于任何一个象限.在坐标轴上的角叫做轴线角.
探究三 象限角
提问
锐角是第几象限角
第一象限角
钝角是第几象限角
第二象限角
直角是第几象限角
非象限角
将角按照上述方法放在直角坐标系汇总，给定一个角，
就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB (如图),
以它为终边的角是否唯一 (不唯一)
yA
-392°
3289
o -32
B
探究四 终边相同的角
如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系 (相差360°的整数倍)
从图中，我们可以发现，如果-32°角的终边是OB,
那么328°,-392°,…角的终边都是OB,
并且与-32°角终边相同的这些角都可以表示成-32°的角与k个(k∈Z)周角的和，如
328°=-32°+360°(这里k=1)
-392°=-32°-360°(这里k=-1)
一般地，我们有：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S={β|β=α+k-360°,k∈Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
这样我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角，负角和零角.
总结
第一象限角一定是锐角吗
第一象限角不一定是锐角，比如380°角是第一象限角，却不是锐角；
但锐角一定是第一象限角，因为锐角是大于0°且小于90°的角，其终边落在第一象限.
象限角
象限角α的集合表示
第一象限角
{a|k-360°第二象限角
{a|k-360°+90°<α第三象限角
{a|k-360°+180°第四象限角
{a|k-360°+270°各象限角的集合表示
角α终边的位置
角α的集合表示
在x轴的非负半轴上
{a|a=k-360°,k∈Z}
在x轴的非正半轴上
{a|aα=k-360°+180°,k∈Z}
在y轴的非负半轴上
{a|a=k-360°+90°,k∈Z}
在y轴的非正半轴上
{a|a=k-360°+270°,k∈Z}
在x轴上
{a|a=k-180,k∈Z}
在y轴上
{a|α=k.180°+90°,k∈Z}
在坐标轴上
{a|a=k-90°,k∈Z}
轴线角的集合表示
象限角与轴线角的集合表示形式不唯一，
如落在y 轴的非正半轴上的角的集合可表示为{a|α=k-360°-90°,k∈Z},
也可以表示为{α|α=k-360°+270°,k∈Z}
在0°~360°范围内，找出与-950°12'角终边相同的角，并判断它是第几象限角.
例题
-950°12'=129°48'-3×360°,所以在0°~360°范围内，
与-950°12'角终边相同的角是129°48',它是第二象限角.
解析
1.下列说法正确的是( )
A 钝角是第二象限角 B. 第二象限角比第一象限角大
C. 大于90°的角是钝角 D.-165° 是第二象限角
练一练
钝角的范围为(90°,180°),钝角是第二象限角，故A 正确；
-200°是第二象限角，60°是第一象限角， -200°<60°,故B 错误；
由钝角的范围可知C 错误； -180°<-165°<-90°,-165°是第三象限角，
故D 错误.故选A.
解新一
2.2020°角的终边在( )
A. 第一象限 B.第二象限 C 第三象限
解析
∵2020°=5×360°+220°,220°角是第三象限角，
∴2020°角的终边在第三象限.故选C.
练一练
D. 第四象限
3.设角α=-300°,则与α终边相同的角的集合为( )
A.{ββ=k·360°+300°,k∈Z} B人β|β=k·360°+60°,k∈Z}
C.{β|β=k·360°+30°,k∈Z} D.{β|β=k·360°-60°,k∈Z}
因为α=-300° =-360°+60°,所以角α的终边与60°角的终边相同.故选B.
解析
练一练
4.下列选项中叙述正确的是( )
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B 税角一定是第一象限的角
C. 小于90°的角一定是锐角
D. 终边相同的角一定相等
练一练
解析
对于A, 当三角形的内角为90°时，不是象限角；
对于B, 锐角θ的范围是0°<θ<90°,是第一象限角，B 正确；
对于C,0°<90°, 但0°不是锐角，C 错误；
对于D, 终边相同的角不一定相等，比如45°角和405°角的终边相同，
但两个角不相等，D 错误.故选B.
1.角是如何推广的，象限角是如何定义的
2.与角α终边相同的角的集合的表示方法 3.判断角的象限.
课堂小结
——你学到了那些新知识呢