1.4.1点线面的向量表示及法向量第1课时人教A版选择性必修第一册高中数学精品课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
必修一第一章
1.4.1空间中点、直线和平面的向量表
示
第1课时点、线、面的向量表示及法
向量
知识梳理
我们怎么用向量把空间中的一个点表示出来
1.点的位置向量
在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就
可以用向量OP来表示.我们把向量OP 称为点P的位置向量。
我们怎么用向量把空间中的一条直线表示出来
知识梳理
知识梳理
2、空间直线的向量表示式
如图① ,a 是直线l的方向向量，在直线上取AB=a, 设P是
直线上的动点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的 充要条件是存在实数，使得AP=ta, 即AP=tAB
如图②,取定空间中的任意一点O, 可以得到点P在直线l的
充要条件是存在实数，使得OP=OA+ta①
将AB=a 代入上式，得OP=OA+tAB②
①式和②式都称为空间直线的向量的表达式。
知识梳理
我们怎么用向量把空间中的 一条直线表示出来
3、空间平面的向量表达式
设两条直线相交于点O, 它们的方向向量为a,b,P 为平面
内任意一点，由平面向量的基本定理可知，存在唯一的有序
实数对 (x,y), 使得OP=xā+yb,
这样点O与向量a,b 可以确定平面α,
上式称为空间平面 ABC 的向量表示式.由此可
知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向 量唯士确定.
如下图，取定空间任意一点0,可以得到，空间一点P
面ABC 内的充要条件是存在实数x,y, 使 OP=0A+xAB+yAC
位于平
.
知识梳理
知识梳理
给定空间一点A 和一条直线l, 则过点A 且垂直于直线1的平面
是唯一确定的.由此可以利用点A 和直线1的方向向量来确定平面.
如下图，直线l⊥α.取直线的方向向量a, 我们称向量a 为平面α
的法向量.给定一个点A 和一个向量a, 那么过点A, 且以向量a 为
法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·AP=0} .
例1.设空间四点O,A,B,P 满足OP=mOA+nOB, 其 中m+n=1, 则( A )
A. 点 P一定在直线 AB 上
B. 点 P一定不在直线AB 上
C. 点 P 不一定在直线 AB 上
D. 以上都不对
由 m+n=1 得 m=1-n, 结合题意知OP=(1-n)-OA+nOB=OA+n(OB-OA), 即 OP-OA=n (OB
OA),AP=nAB, 据此可知，A,P,B 三点共线，点P一定在直线 AB 上 .
例题解析
例2.对于空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C, 有如下关系 ,则( B )
A.0,A,B,C 四点必共面 B.P,A,B,C 四点必共面
C.0,P,B,C 四点必共面 D.0,P,A,B,C 五点必共面
对于空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C, 若 点P 满足OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R) 且x+y
+Z=1, 则 P,A,B,C 四点共面.而 ,其 ,所以P,A,B℃四 点
共面.故选B.
例题解析
例3.若A(-1,0,1),B(1,4,7) 在直线I 上，则直线I 的一个方向向量为( A )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
由题意可得，直线I的一个方向向量AB=(2,4,6).
∴(1,2,3)是直线I的一个方向向量.故选A.
例题解析
4,6),
··
例4 . 若直线l ,I 的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),
A.I l
B.l ⊥l
C.I,l 相交但不垂直
D. 不能确定
∵a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,∴a ⊥b:I ⊥l .
例题解析
则( B )
其中a ,b分别为直线l ,I 的方向向量，则它们互相平行的是( D )
A.②③ B.①④
C.①②④ D.①②③④
①:a =-b, ∴a ilb.②∵a = 4b ,. ∴all b. ③∵b=-3a,∴allb.④∵b=- 3a,. ∴a llb.
例5.以下四组向量：
①a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1);
例题解析
③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3);
②a=(8,4,0),b=(2,1,0);
,b=(4,-3,3).
例6.如图，在空间直角坐标系中，ABCD-A B C D 为单位正方体，给出下列结论：
①直线DD 的一个方向向量为(0,0,1);
②直线BC 的一个方向向量为(0,1,1);
③平面 ABB A 的一个法向量为(0,1,0);
④平面 B CD 的一个法向量为(1,1,1).
其中正确结论的个数为( c )
A.1 B.2
C.3 D.4
∵DD IIAA ,AA =(0,0,1);BC IIAD ,AD =(0,1,1); 直线 AD1 平面ABB A ,
AD=(0,1,0) ; 点C 的坐标为(1,1,1),AC 与平面B CD 不垂直.∴①②③正确，④错误.
例题解析
例7.(多选)下列命题中是假命题的是( BD ) A. 若向量p=xa+yb, 则p与a,b 共面 B.若p 与a ,b共面，则p=Xa+yb
C. 若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B 四点共面
D. 若P,M,A,B 四点共面，则MP=xMA+yMB
AC 为真命题 .B 中需满足 a,b 不共线，D 中需满足 M,A,B 三点不共线.
例题解析
例8.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C. 若OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R), 则“x=2,
y=-3,z=2” 是 “P,A,B,C 四点共面”的( B )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
则AP-AO=2OA-3(AB-AO)+2(AC-AO), 即AP=-3AB+2AC,
四点共面.
反之，当P,A,B,C 四点共面时，根据向量共面定理，
设AP=mAB+nAC(m,n∈R), 即OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA),
nOC; 即x=1-m -n ,y=m,z=n, 这组数显然不止2,-3,2 .
故“x=2,y==3,8=2” 是 “P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件.故选B.
当x=2,y=-3,z=2 时 ，OP=2OA-3OB+20℃,
例题解析
根据向量共面定理知，P,A ,B,C
即OP=(1-m-n)OA +mOB
例题解析
例9.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3), 求平面ABC
的一个法向量。
解：设n=(x,y,z) 为平面ABC的一个法向量，
∵n ⊥AB,n⊥AC
∴n·AB=0,n·AC=0
∴不妨取z=1, 贝
平面ABC的一个法向量为
例题解析
例10.已知长方体ABCD-A B C D 中 ，AB=4,BC=3,CC =2,
M 为 AB 中点.以D 为原点，DA,DC,DD 所在直线分别为x
轴 、y 轴 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
(1)求平面BCC B1 的一个法向量.
(2)求平面MCA 的一个法向量.
解：(1)其实这个平面的法向量就是谁
(2)MC=(-3,2,0),MA =(0,-2,2)
设n =(x,y,z) 是平面MCA 的法向量则
n ⊥MC,n⊥
所
取z=3, 则 x=2,,y=3,
于是n =(2,3,3)是平面的一个法向量
1
。
C
β
Cy
B
98
D
X
例题解析
1 . 直线的向量表示
2 . 平面的向量表示 3. 直线的法向量
4 . 平面的法向量
课堂小结
感谢您的观看