1-4-2充要条件 课件(共43张PPT)-人教A版(2019)高中数学必修第一册

(共43张PPT)
1.4.2 充要条件
学习目标
1. 理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证
明.
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[巧梳理]
1. 逆命题
将命题“若p, 则 q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q, 则p”, 称
这个命题为原命题的逆命题.
2 . 充要条件
如果“若p, 则 q”和它的逆命题“若q, 则p”均是 _ 真命题 _ ,即既有p=q, 又 有q=p,
就记作 p=q .
此 时 ，p 既是q的充分条件_ ,也是q的必要条件_ ,我们说p是q的充分必要条件，
简 称 为充 要 条 件. 显然，如果p是q的充要条件，那么q 也是p的充要条件.
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知识点
则p 是q的充要条件
q的充分不必要条件
是q的必要不充分条件
q 的既不充分也不必要条件
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[微体验]
1.“x=1” 是“x -2x+1=0” 的( A )
A. 充要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
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2. 点 P(x,y) 是第二象限的点的充要条件是( B )
A.x<0,y<0 B.x<0,y>0
C.x>0,y>0 D.x>0,y<0
解 析 ：B 第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数.
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3 . 已 知 集 合A={1,a},B={1,2,3}, 则 ASB 的充要条件是 .
解析：当 a=2 时 ，ASB; 当a=3 时 ，ASB.
答案： a=2 或a=3
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学习任务 一 充要条件的判定
[ 例 1] (链接教材 P 1例 3)指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(“充分不必要条
件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p:x=1,q:x-1=√x-1;
(2)p:—1≤x≤5,q:x≥-1 且x≤5;
(3)p:x+2≠y,q:(x+2) ≠y ;
(4)p:a 是自然数；q:a 是正数.
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解 ：(1)当x=1 时 ，x-1=√x-1 成立；
当x-1=√x-1 时 ，x=1 或 x=2.
∴p 是 q 的充分不必要条件.
(2)∵-1≤x≤5 x≥-1 且 x≤5,
∴p 是 q 的充要条件.
(3)由q:(x+2) ≠y ,
得x+2≠y, 且 x+2≠-y, 又p:x+2≠y,
故p 是 q 的必要不充分条件.
(4)0是自然数，但0不是正数，故p≠q; 又 是正数，但 不是自然数，故q→p. 故
p是 q 的既不充分也不必要条件.
直接判断“若p, 则 q “若q, 则p”的真假.在判断时，确定条件是什
么、结论是什么
方法技巧
充分必要条件的判断方法
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利用集合中包含思想判定，即可解决充分必要性的问题
利用定义判
断
从集合的角
度判断
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学习任务二充要条件的证明
[例2]求证： 一元二次方程ax +bx+c=0(a,b,c 是常数且a≠0) 有一正实根和一负
实根的充要条件是ac<0.
证明：必要性：由于方程 ax +bx+c=0(a≠0) 有一正实根和一负实根，
∴△=b —4ac>0,且 , ac<0.
充分性：由ac<0 可推出△=b -4ac>0 及
∴方程ax +bx+c=0(a≠0) 有一正一负两实根.综上， 一元二次方程ax +bx+c=0(a、
b 、c是常数且a≠0) 有一正实根一负实根的充要条件是ac<0.
方法技巧
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p 是q的充要条件，首先要明确p 是 条 件 ，q 是结论 ；其 次推证p=q 是
证 明 充 分性，推证q>p 是证明必要性.
(2)集合思想：记p:A={xp(x)},q:B={x|q(x)}, 若A=B, 则p 与q 互为充要条件.
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[跟踪训练]
2.求证： 一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象过原点的充要条件是b=0.
证明：①充分性：如果b=0, 那 么y=kx,
当x=0 时 ，y=0, 函 数 图 象过 原 点.
②必要性： 因 为y=kx+b(k≠0) 的图象过原点，
所以当x=0 时 ，y=0, 得 0 =k·O+b, 所以b=0.
综上， 一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象过原点的充要条件是b=0.
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学习任务三 充分条件、必要条件、充要条件的应用
[例3] 已 知p:-2≤ x≤10,q:1-m ≤x≤1+m(m>0), 若 p是q的必要不充分条件，
求实数m的取值范围.
解：p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所 以q是p 的充分不必要条件，
即{x|1-m≤x≤1+m} {x|-2≤x≤10},
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故有或
解 得m≤3.
又m>0,
所以实数m 的取值范围为{m|O随堂检测内化素养
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[发散思维]
1. (变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他
条件不变，求实数m 的取值范围.
解：p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p 是 q 的充分不必要条件，
设p 代表的集合为A,q 代表的集合为B,
所 以A B.
所
解不等式组得m>9 或 m≥9,
所以m≥9,
即实数 m的取值范围是m≥9.
2.( 变问法)本例中p,q 不变，是否存在实数m 使p是q的充要条件 若存在，求出m 的
值；若不存在，请说明理由.
解：因为p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
若p 是 q 的充要条件，则 m不存在.
故不存在实数m, 使得p 是 q 的充要条件.
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方法技巧■
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建大于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
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1.“x>0” 是“x≠0” 的( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：A 由 “x>0”→“x≠0”, 反 之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0” 的充分不必要条
件 .
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2.“x -4x-5=0” 是“x=5” 的( B )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：B 由 x -4x-5=0 得x=5 或x=-1,
则 当x=5 时 ，x -4x-5=0 成立，
但 当x -4x-5=0 时 ，x=5 不一定成立.
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3 . 设a,b∈ R, 则“ab+1≠a+b” 的充要条件是( B )
A.a,b 不都为1 B.a,b 都不为1
C.a,b 中至多有一个是1 D.a,b 都不为0
解析：B 若 ab+1≠a+b, 即ab+1-a-b≠0,
即(a-1)(b-1)≠0, 则a≠1 且b≠1.
若a≠1 且b≠1, 则 (a-1)(b-1)≠0,
即ab+1-a-b≠0, 即ab+1≠a+b.
所 以“ab+1≠a+b” 的充要条件是“a≠1且b≠1”.
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4.函 数y=x +mx+1 的图象关于直线x=1 对称的充要条件是
解析： 函 数y=x +mx+1 的图象关于直线x=1 对称，
即m=—2;
反之，若m=—2,
则y=x -2x+1 的图象关于直线x=1 对称.
答案： m=-2
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基础巩固练
1.“a|+|b|=0” 是“a +b =0” 的( C )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解 析 ：C 由 |a|+|b|=0 得a=b=0; 由a +b =0 得a=b=0. 所以“|a|+|b|=0”是“a +b
=0”的充要条件.故选C.
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2 . 设p:a,b 都是偶数，q:a+b 是偶数，则p是q成立的( B )
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： B p→ 但 q p.
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3.“x +(y-2) =0” 是“x(y-2)=0” 的( B )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： B 由x +(y-2) =0, 得x=0 且y=2, 所以x(y-2)=0. 反之，由x(y-2)=0,
得x=0 或y=2,x +(y-2) =0 不一定成立，故选B.
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4. 已知a,b 是实数，则“a<0, 且b<0”是“ab(a-b)>0” 的( D )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： D 已 知a,b 是实数，则若a<0, 且b<0, 则不一定有ab(a-b )>0,比 如 当
a0, 则 a-b 和ab 同号，当a>b>0 时满足ab(a-
b)>0, 当b0, 故不能确定a 和b的正负 .故是既不充分也不必要条
件 .
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5.(多选)使“x∈{x|x≤0 或x>2}” 成立的一个充分不必要条件可以是(BC )
A.x≥0 B. x<0 或x>2
C.x ∈{—1,3,5} D. x≤0 或x>2
解 析：BC 从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有BC 满 足
题意 .
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6.对于集合A,B 及元素x, 若ASB, 则x ∈B是x ∈AUB的 条件.
解析：由 x ∈B, 显然可得x∈AUB;
反之，由 AEB, 则 AUB=B,
所以由x∈AUB 可得x∈B,
故x ∈B是x ∈AUB 的充要条件.
答案：充 要
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7 . “方程x —2x—a=0 没有实数根”的充要条件是 .
解析：因为方程x -2x-a=0 没有实数根，所以有△=4+4a<0, 解 得a<-1, 因此
“方程x -2x-a=0 没有实数根”的必要条件是a<- 1 .反之，若 a<-1, 则△<0,方程x -2x
-a=0 无实数根，从而充分性成立.故“方程x -2x-a=0 没有实数根”的充要条件是“a<
-1”.
答案： a<-1
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; 命题q:a≤x≤a+1, 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数a
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8.设命题p:
的取值范围.
解 ：设
故所求实数a 的取值范围是
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由p 是 q 的充分不必要条件，可知A B,
,B={x|a≤x≤a+1},
解得
: ·
,
综合应用练
9.“函数y=x —2ax+a 的图象在x轴的上方”是“O≤a≤1” 的( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解 析：A 函 数y=x -2ax+a 的图象在x 轴的上方，则△=4a -4a<0, 解 得 0由集合的包含关系可知选A.
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A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
10.集合A,B 之间的关系如图所示，p:a∈[yB,q:a∈A, 则p是q的( B )
解析：B 由图可知A是B的补集的真子集，故选B.
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11. 祖暄原理：“幂势既同，则积不容异.”它是中国古代一个涉及几何体体积的问
题，意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个
几何体的体积相等 . 设A,B 为两个等高的几何体，p:A,B 的体积不相等，q:/A,B 在
同高处的截面面积不恒相等，根据祖原理可知，p 是q的( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析：A 因为A,B 两个几何体等高，所以由祖順原理得，若A,B 的体积不相等，
则等高处的截面面积不恒相等，所以p→q.当等高处截面面积不恒相等时，A,B 的体积有
可能相等，例如：A,B 为两个一模一样的圆锥， 一个底面向上放置， 一个底面向下放
置，则在等高处的截面面积不恒相等，但它们体积相等，故q推不出p.因此p是q的充分不
必要条件.
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12. 下列不等式：①x<1;②0-1. 其中，可以
作为x <1的一个充分不必要条件的所有序号为 ; 可 以 作 为x <1的一个必要不充 分条件的所有序号为
解析：由x <1, 得 - 11{x|x<1},{x-1-1}, 所以x<1和x>-1 均可作为x <1的一个必要不充分条
件.
答 案 ： ② ③ ① ⑤
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13. 已 知ab≠0, 求 证：a+b=1 的充要条件是a +b +ab—a —b =0.
证明：必要性：因为a+b=1, 所 以a+b—1=0.
所以a +b +ab—a —b =(a+b)(a -ab+b )-(a —ab+b )=(a+b—1)(a -ab+b )
=0.
充分性：因为a +b +ab—a -b =0, 即(a+b—1)(a -ab+b )=0, 又 ab≠0,所以
a≠0 且b≠0.
因为 所以a+b—1=0, 即 a+b=1. 综上可得，当ab≠0
时，a+b=1 的充要条件是a +b +ab—a -b =0.
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探索创新练
14.若实数a,b 满足a≥0,b≥0, 且 ab=0, 则 称a 与b互补 . 记
—a-b, 那么φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的( C )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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2
由a≥0,b≥0, 且 ab=0, 得 √a +b =√a +b +2ab=a+b. 故φ(a,b)=0
是a 与b 互补的充要条件.故选C.
解析：C 由 √a +b =a+b, 可 得a +b =(a+b) =a +b +2ab, 即 即
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本部分内容讲解结束
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