3.2.1函数的单调性-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
3. 2.1函数的单调性
思 考 ：气温发生了怎样的变化
在哪段时间气温升高，在哪段气温降低
气温T是关于时间t的函数曲线图
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗
2、 随x的增大，y 的值有什么变化
观察下列各个函数的图象，并说说它们
分别反映了相应函数的哪些变化规律
-2
-5-4-3-2o
-1
100
50
-6-4zo
-50
-100
345
2 4
从左至右图象上升还是下降 上 升
在区间 (-00,+00 ) 上，随着x 的增大，f(x) 的值随
增大
画出函数f(x)=x 的图象，观察其变化规律：
1、 2、着
1、 在区间(-0,0) 上 ，f(x) 的值随着x的增大而 减小
2、 在区间 (0,+0) 上 ，f(x)的值随着x的增大而 增大
画出函数f(x)=x 的图象，观察其变化规律：
-3-2-10 2 3 x
在区间[0,+00]上任取两个x ,x , 得到f(x )=x ,
f(x )=x , 当x 们就说函数f(x)=x 在区间(0,+0)上是增函数.
如何利用函数解析式f(x)=x 来描述图象这
种变化规律
一、函数单调性定义
1. 增函数
y=f(x
x
X X
(1)
一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I, 如 果对 于 定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x , X , 当x 一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I, 如 果 对
于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x , X , 当x f(x ) , 那么就说f(x) 在区间D 上是减函数.
一、函数单调性定义
2. 减函数
注意：
1、 函数的单调性是针对定义域内的某个区间而
言的，是函数的一个局部性质；
例如：y=x 在整个定义域(-0,+0) 上单调递增； y=x 在(0,+0) 单调递增，在(-0,0] 单调递减.
2、 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x ,
X ; 当x f(x ) 分别是增函数和减函数.
判断：定义在R上的函数f(x) 满足f f(2)
(2)>f(1), 则函数f(x) 在R上是增
函数吗
二 、函数单调区间定义
如果函数y=f(x) 在某个区间D 上是增函 数或是减函数，那么就说函数y=f(x) 在这 一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫
做y=f(x) 的单调区间.
练习： 分别画出下列函数的图象，并根据 它们的图象指出其单调区间。
(1) y=2x+1 (2)y=(x-1) -1
(3)y=1 (4)y=2
X
增区间为
减区间为 (一 1]
上 人上 b
入
是单调减函数
减区间为
(-c 0,0),0,
无单调性
十00
增区间为
能不能
(1)y=2x+1
2)y=(x-1) -1
X
解：函数y=f(x) 的单调区间有
[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5]
其中y=f(x) 在区间[-5,-2],[1,3] 上是减函数，
在区间[-2,1],[3,5] 上是增函数。
例1、下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数
由V ,V ∈(0,+o) 且V 0,V -V >0
又k>0,于是 p(V )-p(V )>0 ...........定号
即 p(V )
强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V ,V 是定义域 (0,+o) 上的任意两个实数，且V 所以，函数 ,V∈(0,+0) 是减函数.
也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.……结论
例2、物理学中的玻意耳定律 我们，对于一定量的气体，当
k为正常数)告诉 V 减小时，压
.....取值
三 、函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单 调性的一般步骤：
1 取值：任取x ,X ∈D, 且x 2 作差：f(x )-f(x );
3 变形：(通常是因式分解或配方等);
4 定号：(即判断差f(x )-f(x ) 的正负) ;
5 结论：(即指出函数f(x)在给定的区间D 上的 单调性) .
由于x ,X ∈(0,+00) 得x X >0,又由x 0
所以f(x )-f(x )>0,即f(x )>f(x )
因此f(x)=1/x在(0,+oo)上是减函数。
证明：函数f 在(0,+)上是减函数。
证明：设x ,x 是(0,+0)上任意两个实数， 且x 取值
作差
变形
定号
判断
在定义域(-00,0)U(0,+0)上 是单调减函数
2试讨 在(-00,0)和(0,+0)上的单调性 一
的单调减区间是(-0,0)
练习1:画出下列函数图像，并写出单调区间：
讨论1:根据函数单调性的定义
数缺形
近
练习2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2)y=-x +2.
y=-x +2 的单调增区间是 [-o,0].
y=-x +2 的单调减区间是[0,+00]
变式1:讨论 y=ax (a≠0)的单调性
变式2:讨论 y=ax +bx +c(a≠ 0) 的单调性
y 单调增区间
单调减区间
a>0
a<0
0)的对称轴为
y=
并给出证明 描点作图
主要步骤
1.任取x ,x ∈D, 且x 2.作差f(x )一f(x );
3.变形(通常是因式分解和配方);
4.定号(即判断差f(x )一f(x )的正负);
5.下结论
例3.判断函数 y= x 在定义域 上的单调性.
X(教材P43/7(4))
数时难入微
证明： 在区间 1,+00)上任取两个值x ,X 且x ∵x,x ∈(1,+0o),且x 0
∴f(x)-f(x )<0,∴f(x )是增函数.
变 形
在区间上
所以函数
取值
作差
返回
[1,+0]
定 号
结 论
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再 利 用
定义证明.求函数的单调区间时必须要注意函数 的定义域，单调性的证明一般分五步：
取值→ 作 差→ 变 形→ 定 号→ 下结论
1.讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的
单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必
须先确定函数的定义域.
2.根据定义证明函数单调性的一般步骤是：
(1)设 X1,X2是给定区间内的任意两个值，且X (2)作差f(x )-f(x 并将此差变形(要注意变形的程度).
(3)判断 f(x )-f(x ) 的正负(说理要充分) .
(4)根据 f(x )-f(x ) 的符号确定其增减性。
课 堂 小 结
部 邹 级
数与形，本是相倚依，
焉能分作两边飞；
数无形时少直觉，
形少数时难入微；
数形结合百般好，
隔离分家万事休；
切莫忘，几何代数统一体，
永远联系莫分离.
华罗庚 级 级
级
收 人仰史仰心外