3-1-1 椭圆及其标准方程 课件(共22张PPT)-人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册

(共22张PPT)
人教A版 (2019)高中数学选择性必修第一册
第三章圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
1椭圆及其标准方程
如何精确的设计绘制这些椭圆形物件呢
引入
探究
1.取一条细绳，
2.把它的两端固定在板上的两点F 、F
3.用铅笔尖M把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出 的图形
观察做图过程：
1.绳长应当大于F 、F 之
间的距离。
2.由于绳长固定，所以
M 到两个定点的距离和
也固定。
用集合的语言描述椭圆的定义P={M||MF I+|MF I=2a,2a>2c}
思考：若 2a≤2c 形成什么样的轨迹
2a =2c轨迹是线段F F
2a <2c无轨迹
新知
椭圆的定义
平面内与两个定点F 、F 的距离的和等于常数(大于|FF ) 的 点
的轨迹叫做椭圆。
这两个定点F 、F 叫做椭圆的焦点
两焦点的距离叫做椭圆的焦距(|F F I=2c)
焦距的一半称为半焦距
M
练习
用定义判断下列动点M 的轨迹是否为椭圆.
(1)到F (-2,0)、F (2,0)的距离之和为6的点的轨迹.
(2)到F (0,-2)、F (0,2)的距离之和为4的点的轨迹.
(3)到F (-2,0)、F (0,2)的距离之和为3的点的轨迹.
解：(1)因|MF I+|MF I=6>|F F I=4, 故点M 的轨迹为椭圆.
(2)因|MF |+|MF I=4=F F I=4, 故点M 的轨迹不是椭圆(是线段F F ).
(3)因|MF |+|MF I=3<|F F I=4, 故点M的轨迹不存在.
椭圆上的点满足|PF I+|PF |为定值，设为2a.则2a>2c 则： √x+c +y + √x-c +y =2a
移项得 √x+c +y =2a-√x-c +y
平方得x+c +y =4a -4a √x-c +y +x-c +y
整理得a -cx=a √x-c +y 平方得a -c x +a y =a a -c
两边同除以a (a -c )得 令b =a -c 得
探究
探究：观察椭圆的形状，你认为怎样建系可能使得 椭圆的方程形式简单 y
解：以F 、F 所在直线为x轴，线段F F P(x,y)
的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系.
设P(x,y) 是椭圆上任意一点
F F=2c,则有F (-c,0)、F (c,0)
F (-c,00 F (c /0) X
椭圆的标准方程
即 2
思考：如何推导焦点在y轴
上的椭圆的标准方程呢
F
新知
焦点在x 轴上，坐标为F(-c,0),F (c,0)
M
X 2
2--
新知
思考：如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢
注 意：1.方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1;
2.在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0;a =b +c
3.焦点在大分母变量所对应的那个轴上；
思 考 ：怎样判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上
新知
椭圆的标准方程
在x 轴。(-3,0)和(3,0)
在 y 轴。(0,-5)和(0,5) 在y 轴。(0,- 1)和(0,1) 在y轴。(-1,0)和(1,0)
不是
不是
练习
练习1:判定下列方程是否为椭圆的标准方程，若是判断焦点在哪 个轴上，并写出焦点坐标.
(4)3x +4y =12
练习
(1)设F ,F 为定点， |F F I=6, 动点M满足|MF |+ MF I=10, 则动点M 的轨迹是(A )A.椭圆
B. 直线C. 圆 D. 线段
(2)a=5,c=3, 焦点在x轴上的椭圆标准方程为
上一点P到一个焦点的距离为4,则
则a=3 ,b=2 ,c=√5 .
P到另一个焦点的距离为 .
(3)椭圆的方程为
(4)椭圆
故椭圆的标准方程
,c=3,
练习
贝
点 ,求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为
由椭圆得定义可知c=2
例题
例1.已知椭圆的两焦点为F (2,0)、F (-2,0),并且椭圆过
所以a=√ 10
所以b =a -c =10-4=6
故椭圆得标准方程为
思考：你还能用其他 方法求它的标准方程 吗 试比较不同方法 的特点。
点 ,求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为
由椭圆得定义可知c=2
所以b =a -4
∵点P在椭圆上
例题
例1.已知椭圆的两焦点为F (2,0)、F (-2,0), 并且椭圆过
故椭圆得标准方程为
所以
解
归纳
待定系数法求椭圆标准方程的解题步骤： 先定位，后定量
(1 ) 确定焦点的位置；
(2 ) 设出椭圆的标准方程；
(3 ) 用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.
求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)经过点(2,0)和(0,1)
(2)经过点
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为
∵点(2,0)、(0,1)在椭圆上
故椭圆得标准方程为
练习
解
∵点A、B在椭圆上
所以
所以椭圆的方程为5x +4y =1
练习
求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)经过点(2,0)和(0,1)
解：可椭圆的方程为mx +ny =1
(2)经过点 和
故椭圆得标准方程为
归纳
求椭圆标准方程的方法
当焦点位置不确定时，
可设椭圆方程为mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n).
因为它包括焦点在x轴上(mn)两类
情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的 目的 .
例题
例2 在圆x +y =4 上任取一点P, 过 点P向x轴作垂 线段PD,D 为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD中点 M的轨迹是什么,为什么
解：设点M的坐标为(x,y), 点P的坐标为(x ,y)
则 x=x ,
∴xo=x,yo=2y
∵P(x ,y 。) 在圆x +y =4 上
∴x +y =4
将x =x,yo=2y 代入上述方程
得x +4y =4 即
例题
例3设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM
迹方程。
解：设点M(x,y),因为点A(-5,0),B(5,0)
所以
所以点M 得轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点得椭圆
相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M的轨
所以直线AM得斜率为
直线BM 得斜率为
不同点 标准方程
图形 V x
焦点坐标
共同点 定义 平面内与两定点F 、F 的距离的和等于常 数(大于|F F I)的点的轨迹叫做椭圆.
a、b、c的关系
焦点位置的判定 椭圆的两种标准方程中，总是a>b>0.所以哪个 项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪 个轴上，相应的那个项的分母就越大.
求椭圆标准方程的方法：待定系数法，先定位，后定量
当椭圆 确定是，可采用椭圆方程为mx +ny =
m
位
小结
布置作业
完成同步练习