人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册2.2 直线的方程 课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
选择性必修一第二章
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
知识梳理
[知识要点]
要点一 直线的点斜式方程
1. 定义：如图所示，直线l过定点P(xo,yo), 斜率为k, 则 把 方程 y yo =k(x—xo) _叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式.
知识梳理
2. 说明：如图所示，过定点P(xo,yo),倾斜角是90°的直线没
有点斜式，其方程为x—xo=0, 或 x=x .
关于点斜式的几点说明
① 直线的点斜式方程的前提条件是：
已知一点P(xo,yo) 和斜率k; 斜率必须存在.只有这两个条件都具备，才可 以写出点斜式方程.
②方程y —yo=k(x —xo)与方程 不是等价的，前者是整条直线，
后者表示去掉点P(xo,yo)的一条直线.
③当k 取任意实数时，方程y —yo=k(x —xo)表示恒过定点(xo,yo) 的无数 条直线.
A
知识梳理
知识梳理
④如果直线l过点P (x ,yo) 且平行于x轴(或与x轴重合),这时
倾斜角为0° ,tan 0°=0,即k=0, 由点斜式得y=yo, 如图甲所
示 .
如果直线过点P (xo,yo)且与x轴垂直，此时它的倾斜角为90 °,斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示 为x=xo, 如图乙所示.
P (xo,y )
充
Y
0
乙
1. 定 义：如图所示，直线l的斜率为k, 且与y轴的交点为(0, b), 则方程y=kx+b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式.
2 . 说 明：一条直线与y轴的交点(0,b) 的纵坐标b叫做直线在y
轴上的_截距 . 倾斜角是 直角 的直线没有斜截式方程.
知识梳理
要点二 直线的斜截式方程
知识梳理
斜截式方程和截距的几点说明：
①方程y= kx +b的特点——左端y 的系数恒为1,右端x 的系数k 和常数 项b 均有明显的几何意义： k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距.
②直线方程的斜截式是由点斜式推导而来的.直线与y 轴的交点(0, b)的纵 坐标 b 称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也 可能是负数，还可能为0, 不能将其理解为“距离”就恒为正.同理，直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 称为此直线的横截距.不是每条直线都有横截距和纵截 距，如直线x=1 没有纵截距，直线y=2 没有横截距.
③直线方程的斜截式y=kx +b,当 k≠0 时就是一次函数的标准形式.
④由直线方程的斜截式反过来可得到直线的斜率和纵截距，如直线 y=2x —1的斜率为k=2, 纵截距为一1.
根据题意，直线/的倾斜角为60°,则其斜率
又直线经过点A(√3,2),
所以直线/的方程为y-2=√3(x-√3).
故选B.
例 1.方程y-yo=k( x-Xo)(B)
A. 可以表示任何直线
B. 不能表示过原点的直线
C. 不能表示与y 轴垂直的直线
D. 不能表示与x 轴垂直的直线
例题解析
例题解析
例2 . 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(-1,4), 倾斜角为45°;
(2)经过点B(4,2), 倾斜角为90°;
(3)经过原点，倾斜角为60° ;
(4)经过D(一 1,1),与x轴平行.
(1)∵k=tan45°=1, ∴直线方程为y-4=x+1.
(2)直线斜率不存在，直线平行于y 轴，所求直线为x=4.
(3)∵k=tan60°=√3,且过原点，∴直线方程为y= √3x.
(4)直线斜率k=0,∴ 直线方程为y=1.
【解析】 (1)y+3=3(x—0)→y=3x-3.
(2)∵k=tan60°=√3,∴y=√3x+5.
3 ,∴
(2)倾斜角是60°,在y轴上的截距是5;
(3)倾斜角是150° , 在y轴上的截距是0.
例3 写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率是3,在y轴上的截距是-3;
●
例题解析
解析：∵ 直 线l 与 x 轴的夹角为45°,
∴直线l的倾斜角α=45°或135° .
∴直线l的斜率k=1 或—1.
∴直线l 的方程为：y-1=x—2 或 y-1=—(x—2) 即y=x—1 或y=—x+3.
答案：y=x-1 或 y=—x+3
例 4一条直线I 过点(2,1)且与x 轴的夹角为45°, 则这条直线方程为
例题解析
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[知识要点]
要点一 直线的两点式方程
1 . 定义：如图所示，直线l经过点P (x ,y ),P (x ,y ) (其中
2. 说明：与坐标轴垂直 _的直线没有两点式方程.
x ≠x ,y ≠y ), 则方程 程，简称两点式.
,叫做直线l 的两点式方
直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为： (x —
x )(y-y )=(y -y )(x—x ), 它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐
标轴垂直的直线.
知识梳理
1 . 定义：如图所示，直线1与两坐标轴的交点分别是P (a,0),
P (0, b)(其中a≠0,b≠0), 则 方 程+6=1 ,叫做直线l 的截距式 方程，简称截距式.
2 . 说明：一 条直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x
轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距.
知识梳理
要点二 直线的截距式方程
①由截距式方程可以直接得到直线在x 轴与y 轴上的截距.
②由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x 轴、y 轴上的截距都存在且
不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x 轴垂直的直线、与y
轴垂直的直线.
③过原点的直线可以表示为y=kx; 与 x 轴垂直的直线可以表示为x=Xo;
与y 轴垂直的直线可以表示为y=yo.
知识梳理
例1.下面说法正确的是(D) .
A. 经过定点P(x,yo)的直线都可以用方程y-x%=k(x-x)表示
B. 不经过原点的直线都可以用方程 表示
C. 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
D. 经过任意两个不同的点P(x,y),Q(x ,y )的直线都可以用方程(x -x)·(y-y)=(y -y )(x-x)
表示
A
例题解析
【分析】
根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.
【解析】经过定点P(x,yo)且斜率存在的直线才可用方程y-y =k(x-x) 表示，所以A 错 ；
不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B 错
经过定点A(0,b)且斜率存在的直线才可用方程y=kx+b表示，所以C 错 ；
当x≠x 时，经过点P(x,y ),Q(x ,y )的直线可以用方程 即(x-x)(y-x)=(x-%)(x-x)
表示，
O
例题解析
例题解析
当x =x 时，经过点P(x ,y ),Q(x ,y )的直线可以用方程x=x , 即
(x -x)·(y-y )=(y -y )(x-x ) 表示，
因此经过任意两个不同的点P(x,y ),Q(x ,y ) 的直线都可以用方程
(x -x)-(y-y )=(y -y )(x-x ) 表示，所以D对；
故选： D
例题解析
例2.直线/过点P(-2,3), 且与x 轴、y 轴分别交于A,B 两点.若点P恰为线段 AB的中点，则直线
的方程为
设 A(x,0),B(0,y).
因为点P恰为线段AB的中点，
所 手 ,所以x=-4,y=6, 即 A,B 两点的坐标分别为(-4,0),(0,6).
由直线的两点式方程 整理得3x-2y+12=0.
例3 . 直 在 y 轴上的截距为( B )
A.|b| B.-b C.b D.±b
直 ,令x=0, 解得y=-b,∴ 直 在y 轴上的截距为- b.故选B.
例题解析
0
例题解析
例4.过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(C )
A.X+y-5=0
B.2x-3y=0
C.x+y-5=0 或 2x-3y=0
D.x+y+5=0 或 3x-2y=0
当直线在x 轴上的截距a=0 时，直线在y 轴上的截距b=a= 0,
此时直线方程过点P3,2) 和原点(0,0),所以直线方程 ,整理得2x-3y=0.
当直线在x 轴上的截距a≠0时，直线在y 轴上的截距b=a, 此时直线方程
把P3,2) 代入得a=5, 所以直线方程为x+y-5=0.
所以过点P(3,2) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y-5=0 或 2x-3y=0. 故选C.
例5 .点A(-2,-3) 关于点B(1,0) 的对称点A'的坐标是(A) A.(4,3) B.(-4,3)
C.(3,-3) D.
根据题意，设A'的坐标为(x,y),
点 A(-2,-3) 与A'关于点B(1,0) 对称，则B 为线段AA '的中点，
则 解 即 A'的坐标为(4,3).故选A.
例题解析
[知识要点]
要点 直线的一般式方程
1. 定义：关 于x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0 (其中 A,B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
2 .适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表
示 .
3. 系数的几何意义：当 B≠0 时，则 斜率), 轴
上的截距);
当B=0, A≠0 时，则 轴上的截距),此时不存在斜率.
知识梳理
解读直线方程的一般式：
①方程是关于x,y 的二元一次方程.
②方程中等号的左侧自左向右一般按x,y, 常数的先后顺序排列.
③x 的系数一般不为分数和负数.
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直 线的方程.
知识梳理
在方程 Ax+By+C=0 中 ，
①当A=0 、BC≠0 时，方程为 表示的直线平行于x 轴 .
②当B= 0 、AC≠0时，方程为 表示的直线平行于y 轴 .
③当A=C=0,B≠0 时，方程为y=0, 表示x 轴.
④当B=C=0,A≠0 时，方程为x=0, 表示y 轴.
知识梳理
例题解析
例1.若方程(2m +m-3)x+(m -m) y-4m+1=0 表示一条直线，则实数m 满足(C)
因为方程(2m +m-3)x+(m -m)y-4m+1=0
同时成立，解得m≠1.
表示一条直线，所以2m +m-3=0 与 m -m=0 不能
,m≠0
D.m≠1,
A.m≠0
C.m≠1
8
例 2 . 直 线Ax+By+C=0(A +B ≠0 )经过第二、三、四象限，则A,B,C 需满足条件( c )
A.C=0,AB<0
B.AC<0,BC<0
C.A,B,C 同号
D.A=0,BC<0
A
例题解析
得 ∵直线Ax+By+C=0 经过第二、三、四象限， ∴A,B,C 同 号 .
由题可知B≠0,由 Ax+By+C=0,
0
例题解析
例 3 . 求 分 别满足 下列条 件的直线/的一般式方程：
(1)斜率是 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
设直线/的方程为 令x=0, 得y=b.
令y=0, 得 , 解 得b=±3.
∴直线/的方程为 ,化为一般式为3x-4y±12=0.
例题解析
当 m≠1 时，直线/的方程 即
当 m=1 时，直线/的方程是x=1. 综上，所求直线/的方程是x-(m-1)y-1=0 或 x-1=0.
(2)经过两点A(1,0),B(m,1);
声
例题解析
(3)经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
设直线/在x轴、y 轴上的截距分别为a,b.当a≠0,b≠0时，直线/的方程为
当a=b=0 时，直线/过原点且过点(4,-3),.直线/的方程为
综上所述，直线/的方程为x+y-1=0 或x-y-7=0 或 3x+4y=0.
酒
解得 .∴直线/的方程为
∵直线/过点(4,-3), 1.又∵|a|=|b|, ∴
『
例4.已知点A(2,-3),B(-3-2).若直线1:m+y-m-1=0与线段AB相交，则实数m 的取值范围
是( )
A.
C.
B.
D.
例题解析
例题解析
【答军】A
【解析】设直线l过定点P(x,y),则直线l:mx+y-m-1=0 可写成m(x-1)+y-1=0,
令 .直线1必过定点P(1,1).
重 ∵直线l:mx+y-m-1=0 与线段AB 相交，
∴由图象知， ,解得 或m≥4,
则实数m 的取值范围是
故选：A
4
例5 . 若直线kx+(1-k)y-3=0 和直线(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直，则k=( ( )
A.-3 或 - 1 B.3 或 1
C.-3 或 1 D.-1 或 3
因为直线 kx+(1-k)y-3=0 和直线(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直，
所以k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0,
解得k=1 或 k=-3. 故选C.
例题解析
课堂小结
1. 直线的点斜式方程；
2、 直线的两点式方程； 3. 直线的一般式方程；