1.4空间中直线、平面的平行 课件(共38张PPT)
文档属性
| 名称 | 1.4空间中直线、平面的平行 课件(共38张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-01 18:36:41 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
第1章空间向量与立体几何
1.4.1.2空间中直线、平面的平行
人教A版2019选择性必修第一册
情景导入
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，
最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓
和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、
木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼
中有一种有柱门形构筑物， 一般较高大.如图，
牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部
的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线
与地面平行.这是为什么呢
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
核心素养：数学抽象逻辑推理直观想象
学习目标
自主学习
知识点1直线和直线平行
设u ,u 分别是直线l ,l 的方向向量，则l //l - u //u 3λ∈R, 使 得
u = λu,.
注意点：
(1)此处不考虑线线重合的情况.
(2)证明线线平行的两种思路：
①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算
利用向量共线的充要条件证明.
②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示.
知识点2直线和平面平行
设u是直线的方向向量，n是平面α的法向量，l4a, 则1//a=u_
u·n=0.
注意点：
(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)特别强调直线在平面外.
知识点3平面和平面平行
设n ,n 分别是平面α,β的法向量，则a//β= n //n →3λ∈ R, 使 得
n =λn .
问题1如何借助空间向量证明直线和直线平行
问题2如何借助空间向量证明直线和平面平行
合作探究
合作探究
探究点1直线和直线平行
例 1 在长方体ABCD-A B C D 中 ，AB=3,AD=4,AA =2,
BB 上，且BM=2MB , 点S在DD 上，且SD =2SD, 点N,R BC的中点.求证：MN//RS.
点M在棱
分别为A D
证明方法一如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得 N(0,2,2),R(3,2,0),
则MN,RS 分别为MN,RS 的方向向量，
所 ,2,2), 7
所以MN=RS, 所以MN//RS, 因 为M≠RS,
所以MN//RS.
所以MN=Rs,
所以MN//RS.
又R∈MN,
所以MN//RS.
方 法 二 设AB=a,AD=b,AA =c,
教师点评
利用向量证明线线平行的思路
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.
跟踪训练 如图所示，在正方体ABCD-A B C D 中 ，E,F 分别为DD 和
BB 的中点.求证：四边形AEC F是平行四边形.
C
证 明 以 点D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 所在直线为x轴 ，y轴 ，
轴建立空间直角坐标系，
则AE,FCi,EC,AF 分别为直线 AE,FC,EC ,AF 的方向向量，
不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0), ,C (0,1,1), ■
∴AE=FC ,EC =AF,
∴AE//FC ,EC //AF,
又∵FEAE,F∈EC ,
∴AE//FC1,EC //AF,
∴四边形AEC F是平行四边形.
探究点2直线和平面平行
例2在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面
ABCD,PD=DC,E 是PC 的中点.证明：PA// 平 面EDB.
PD=DC=a.
连接AC, 交BD于点G, 连接EG,
依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),
证明如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设
方法 一 设平面BDE 的法向量为n=(x,y, z),
则有
B(
所以n.PA=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0.
所以n⊥PA.
又PA4平面EDB, 所以PA// 平面EDB.
令z=1, 贝
又A=(a,0,-a),
所以n=(1,—1,1),
方法二因为四边形ABCD 是正方形，
所以G 是此正方形的中心，
故点G 的坐标
又PA=(a,0,-a),
所以PA=2EG, 这表明PA//EG.
而EGc 平面EDB, 且PA4平面EDB,
所以PA// 平面EDB.
所以A=-DE+EB, 又 PAd平面EDB,
所以PA// 平面EDB.
方法三假设存在实数λ,μ使得PA=λDE+μEB,
则 解
变式探究 如图，在四棱锥P-ABCD 中 ，PA⊥底面ABCD, 底面ABCD 为
直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°, .问：在棱PD
上是否存在一点E, 使 得CE//平面PAB 若存在，求出E 点的位置，若不
存在，请说明理由.
解 分 别 以AB,AD,AP 所在直线为x,y,z 轴建立空间
直角坐标系，如图.
则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0).
假设在棱PD上存在符合题意的点E,
设 E(0,y,z), 则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2, 一1).
∵PE//PD,
∴—y-2(z—1)=0.
∵AD=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量，CE=(-1,y-1,z),
∴由CE// 平面PAB, 可得CE⊥AD.
①
∴(一1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y—1)=0.
∴y=1, 代入①式得
∴E是PD 的中点，即存在点E 为PD 的中点时，CE// 平面PAB.
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用
平面内的一组基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利
用线面平行判定定理得证.
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量
与平面的法向量垂直.
教师点评
EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G
AB// 平面DEG.
跟踪训练 在如图所示的多面体中，EF⊥ 平面AEB,AE⊥EB,AD//EF,
是BC 的中点，求证：
平面AEB,BEc 平面AEB,
所在直线分别为x轴 、y 轴、z 轴建立如图
证 明 ∵EF⊥平面AEB,AEc
∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又∵AE⊥EB,
∴EB,EF,EA 两两垂直.
以点E为坐标原点，EB,EF,EA
所示的空间直角坐标系.
由已知得，A(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
∴ED=(0,2,2),EG=(2,2,0),AB=(2,0,-2).
设平面DEG的法向量为n=(x,y,z),
令y=1, 得z=—1,x=—1, 则n= (一1,1,一1),
∴AB·n=-2+0+2=0, 即AB⊥n.
∵AB4平面DEG,
∴AB// 平面DEG.
即
探究点3平面和平面平行
例3 已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,E,F 分别是BB ,DD 的
中点，
求证：平面ADE//平面B C F.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0),A(2,0,0),C (0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B (2,2,2),
所以FC =(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1),C B =(2,0,0),
设n =(x ,y1,z )是平面ADE 的法向量，
则n ⊥DA,n ⊥AE,
即
令z =2, 则y =—1,
所以可取n =(0, 一1,2).
同理，设n =(x ,y ,z ) 是平面B C F的一个法向量.
解
令z =2, 得y =—1,
所以n =(0,—1,2).
因为n =n , 即 n //n ,
所以平面ADE// 平面B C F.
由n ⊥FC ,n ⊥C B,
教师点评
证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.
跟踪训练 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D
梯 形 ，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA =2,F
中，底面ABCD 为等腰
是棱AB的中点.
求证：平面AA D D//平面FCC .
因为ABCD为等腰梯形，AB=4,BC=CD=2, 所以∠BAD=∠ABC=60°
取AF 的中点M, 连接DM,
则DM⊥AB, 所以DM⊥CD.
以D为原点，DM,DC,DD 所在直线为x轴 ，y轴 ，z 轴建立空间直角坐
标系，
则 D(0,0,0),D (0,0,2),A(√3,—1,0),F(√3,1,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2),
所以DD =(0,0,2),DA=(√3,-1,0),CF=(√3,-1,0),CC =(0,0,2),
证 明 因 为AB=4,BC=CD=2,F
所以BF=BC=CF,
所以△BCF 为正三角形.
是棱AB 的中点，
所以DD //CC,DA//CF,
又DD ∩DA=D,CC ∩CF=C,DD ,DAc 平
面AA D D,CC ,CFc 平面FCC ,
所以平面AA D D// 平面FCC .
l //l , 则
A.x=6,y=15 B.x=3,
C.x=3,y=15 Vx =6,
当堂训练
1.已知向量a=( 2,4,5),b=(3, x,y) 分别是直线l ,l 的方向向量，若
解析由题意得，
∴x=6,
2.(多选)若直线的方向向量为a, 平面α的法向量为n, 能 使l//α的 是
A.a =(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
-Da=(1,-1,3),n=(0,3,1)
解 析 若l//a,则a·n=0.
而A中a·n=0,
B中a·n=1+5=6,
C中a·n=—1,
D中a·n=—3+3=0.
3.设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2 ,-2),v=(-3,-6,6),
的位置关系为_ 平 行.
解 析 ∵v=—3(1,2, 一2)=—3u,
∴a//β.
则α ,
4.已知直线1//平面ABC, 且1的一个方向向量为a= (2,m,1),A(0,0,1),
B(1,0,0),C(0,1,0), 则实数m的值是 -3
解 析 ∵1//平面ABC,
∴存在实数x,y, 使a=xAB+yAC,AB=(1,0,一1),AC=(0,1,一1),
∴(2,m,1)=x(1,0, 一 1)+y(0,1,—1)=(x,y, 一x—y),
∴m=—3.
课堂小结
1.知识清单：
(1)线线平行的向量表示.
(2)线面平行的向量表示.
(3)面面平行的向量表示.
2.方法归纳：
坐标法、转化化归.
3.常见误区：
通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内.
第1章空间向量与立体几何
1.4.1.2空间中直线、平面的平行
人教A版2019选择性必修第一册
情景导入
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，
最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓
和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、
木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼
中有一种有柱门形构筑物， 一般较高大.如图，
牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部
的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线
与地面平行.这是为什么呢
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
核心素养：数学抽象逻辑推理直观想象
学习目标
自主学习
知识点1直线和直线平行
设u ,u 分别是直线l ,l 的方向向量，则l //l - u //u 3λ∈R, 使 得
u = λu,.
注意点：
(1)此处不考虑线线重合的情况.
(2)证明线线平行的两种思路：
①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算
利用向量共线的充要条件证明.
②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示.
知识点2直线和平面平行
设u是直线的方向向量，n是平面α的法向量，l4a, 则1//a=u_
u·n=0.
注意点：
(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)特别强调直线在平面外.
知识点3平面和平面平行
设n ,n 分别是平面α,β的法向量，则a//β= n //n →3λ∈ R, 使 得
n =λn .
问题1如何借助空间向量证明直线和直线平行
问题2如何借助空间向量证明直线和平面平行
合作探究
合作探究
探究点1直线和直线平行
例 1 在长方体ABCD-A B C D 中 ，AB=3,AD=4,AA =2,
BB 上，且BM=2MB , 点S在DD 上，且SD =2SD, 点N,R BC的中点.求证：MN//RS.
点M在棱
分别为A D
证明方法一如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得 N(0,2,2),R(3,2,0),
则MN,RS 分别为MN,RS 的方向向量，
所 ,2,2), 7
所以MN=RS, 所以MN//RS, 因 为M≠RS,
所以MN//RS.
所以MN=Rs,
所以MN//RS.
又R∈MN,
所以MN//RS.
方 法 二 设AB=a,AD=b,AA =c,
教师点评
利用向量证明线线平行的思路
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.
跟踪训练 如图所示，在正方体ABCD-A B C D 中 ，E,F 分别为DD 和
BB 的中点.求证：四边形AEC F是平行四边形.
C
证 明 以 点D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 所在直线为x轴 ，y轴 ，
轴建立空间直角坐标系，
则AE,FCi,EC,AF 分别为直线 AE,FC,EC ,AF 的方向向量，
不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0), ,C (0,1,1), ■
∴AE=FC ,EC =AF,
∴AE//FC ,EC //AF,
又∵FEAE,F∈EC ,
∴AE//FC1,EC //AF,
∴四边形AEC F是平行四边形.
探究点2直线和平面平行
例2在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面
ABCD,PD=DC,E 是PC 的中点.证明：PA// 平 面EDB.
PD=DC=a.
连接AC, 交BD于点G, 连接EG,
依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),
证明如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设
方法 一 设平面BDE 的法向量为n=(x,y, z),
则有
B(
所以n.PA=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0.
所以n⊥PA.
又PA4平面EDB, 所以PA// 平面EDB.
令z=1, 贝
又A=(a,0,-a),
所以n=(1,—1,1),
方法二因为四边形ABCD 是正方形，
所以G 是此正方形的中心，
故点G 的坐标
又PA=(a,0,-a),
所以PA=2EG, 这表明PA//EG.
而EGc 平面EDB, 且PA4平面EDB,
所以PA// 平面EDB.
所以A=-DE+EB, 又 PAd平面EDB,
所以PA// 平面EDB.
方法三假设存在实数λ,μ使得PA=λDE+μEB,
则 解
变式探究 如图，在四棱锥P-ABCD 中 ，PA⊥底面ABCD, 底面ABCD 为
直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°, .问：在棱PD
上是否存在一点E, 使 得CE//平面PAB 若存在，求出E 点的位置，若不
存在，请说明理由.
解 分 别 以AB,AD,AP 所在直线为x,y,z 轴建立空间
直角坐标系，如图.
则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0).
假设在棱PD上存在符合题意的点E,
设 E(0,y,z), 则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2, 一1).
∵PE//PD,
∴—y-2(z—1)=0.
∵AD=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量，CE=(-1,y-1,z),
∴由CE// 平面PAB, 可得CE⊥AD.
①
∴(一1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y—1)=0.
∴y=1, 代入①式得
∴E是PD 的中点，即存在点E 为PD 的中点时，CE// 平面PAB.
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用
平面内的一组基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利
用线面平行判定定理得证.
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量
与平面的法向量垂直.
教师点评
EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G
AB// 平面DEG.
跟踪训练 在如图所示的多面体中，EF⊥ 平面AEB,AE⊥EB,AD//EF,
是BC 的中点，求证：
平面AEB,BEc 平面AEB,
所在直线分别为x轴 、y 轴、z 轴建立如图
证 明 ∵EF⊥平面AEB,AEc
∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又∵AE⊥EB,
∴EB,EF,EA 两两垂直.
以点E为坐标原点，EB,EF,EA
所示的空间直角坐标系.
由已知得，A(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
∴ED=(0,2,2),EG=(2,2,0),AB=(2,0,-2).
设平面DEG的法向量为n=(x,y,z),
令y=1, 得z=—1,x=—1, 则n= (一1,1,一1),
∴AB·n=-2+0+2=0, 即AB⊥n.
∵AB4平面DEG,
∴AB// 平面DEG.
即
探究点3平面和平面平行
例3 已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,E,F 分别是BB ,DD 的
中点，
求证：平面ADE//平面B C F.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0),A(2,0,0),C (0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B (2,2,2),
所以FC =(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1),C B =(2,0,0),
设n =(x ,y1,z )是平面ADE 的法向量，
则n ⊥DA,n ⊥AE,
即
令z =2, 则y =—1,
所以可取n =(0, 一1,2).
同理，设n =(x ,y ,z ) 是平面B C F的一个法向量.
解
令z =2, 得y =—1,
所以n =(0,—1,2).
因为n =n , 即 n //n ,
所以平面ADE// 平面B C F.
由n ⊥FC ,n ⊥C B,
教师点评
证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.
跟踪训练 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D
梯 形 ，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA =2,F
中，底面ABCD 为等腰
是棱AB的中点.
求证：平面AA D D//平面FCC .
因为ABCD为等腰梯形，AB=4,BC=CD=2, 所以∠BAD=∠ABC=60°
取AF 的中点M, 连接DM,
则DM⊥AB, 所以DM⊥CD.
以D为原点，DM,DC,DD 所在直线为x轴 ，y轴 ，z 轴建立空间直角坐
标系，
则 D(0,0,0),D (0,0,2),A(√3,—1,0),F(√3,1,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2),
所以DD =(0,0,2),DA=(√3,-1,0),CF=(√3,-1,0),CC =(0,0,2),
证 明 因 为AB=4,BC=CD=2,F
所以BF=BC=CF,
所以△BCF 为正三角形.
是棱AB 的中点，
所以DD //CC,DA//CF,
又DD ∩DA=D,CC ∩CF=C,DD ,DAc 平
面AA D D,CC ,CFc 平面FCC ,
所以平面AA D D// 平面FCC .
l //l , 则
A.x=6,y=15 B.x=3,
C.x=3,y=15 Vx =6,
当堂训练
1.已知向量a=( 2,4,5),b=(3, x,y) 分别是直线l ,l 的方向向量，若
解析由题意得，
∴x=6,
2.(多选)若直线的方向向量为a, 平面α的法向量为n, 能 使l//α的 是
A.a =(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
-Da=(1,-1,3),n=(0,3,1)
解 析 若l//a,则a·n=0.
而A中a·n=0,
B中a·n=1+5=6,
C中a·n=—1,
D中a·n=—3+3=0.
3.设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2 ,-2),v=(-3,-6,6),
的位置关系为_ 平 行.
解 析 ∵v=—3(1,2, 一2)=—3u,
∴a//β.
则α ,
4.已知直线1//平面ABC, 且1的一个方向向量为a= (2,m,1),A(0,0,1),
B(1,0,0),C(0,1,0), 则实数m的值是 -3
解 析 ∵1//平面ABC,
∴存在实数x,y, 使a=xAB+yAC,AB=(1,0,一1),AC=(0,1,一1),
∴(2,m,1)=x(1,0, 一 1)+y(0,1,—1)=(x,y, 一x—y),
∴m=—3.
课堂小结
1.知识清单：
(1)线线平行的向量表示.
(2)线面平行的向量表示.
(3)面面平行的向量表示.
2.方法归纳：
坐标法、转化化归.
3.常见误区：
通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内.