儋州市第三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
参考答案
1．B
【详解】
，即，所以，推不出，
但是，可以推出.所以“”是“”的必要不充分条件.
2．C
【详解】
由已知条件，,共轭复数，所以.
3．C
【详解】
由得，解得.
4．B
【详解】
AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；
B选项，，故B正确；C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误．
5．D
【详解】
从的6个因式中，其中2个因式选择，2个因式选择，剩余2个选择1，
故展开式中的系数为.
6．A
【详解】
由题，，代入回归方程得，
所以，故当时，.
7．A
【详解】
，由函数为定义域上的减函数，
可得在恒成立，即在恒成立，
即在恒成立，
令，即，则，令可得，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以时，有极大值，即最大值为，
所以，即，所以的取值范围是.
8．C
【详解】
因为，所以，
由正弦定理得，可得，即，
所以，
又，则，
是的中点，，故，
两边平方得，
，故，
其中，故（当且仅当时符号成立），
解得．
9．ABC
【详解】
选项A:由相关系数可知，时，变量与正相关，时，变量与负相关，越大，相关性越强；故选项A正确；
选项B:时，故选项B正确；
选项C:的展开式中,奇数项的二项式系数和为
当随机变量服从正态分布，且，
即
故选项D错误.
10．AC
【详解】
因为展开式第6项和第8项的二项式系数相等，可得,所以,A选项正确；
第3项的系数为,B选项错误；
展开式的通项公式为,
当时，展开式中有理项共有3项，C选项正确；
展开式的奇数项系数和设为展开式的偶数项系数和设为,则令,,
展开式的奇数项系数和为展开式的偶数项系数和为,
则令,,所以奇数项系数和为,D选项错误.
11．ABD
【详解】
对于A，设是曲线上的任一点，则，
则，即点也在曲线上，
而点与是关于对称的，由的任意性，A正确；
对于B，当时，方程化为，
即，其中，表示一条线段，
同理当时，方程为，当时，
方程为，当时，方程为，
则方程表示的曲线是以为顶点的菱形，如图，
表示菱形上点到原点距离的平方，原点到的距离为斜边上的高，
因此的最小值为，B正确；
对于C，菱形的周长为，C错误；
对于D，菱形的面积为，D正确．
12．
【详解】
设等比数列的公比为，
由，得，所以，
又 ，故.
13．67
【详解】
根据表中数据，可得：，；
且回归方程过样本中心点，
所以，解得，所以回归方程为．
当时，，即广告费用为6万元时销售额为67万元．
14．
【详解】
取中点，连接，
因为在棱长为2的正方体中，所以三棱柱是直三棱柱，
又因为平面，所以四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，
因为为棱的中点，四边形是边长为2的正方形，所以，
在中，，又是锐角，所以，
由正弦定理得外接圆的半径为，
所以直三棱柱的外接球半径为，
所以四面体的外接球的表面积为.
15．（1），
由余弦定理得，
化简得．
；
（2）由（1）可得①，
又②，
取的中点，连接，
在中，③，
由②③得④，
由①④得，解得或（舍去），
，
.
16．（1）若，则，可得，
且，令，可得；令，可得；
所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意可得：，
若，，则，可得，
可知在上单调递减，
则在上的最小值为，解得.
17．（1）连接，在菱形中，因为，为的中点，
所以，所以，又因为侧面底面，
侧面底面，侧面，所以底面，
又平面，所以平面底面；
（2）连接，取中点为O，连接，因为，
故三角形为等边三角形，则，因为侧面底面，
侧面底面，侧面，所以底面，
又底面，所以，，
在三角形中，因为，故三角形为等边三角形，
则，所以两两垂直，
则以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
又，故，
，因为，所以，，因为底面，
所以取平面的法向量为；
设平面的一个法向量为，
由，得取，则；
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面所成角的余弦值为
18．（1）
，，
故，.
故关于的线性回归方程为：.
当时，.
预测2023年的产量为万件.
（2）产品误差尺寸指标大致符合正态分布,
故，
所以，
，
.
故该厂2023年的每件产品的利润均值为：.
由（1）知，2023年的产量为万件，
故2023年的总利润为：万元.
19．（1）设为甲的答题数，则可能取3，4，5．
；
；
．
所以甲进入初赛的概率为．
（2）可能取0，5，10，15，20．
；
；
；
；
．
的分布列为
0 5 10 15 20
所以．
（3）因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，
所以甲能胜出的概率，
即．
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．儋州市第三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
考试范围：高考全部内容侧重点选择性必修第二册和第三册
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第I卷（选择题）
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知复数z满足，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．设，已知向量与的夹角为，，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥
5．展开式中的系数为（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
6．为创建良好的生态环境，某地大力发展新能源产业，近4年该地新能源产业生产总值情况如下表所示：
第年 1 2 3 4
生产总值百万元 32 52 73 95
已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则利用该模型预测该地第六年的生产总值为（ ）
A．136.5 B．137.5 C．138.5 D．139.5
7．已知函数为定义域上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得部分，多选或错选不得分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．对个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B．若随机变量，则
C．在的展开式中，奇数项的二项式系数和为32
D．已知随机变量服从正态分布，且，则
10．已知的展开式第6项和第8项的二项式系数相等，下列说法正确的有（ ）
A． B．第3项的系数为66
C．展开式中有理项共有3项 D．奇数项系数和为
11．已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）.
A．曲线关于对称
B．的最小值为
C．曲线的周长为
D．曲线围成的图形面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共计20分）
12．已知等比数列的前项和为，则 .
13．某产品的广告费用与销售额的统计数据如表
广告费用（万元） 4 2 3 5
销售额（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为10，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 万元．
14．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，则四面体的外接球的表面积是 .
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明）
15．（本小题13分）在中，角的对边分别为．
(1)求的大小；
(2)若，且边上的中线长为，求的面积．
16．（本小题13分）已知，为常数.
(1)若，求在上的单调区间；
(2)若，在上的最小值为，求的值.
17．（本小题13分）如图，已知在平行六面体中，所有的棱长均为2，侧面底面为的中点，．
(1)证明：平面底面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
18．（本小题13分）某工厂研发生产一种产品，自2018年开始量产，下表是年代码与年产量（单位：万件）的统计数据：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
1 2 3 4 5
年产量 10 14 18 23 26
(1)经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程，并预测2023年的产量；
(2)根据往年的统计数据，可知产品误差尺寸指标大致符合正态分布，已知，若尺寸指标，每件产品的利润为0元；若，每件产品的利润为10元；若，每件产品的利润为20元，请预测该厂2023年的总利润．
参考公式和数据：中的
随机变量服从正态分布，则，，
19．（本小题13分）为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．
(1)已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
(2)已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；
(3)进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值．
