2023-2024学年安徽省安庆一中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年安徽省安庆一中高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图若，，，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，角，，的对边分别为，，若，则的形状一定( )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
5.设，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.已知正六棱锥底面边长为，体积为，则外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.在正方体中，，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于有如下命题，其中正确的是( )
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，，且有两解，则的取值范围是
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 在中，若，，则必是等边三角形
10.如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体下列可能是该几何体的截面的为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，正方体的棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是( )
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 三棱锥的体积为
D. 以点为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为______．
13.如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为______．
14.在棱长为的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．
求该圆锥的侧面积；
求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，．
求直三棱柱的体积；
求证：面D.
一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点，求小虫爬行的最短距离．
17.本小题分
已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且．
求角；
若，的面积为，求的周长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
求证：平面；
求侧面与底面所成二面角的余弦值；
在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．
19.本小题分
利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对其中，视为一个向量，记作类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
设，，为虚数单位，求复向量、的模；
设、是两个复向量．
已知对于任意两个平面向量，，其中，，，，成立，证明：对于复向量、，也成立；
当时，称复向量与平行若复向量与平行其中为虚数单位，，求复数．
参考答案
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15.解：设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，
则，
解得，
又，
所以，
又因为的面积为，
所以，
解得负值舍去，
又，所以，
所以圆锥的侧面积；
作出轴截面如图所示：由可知，
设圆柱底面半径，即，
则圆锥的高，
所以，即圆柱的高为，
所以圆锥内接圆柱的侧面积，
当且仅当，即时取等号，
所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为．
16.解：因为在直三棱柱中，，，，是边的中点，．
所以，，
所以直三棱柱的体积．
证明：连接，连接，由矩形，得是的中点，而是边的中点，
则，又平面，平面，
所以平面D.
当小虫从点沿爬到点，把矩形与置于同一平面内，如图，
连接，过作于，交于点，
由，得，，，
，则，
因此；
当小虫从点沿正方形爬到点，把正方形与置于同一平面内，
或把正方形与矩形置于同一平面内，如图，
在左图中，取中点，连，显然，，共线，则，，，
而，因此，
在右图中，，；
当小虫从点沿矩形爬到点，把矩形与置于同一平面内，
或把矩形与矩形置于同一平面内，如图，
在左图中，取中点，连，显然，，共线，则，，，
而，因此，
在右图中，，，
显然，
所以小虫爬行的最短距离．
17.解：由向量平行的坐标公式可得，
由正弦定理可得，
即，故，
因为，故C．
由三角形面积公式，，
故，故为等腰三角形，
故A，又，故，
所以的周长为．
18.证明：在正方形中，，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为是正三角形，是的中点，则，
又，，平面，
所以平面；
解：取，的中点分别为，，连接，，，
则，，所以，
在正中，，
因为，，平面，
则平面，
在正方形中，，
故BC平面，
所以是侧面与底面所成二面角的平面角，
由平面，，
则平面，又平面，
所以，
设正方形的边长，则，，
所以，
则，
故侧面与底面所成二面角的余弦值为．
解：当时，平面平面．
由正方形可得．
又，平面平面，可得平面，
即有，
所以
连接，在中，，
则，
由，可得，
又，所以平面，而平面，
所以平面平面．
19.解：由题意，，；
设，，
，
则
由于
，
所以；
设，结合得，
，
令，化简得，
即，，
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