2023-2024学年福建省泉州市晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省泉州市晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.如图，则( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. 或 C. D. 或
4.经过圆锥的轴的截面是面积为的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
5.某地新建了一处云顶观景塔，引来广大市民参观，张同学在与塔底水平的处，利用无人机在距离地面的处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面的处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列判断中正确的个数是( )
，，三点共线；
，，，四点共面；
．
A.
B.
C.
D.
7.已知正三角形的边长为，是边上的动点含端点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间中，下列命题正确的是( )
A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C. 若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上
D. 用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台
10.在中，角，，所对的边分别为，，，且：：：：，则下列结论正确的是( )
A. ：：：：
B. 是锐角三角形
C. 若，则内切圆半径为
D. 若，则外接圆半径为
11.如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 若，，，四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ______．
13.在边长为的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是 ．
14.已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，圆台的侧面积为，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，是实数．
求复数；
设，求；
若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知点为中边上一点，．
设，求的值．
设，，
若，求在上的投影向量；
若，，求的值．
17.本小题分
如图，在平面四边形中，已知，，在边上取点，使得，连接，若，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的长．
18.本小题分
如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
正四棱锥的表面积；
若为的中点，求证：平面；
侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
如图，在中，已知，，，单位圆与交于，，，为单位圆上的动点．
当时，求的最小值；
若，求的值；
记的最小值为，求的表达式及的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以
因为是实数，所以，解得
故．
由可知，，则，
．
因为，
所以．
因为复数所表示的点在第二象限，
所以，解得，
故所以实数的取值范围是．
16.解：因为，
所以，
所以，
所以，，
所以；
在上的投影向量为：，
所以在上的投影向量为；
由可知，，
则，
．
17.解：Ⅰ在中，由正弦定理得，
所以；
Ⅱ在中，由余弦定理得，即，解得．
由余弦定理得，
，
在直角中，，，
在中，由余弦定理得
．
18.解：在正四棱锥中，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的表面积为；
证明：如图，连接交于点，连接，，，则为的中点，
当为的中点时，，
又平面，平面，
所以平面；
解：在侧棱上存在点，使得平面，满足．
理由如下：
取的中点，由，得，
过作的平行线交于，连接，，
中，有，又平面，平面，
所以平面，由，得．
又，又平面，平面，
所以平面，又，、平面，
所以平面平面，而平面，
所以平面．

19.解：当时，为中点，连接交圆于点，
当点运动到点时，取得最小值．
在中，，，，
所以为等边三角形，；
．
以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，
则，记，则，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，解得不合题意，舍去或，
所以．
解法一、因为，所以，
设，因为，
所以，则，
所以，
因为，
所以．
解法二、，
，
所以，
因为，
所以．
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