2023-2024学年河南省商丘市高一（下）联考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年河南省商丘市高一（下）联考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知非零向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，为边的中点，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.设，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4.北京天安门广场中心屹立着一座中国最大的纪念碑人民英雄纪念碑，它专门为缅怀近现代英雄而建，它不仅仅是一个简单的建筑，更是民族精神的象征某学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点，现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.如图，在 中，，，为边的中点，线段与交于点，则( )
A. B. C. D.
6.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A. 若上有两点到平面距离相等，则
B. 若，，，则与是异面直线
C. 若，，，则与没有公共点
D. 若，，则与一定相交
8.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中不正确的是( )
A. 存在点，使得平面
B. 对于任意点，四边形均为平行四边形
C. 四边形的面积随点位置的变化而变化
D. 三棱锥的体积随点位置的变化而变化
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，且，则( )
A. 与同向的单位向量为 B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量是
10.下列说法正确的是( )
A.
B. ，
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则( )
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则满足条件的三角形有两个
D. 若，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则 ______．
13.已知边长为的等边中，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过，，，四点的球的体积为______．
14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花图中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知非零向量，满足，且．
求；
当时，求向量与的夹角的值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的值；
若，且的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知在正方体中，是中点．
求证：平面；
设正方体棱长为，求三棱锥的表面积和体积．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且．
Ⅰ求面积的最大值；
Ⅱ若为边的中点，求线段的长度．
19.本小题分
如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，，，是上的动点．
求圆柱的侧面积；
求四棱锥的体积的最大值．
参考答案
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15.解：因为，即，即，
所以，，故．
因为，故
又因为，
，
又，故．
16.解：由正弦定理及已知，化边为角得．
，，代入得，
．
，，
又，．
，．
由余弦定理，得，
，，
的周长为．
17.解：证明：在正方体中，是中点，
连接交于，连接，显然是的中点，则，
又平面，平面，
所以平面；
显然，，两两垂直，而，
则，
又是的中点，则，，
所以三棱锥的表面积为：
；
体积为．
18.解：Ⅰ已知在中，内角，，所对的边分别为，，，
又，
则，
即，
即，
又，
故，
因为，
所以，当且仅当时取等号．
所以，
故面积的最大值为．
Ⅱ因为是边的中点，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
又，
则，
所以，
所以，
所以，
即线段的长度为．
19.解：在中，，，
由余弦定理可得：，
设圆柱的底面圆的半径为，则在中，由正弦定理可得：
，即，，又圆柱的母线，
圆柱的侧面积；
由可知，在圆柱底面圆中，，圆的半径，
当到的距离最大时，的面积最大，
过圆心作，垂足点为，延长交圆于点．
则到的距离最大为：，
的面积最大值为，
又的面积为，又四棱锥的高，
四棱锥的体积的最大值为．
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