2023-2024学年天津市第二南开中学高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年天津市第二南开中学高一（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，向量，，，且，，则
( )
A. B. C. D.
2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成组：、，、，、，、，、，、加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生名，据此估计，该模块测试成绩不少于分的学生人数为( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则( )
A. B. C. D. 或
5.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知，是空间中两个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，则下列命题中错误的是( )
A. 若，，且，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
7.向量在向量方向上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
8.四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有( )
；
三棱锥的体积为定值；
的面积与的面积相等；
二面角的正切值为．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知复数满足，则的虚部为______．
11.某中学共有高一学生人，高二学生人，高三学生人申请报名做志愿者．现用分层抽样方法从中抽取高一学生人，则该中学抽取的志愿者总人数为______人．
12.与的夹角为锐角，的取值范围为______．
13. 如图，已知空间四边形的四条边及对角线的长均为，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______．

14.如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动平面区域由所有满足的点组成，则的面积是______；四面体的体积的取值范围______．
15.在四边形中，，，，，，则实数的值为______，若，是线段上的动点，且，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量，满足，，与的夹角为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，求实数的值．
17.本小题分
已知复数．
若复数为纯虚数，求；
若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
求的值若，求外接圆的面积．
19.本小题分
如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为的等边三角形，，分别是，的中点，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正切值．
20.本小题分
在中，三个内角，，所对的边分别为，，已知的面积为，，．
求的值；
求的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：Ⅰ，，与的夹角为，
则，
故，
所以；
Ⅱ若，
则，解得．
17.解：若复数是纯虚数，
则，得，
则，
所以；
由复数的几何意义可知，
，得，
故的取值范围为．
18.解：由已知得，
即，
，
，
，
由正弦定理得，
，
；
由余弦定理得，
，
即，
，
，
设外接圆的半径为，则，
解得，
外接圆的面积．
19.解：因为点，分别是，的中点，所以，
平面，平面，
所以平面；
因为是等边三角形，点是中点，所以，
又，，且，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角为，
即，
所以直线与平面所成角的正切值为．
20.解：因为，
则，
由正弦定理可得：，
整理得，
所以，
又，所以；
由，可得，
即
，
故，当且仅当时，等号成立，
联立，得，，
所以的最小值为．
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