2023-2024学年福建省福州一中高一（下）第三次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省福州一中高一（下）第三次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量与的夹角为，且，则( )
A. B. C. D.
2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个长为宽为的矩形，则该平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知直线、和平面、，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4.九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱在堑堵中，，，，，则此堑堵的外接球半径是( )
A. B. C. D.
5.公路北侧有一幢楼，高为米，公路与楼脚底面在同一平面上某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走米到点处，测得仰角为则( )
A. B. C. D.
6.在中，点为边上一点，若，，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
7.已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线点位于上底面，且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为( )
A. B. C. D.
8.在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，分别为的内角，，的对边，下列条件中可以判定一定为等腰三角形的有( )
A. B. C. D.
10.已知三棱台，上下底面边长之比为：，棱、、的中点为点、、，则下列结论错误的有( )
A.
B. 与为异面直线
C. 面
D. 面面
11.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D. 的面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且四边形是边长为的正方形，则这个八面体的体积是______．
13.在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为______．
14.已知、为单位向量，且，若向量满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在平面直角坐标系中，点，，．
若，求的值；
记在方向上的投影向量为，求的坐标．
16.本小题分
如图，四边形中，，，，，，
求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积；
求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积．
17.本小题分
正六棱柱，两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，高为，记、、的中点分别为、、．
要经过点和对角线将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线，并求截面面积；
证明：平面；
直线上是否存在一个点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知，，分别是三个内角，，的对边，，
求角；
若点在边上，，，且，求．
19.本小题分
在中，、为边上两点，且满足，，，，
求证：；
求证：为定值；
求面积的最大值．
参考答案
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15.解：由题意可知，
又，
所以，
解得；
由投影向量的定义可知
．
16.解：作，，，为垂足，
因为，所以，
因为，所以，，
所以，
又，，所以，
，
由勾股定理得，
由四边形绕直线旋转一周形成圆台，
且，
由三角形绕直线旋转一周形成圆锥，
且，
所以将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积为；
四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，
以为半径的圆的面积为，
以为母线的圆台的侧面积，
以为母线的圆锥的侧面积，
所以该几何体的表面积为．
17.解：取的中点，连接，，，
由于，又平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，
所以，则四边形即为所求截面，
因为，所以，，
等腰梯形的高为，所以截面面积为；
证明：取、的中点、，连接，，，
因为，分别为，的中点，所以，，
同理，，
因为正六棱柱中，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
不存在这样的点，使得平面平面，
在正六棱柱中，，所以为梯形，
连接延长交的延长线于点，
由于，且为的中点，则≌，
所以，因为，
所以与共面且不平行，即与相交，
即与平面相交，故不存在这样的点，使得平面平面．

18.解：由，根据正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，可得，即；
由题意，所以设，
则，
设，，在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，代入数据得，
因为，，所以将以上两式相除得，即，
所以，可得，即，或
结合，且，可得，所以或．
19.证明：在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，
所以，即．
证明：因为，，，，
所以，
，
两式相乘得，，
所以，为定值．
解：由知，
设，则，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
所以，
由，得，
故当时，取得最大值，
所以面积的最大值为．
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