2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中高一（下）第一次质检数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中高一（下）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有下列命题：
若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，那么“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，那么( )
A. B. C. D. 或
5.如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知的边上有一点满足，则可表示为( )
A. B.
C. D.
7.已知复数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. B. 复数的虚部为
C. 若复数为纯虚数，则 D.
10.已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是( )
A. 若：：：：，则是钝角三角形
B. 若，则
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，，，则只有一解
11.已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的面积最大值为 B. 的取值范围为
C. D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______．
13.设，，向量，，且，，则 ______．
14.在中，，点在线段上，且，，则______；面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，．
若是实数，求；
若是纯虚数，求．
16.本小题分
已知向量，，
设，求．
若与垂直，求的值．
求向量在方向上的投影．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的值；
若，且的面积为，求的周长．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
Ⅰ求；
Ⅱ求函数的值域．
19.本小题分
在中，为的中点，在边上，交于，且，设，．
试用，表示；
若，求的余弦值；
若在上，且，设，若，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由，，得，而是实数，
于是，解得，
所以；
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
16.解：，，
．
，
．
，
由于与垂直，
，
．
设向量与的夹角为，
向量在方向上的投影为．
．
17.解：由正弦定理及已知，化边为角得．
，，代入得，
．
，，
又，．
，．
由余弦定理，得，
，，
的周长为．
18.解：Ⅰ，，，，，
由正弦定理可得：，
即，，
，；
，
，
，得，
，可得，
，
即三角函数式的取值范围是
19.解：由、、共线，则存在使，
，整理得：，
由、、共线，则存在使，
，整理得：，
根据平面向量基本定理：，解得，
；
，，
，，，
，，
故的余弦值是；
由知：，则，
由，共线，设，
而，有，
，
可得，
，，即，
解得，
的取值范围为．
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