2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中教育集团高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中教育集团高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. “，” B. “，”
C. “，” D. “，”
2.已知事件，，满足，是互斥事件，且，，( )
A. B. C. D.
3.函数在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.在学校组织的一次活动结束后，名男生和名女生站成一排照相留念，其中名女生不相邻，则不同的站法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知是锐角，，则( )
A. B. C. D.
6.函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知曲线关于直线对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数，则下列说法正确的有( )
A. B. 的共轭复数
C. 的虚部为 D. 在复平面内对应的点的坐标在第四象限
10.下列计算正确的有( )
A. B.
C. D.
11.的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共项 B. 所有项的二项式系数之和为
C. 项系数为 D. 所有项的系数之和为
12.抛物线：的焦点为，经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线，两切线相交于点，则( )
A. 当时， B. 面积的最大值为
C. 点在一条定直线上 D. 设直线倾斜角为，为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在一次数学测试中，名同学的成绩如下：、、、、、、、则这组数据的第百分位数为______．
14.已知向量，，且，则 ______．
15.“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第行中最大数为______．
16.甲、乙、丙三人做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人，则经过次传球后，球在甲手中的概率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为的中点，求．
18.本小题分
年月日是“五四运动”周年纪念日，为弘扬五四爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关历史的问题，每个人回答正确与否互不影响已知甲回答正确的概率为甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率；
若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，求这个问题回答正确的概率．
19.本小题分
已知等比数列的公比，满足，且．
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．
求证：平面平面；
若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离．
21.本小题分
已知函数有两个零点．
求的取值范围；
设，是的两个零点，证明：．
22.本小题分
已知双曲线中，焦距为，且双曲线过点斜率不为零的直线与双曲线交于，两点，且以为直径的圆过点．
Ⅰ求双曲线的方程；
Ⅱ是否存在直线，使得点到直线的距离最大？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：根据正弦定理得，
在中，，
则有，
，
，，
，；
根据余弦定理有，
则有，解之得，舍去，
为的中点，则，
，．
18.解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以若规定三名同学都需要回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率为；
记事件为“甲抢答到这道题”，事件为“乙抢答到这道题”，事件为“丙抢答到这道题”，
记事件为“这道题被答对”，
则，，，
且，，，
由全概率公式可得．
19.解：由
因为，解得或舍去，
所以，所以数列的通项公式为；
因为，，由题意得：，
即，所以．
20.解：证明：底面，又底面，
，又易知，且，
平面，
平面，又平面，
平面平面；
如图，以为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，根据题意可得：
，，，，，
设，，
则，
，
又易知平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，
，又，设平面的法向量为，
则，取，又，
点到平面的距离为
．
21.解：，，
当时，，在上递增，至多一个零点；
所以，且时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
须有，．
又时，；时，．
所以有两个零点，的取值范围为．
证明：不妨设，由，则．
设，
，
因为，，即，
所以在上单调递增，又，
所以，，
．
又，．
又，，在上递减，
所以，即，
所以．
22.解：依题意可得，，解得，，
故双曲线的方程为；
Ⅱ因直线的斜率不为零，故可设其方程为，
由，得，
设，，
则，，
依题意有，
，
化简得，
所以，
从而或，
当时，直线：，经过点，不合题意，舍去；
当时，线：，它点，
若使点到线的距离最大，则必有，此时直线的斜率为，
故直线的方程为，，即．
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