2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（下）质检数学试卷（含答案）

2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（下）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.在由数字，，，，，所组成的没有重复数字的四位数中，能被整除的个数有( )
A. B. C. D.
5.若的展开式中的系数为，则( )
A. B. C. D.
6.已知三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球
，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为．
则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的命题是( )
A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
B. 已知，，，则
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大
10.如图所示，在棱长为的正方体中，是线段的中点，点，满足，，其中，，则( )
A. 当时，过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形为正方形
B. 存在，使得平面平面
C. 存在，，使得平面平面
D. 当时，点到平面的距离为
11.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则( )
A. B. 的图像关于点成中心对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______， ______．
13.已知函数，，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．
14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束已知该粒子初始位置在号仓，则试验结束时该粒子是从号仓到达容器外的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中，第项的系数与倒数第项的系数之比为．
求展开式中所有项的系数和与最大的二项式系数的值；
将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年月日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间单位：分钟进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图，估计这年经人每天阅读时间的平均数单位：分钟；同一组数据用该组数据区间的中点值表示
若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取人，再从中任选人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则；；．
18.本小题分
已知函数．
若函数有个零点，，，，求的值；
是否存在非零实数，使得函数在区间上的取值范围为？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
讨论的极值点个数；
若有两个极值点，，直线过点，．
证明：；
证明：．
参考答案
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15.解：二项式的通项为，
第项的系数为，倒数第项的系数为，
，
，，
二项式为，
令，可得所有项的系数和为，
最大的二项式系数为．
二项式的通项为，
当，，，时，为有理项，即有理项为，，，，共项，
展开式中所有项共项，其中项为有理项，
设有理项不相邻的概率为，
则由插空法可知．
16.证明：连接，与交于，在中，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面．
解：连接，设是的中点，
是正方形，为正三角形，．
又面面，交线为，
平面．
过作，与交于以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
令则，得．
设直线与平面所成角为，
即直线与平面所成角的正弦值．
解：由可知，设平面的法向量为，
则，令则，，．
设面与面夹角为，
面与面夹角的余弦值为．
17.解：估计频率分布直方图可得，；
由题意可知，，
所以；
由于，和的频率之比为：：，
故抽取的人中，和的人数分别为，，人，
所以随机变量的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：


则．
18.解：因为函数有个零点，，，，
所以方程有个不同的解，，，，
于是方程都各有两个不同的解，
即方程，各有两个实数根，
设方程的两根为，，
则；
设的两根为，，
则，
所以；
存在，理由如下：
，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若函数在上不单调，则有，且，
由于，所以，与假设矛盾；
当时，有，即，
所以，
所以，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
记，
有，所以，
当时，
应有，即，
两式相减得到，
所以，
两式相加得：，
又，，
，与矛盾，
此时满足条件的实数不存在，
综合以上讨论，满足条件的实数的取值范围是．
19.解：，
当时，，
在上单调递增，极值点个数为；
当时，，
在上单调递增，极值点个数为；
当时，由得，或．
由得，或；由得，．
所以，减区间为，增区间为，．
所以，为极大值点，为极小值点，极值点个数为；
综上，当时，极值点个数为；当时，极值点个数为；
证明：由知，，不妨设，
则，
所以，
要证成立，
只需，
只需，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以成立．
所以；
由得，
要证成立，
只需，
因为，
所以只需，
只需，
只需，即，
因为成立，所以成立．
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