2023-2024学年广东省江门市新会一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省江门市新会一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知的分布列为
设，则( )
A. B. C. D.
2.已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列，等比数列，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.若曲线在点处的切线与直线：平行，则实数( )
A. B. C. D.
5.今天是星期天，则天后是( )
A. 星期五 B. 星期六 C. 星期天 D. 星期一
6.某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.袋中装有个球，其中个黑球、个白球，从中依次取两球不放回，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是( )
A. 函数在上是增函数
B. 函数的最小值为
C. 如果时，，则的最小值为
D. 函数有个零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的命题有( )
A. 两个变量的线性相关性越强，则相关系数越大
B. 在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等
C. 将名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派人，则共有种不同的分派方法
D. 公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种
10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，则( )
A. 若的两条渐近线相互垂直，则
B. 若的离心率为，则的实轴长为
C. 若，则
D. 当变化时，周长的最小值为
11.如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面平面
C. 当点与重合时，二面角的正切值为
D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为______．
13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为______．
14.已知，函数恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某班级有名同学参加了某次考试，从中随机抽选出名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：
数学成绩
物理成绩
数据表明与之间有较强的线性相关性．
利用表中数据，求关于的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为分时的物理成绩；
在本次考试中，规定数学成绩达到分为数学优秀，物理成绩达到分为物理优秀若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为和，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有人，请你完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
参考公式及数据：，，，，
，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
16.本小题分
已知数列的前项和为．
证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
设，求数列的前项和；
数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？直接写出结论，不要求证明．
17.本小题分
如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
证明：平面；
若，，在线段上不含端点，是否存在点，使得二面角
的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
18.本小题分
面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答个问题，第一题考查对公司的了解，答对得分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得分，答错不得分．
若一共有人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少结果四舍五入保留整数；
某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列和数学期望．
附：若，则，，．
19.本小题分
已知函数．
若是函数的一个极值点，求的值；
若在上恒成立，求的取值范围；
证明：为自然对数的底数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由表中数据可得，，，，
所以，，
故经验回归方程为，
当时，分，
该班某同学的数学成绩为分时的物理成绩分；
列联表如下：
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
零假设：数学成绩与物理成绩无关联，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即数学优秀与物理优秀有关，犯错的概率不超过．
16.证明：由，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
整理得，又，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，
所以；
解：由得，所以，
所以，
则，
得：
，
解得；
解：数列中不存在三项可以构成等差数列，理由如下：
假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，
设，，成等差数列，且，，，，
即有，又，
所以，
整理得，
上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，
故数列中不存在能构成等差数列的三项．
17.解：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面；
假设在线段上不含端点，存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设面的一个法向量为，
则，则可取，
因为在线段上不含端点，
所以可设，，
所以，
设面的一个法向量为，
则，则可取，
所以，，
解得或，
又，
所以，
所以存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
18.解：服从正态分布，
，
进入面试环节的人数，
，
即进入面试环节的人数大约为；
根据题意，的所有可能取值为，，，，，，
则，，
，，
，，
的分布列为：
则．
19.解：，
，
是函数的一个极值点，
即；
在上恒成立，，
当时，在上恒成立，
即在上为增函数，
成立，即，
当时，令，则，
令，则，
即在上为减函数，在上为增函数，
，又，则矛盾．
综上，的取值范围为．
两边取自然对数得，，
，
由知时，在单调递增，
又，，
，
故成立．
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