浙江省温州十校联合体2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题（含答案）

绝密★考试结束前
温州十校联合体2023-2024学年高二下学期6月期末联考
数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场号 座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分（共58分）
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，则（ ）
A. B. C. D.
2.的展开式中的常数项为（ ）
A.-60 B.60 C.-120 D.120
3.已知圆台的高为8，上 下底面圆的半径分别为2和8，则圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量在上的投影向量记为，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且满足，
则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C.是奇函数 D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数（为虚数单位），下列结论正确的是（ ）
A.
B.为纯虚数
C.对应的点位于第四象限
D.
10.已知函数，下列结论正确的是（ ）
A.当时，在处的切线方程为
B.当时，恒成立
C.若恰有一个零点，则
D.若恰有两个零点，则
11.如图，是棱长为1的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ）
A.平面
B.与平面所成角的余弦值为
C.若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个
D.若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为
非选择题部分（共92分）
三 填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12.连续抛掷一枚质地均匀的股子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为__________.
13.在中，为所在平面内的两点，，，则的值为__________.
14.椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）在中，角的对边分别是.
（1）求角的大小；
（2）若面积为，且周长为6，求.
16.（本小题满分15分）在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数.
参考数据：若，则
17.（本小题满分15分）已知四棱锥为的中点，平面，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，二面角的大小为，求.
18.（本小题满分17分）已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.
（1）求的方程；
（2）证明：直线恒过定点；
（3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.
19.（本小题满分17分）已知奇函数，其中.
（1）求值；
（2）若对任意上恒成立，求的取值范围；
（3）记，证明：当时，.
温州十校联合体2023-2024学年高二下学期6月期末联考
数学学科参考答案
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D C A C B B
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 BC ABD AC
三 填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12. 13.12 14.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
（1）因为，所以
所以
因为
所以
因为，所以，所以，故
（2）由题意得
因为，所以
由余弦定理得，所以
所以，解得
16.（本小题满分15分）
（1）由题意得，解得
因为上的频率分别为，
所以样本的平均值为，
估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分.
（2）取，则，可得标准差
估计得分在上的人数约为人.
17.（本小题满分15分）
（1）证明：且为的中点
平面平面
又且平面
平面
与共面又平面平面
平面
（2）法1：如图，作交于，连接.
由得
，且
二面角的平面角
又
在中，，由，解得
法2：如图，以为原点，所在直线分别为轴
建立空间直角坐标系.则，
设，则
设面的法向量为，
由，解得
设面的法向量为，由解得.
设二面角的大小为，则
18.（本小题满分17分）
（1）右顶点
，解得
.
（2）设，可设直线.
联立，得，即.
.
以为直径的圆经过点
即
，化简得
当时，直线经过点，不符条件，舍去..
直线必过定点.
（3）由（2）知.
为中点，，代入得.
由得.
19.（本小题满分17分）
（1）为奇函数，
即
化简得且
（2）由（1）知.
当时，，
又在上单调递增
对任意上恒成立
当时，令，则
此时，
与条件矛盾.
综上.
（3）由条件可知，待证不等式可作如下等价变形：
故即证：当时，.
构造函数，则.
在上单调递增，，即.
当时，.