6.2.2 向量的数量积 教学设计（表格式）

教学设计
课 题 向量的数量积
课时安排 一课时 课前准备 图片、PPT
教材内容 分 析 以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。 它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量数量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量数量积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到数量积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时数量积为这两个向量模的积；方向相反时数量积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a|＝显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础； （3）cos＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； “a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量数量积坐标表示的重要基础．
设计理念 1.利用图片、视频跨学科引入新知，教学过程中利用动画演示夹角，让学生直观感受数量积的不同情形。 2.运用类比的思想，将物理中矢量的乘积运算抽象成数学中的向量的乘法运算。
学情分析 本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
教学目标 知识目标： （1）了解平面向量数量积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量数量积的计算公式及其坐标表示 （3）了解平面向量垂直的充要条件及向量的模、夹角的计算公式。 能力目标： （1）正确进行平面向量的数量积运算，会计算向量的模及夹角的余弦值； （2）根据条件判断两个向量是否垂直； （3）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力 情感目标： （1）经历利用向量工具，建立代数（坐标）与几何（图形）间的关联过程，增强数学思维素养； （2）参与合作学习的过程，树立团队合作意识．
教学重难点 教学重点 平面向量数量积的概念及计算公式. 教学难点 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 教法学法分析： 问题引导、启发探究、互动讨论、合作交流、归纳总结
教学过程
教学环节（一） 师生活动 回顾旧知，情景引入 向量的加法、减法、数乘 2.问题1：水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？ （二）动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则 i + y j ， 即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即 W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500 （J） 问题2：从功的运算中，可以抽象出向量的那种运算？ 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积． 问题3：向量的夹角如何定义？ 如图7－23，设有两个非零向量a, b，作＝a, ＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作． 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的数量积，记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cos 　　　　　　　 (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s. 问题4：由数量积的定义可推出？ a·0＝0, 0·a＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果： 当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝时，a·b＝ |a||b|. cos＝. 当b＝a时，有＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝. 当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有 a·b＝0ab. 问题5：向量的数量积满足哪些运算律？ 可以验证，向量的内积满足下面的运算律： a·b＝b·a． ()·b＝(a·b)＝a·(b)． (a＋b)·c＝a·c＋b·c． 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即 a·(b·c)≠（a·b）·c. 请结合实例进行验证. （三）巩固知识 典型例题 例1 已知|a|＝3,|b|＝2, ＝,求a·b． 解 a·b＝|a||b| cos ＝3×2×cos＝3． 例2 已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求． 解 cos＝＝＝ . 由于 0≤≤， 所以 ＝． （四）运用知识 强化练习 1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为，求a·b． 2. 已知a·a＝9,求|a|． 3. 已知|a|＝2,|b|＝3, ＝，求(2a＋b)·b． （五）动脑思考 探索新知 设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以 a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i i＋ x1 y2 i j＋ x2 y1 i j ＋ y1 y2 j j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2． 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即 a·b＝ x1 x2＋ y1 y2　　 　 (7.11) 利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则 ，即 (7.12) 由平面向量数量积的定义可以得到，当a、b是非零向量时， cos＝＝. (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知 a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0． 因此 ab x1 x2＋ y1 y2＝0．　　　　 　(7.14) 利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． （六）巩固知识 典型例题 例3 求下列向量的内积： a＝ (2, 3), b＝(1,3)； a＝ (2, 1), b＝(1,2)； a＝ (4,2), b＝( 2, 3)． 解 (1) a·b＝2×1＋( 3)×3＝ 7； (2) a·b＝2×1＋( 1)×2＝0； (3) a·b＝2×( 2)＋2×( 3)＝ 14． 例4 已知a＝( 1,2),b＝( 3,1).求a·b, |a|,|b|, ． 解 a·b＝( 1)( 3)＋2×1＝5； |a|＝； |b|＝； cos＝＝， 所以 ＝． 例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝( 2, 3),　　b＝(6, 4)； (2) a＝(0, 1),　　b＝(1, 2)． 解 (1) 因为a·b＝( 2)×6＋3×4＝0，所以ab． 因为a·b＝0×1＋( 1)×（ 2)＝2，所以a与b不垂直． （七）运用知识 强化练习 已知a＝(5, 4)，b＝(2,3)，求a·b． 已知a＝(1,)，b＝(0, )，求． 已知a＝(2, 3)，b＝(3,－4)，c＝( 1,3),求a·(b＋c)． 4. 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝( 2, 3)，b＝(3, 2)； (2) a＝(2,0)，b＝(0, 3)； (3) a＝( 2,1)，b＝(3,4)． 5. 求下列向量的模： (1) a＝(2, 3)，　(2) b＝(8, 6 )． （八）理论升华 整体建构 1、思考并回答下面的问题： 平面向量内积的概念、几何意义 2、结论： 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的数量积，记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cos (7.10) 3、a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积． （九）归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ （十）自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 1.已知a＝(5, 4),b＝(2,3),求a·b． 2.已知a＝(2, 3),b＝(3, 4),c＝( 1,3),求a·(b＋c)．
教学反思 1、教师应注重和学生的交流对话 师生间充分的对话交流，无论对群体的发展还是对个体的成长都是十分有益的。我在教学这堂课时，设计了学生熟悉的一些生活情境。事实上，在生活中我们还有很多东西可以应用在教学设计里。这样开放性的讨论能够促进教师更有效地进行反思，促进教师把实践经验上升为理论。 2、教学中要尊重学生已有的知识与经验 在进行教学方案设计时，应该多想一想：“学生已有哪些生活经验和知识储备”，“怎样依据有关理论和学生实际设计易于为学生理解的教学方案”，“学生在接受新知识时会出现哪些情况”等。备课时，尽管授课教师会预备好各种不同的学习方案，但在实际教学中，还是会遇到一些意想不到的问题，如学生不能按计划时间回答问题，师生之间、同学之间出现争议等。这时，教师要根据学生的反馈信息，反思“为什么会出现这样的问题，我如何调整教学计划，采取怎样有效的策略与措施”，从而顺着学生的思路组织教学，确保教学过程沿着最佳的轨道运行。教学后，授课教师可以这样自我反思：“我的教学是有效的吗”，“教学中是否出现了令自己惊喜的亮点环节，这个亮点环节产生的原因是什么”，“哪些方面还可以进一步改进”，“我从中学会了什么”等，这样才符合新课改对教师的要求，更有助于教师教学计划的展开。