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11.1.1 三角形的边 学案
（一）学习目标：
1.知识与理解:使学生掌握三角形的基本性质，理解三角形三边关系的基本定理，并能应用其解决简单问题。
2.技能与操作:培养学生观察、分析、归纳的能力，通过实际操作加深对三角形边长关系的理解。
3.情感与态度:激发学生学习数学的兴趣，培养其严谨的逻辑思维和空间想象能力。
（二）学习重难点：
学习重点：三角形三边关系的定理及其应用；通过实例让学生深刻理解三角形边的性质
学习难点：理解并应用“任意两边之和大于第三边”的原理；培养学生的空间想象能力，能将抽象的边长关系与具体的图形结合起来。
阅读课本，识记知识：
1.三角形及其元素定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
在下图中，线段AB，BC，CA是三角形的边.点A，B，C是三角形的顶点.△A，△B，△C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2.三角形的表示：三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
3.三角形的分类
4.三边关系
文字语言 数学语言 理论依据 应用
三角形两边的和大于第三边 在△ABC中，a+b>c；b+c>a;a+c>b 两点之间，线段最短 (1)判断三条线段能否组成三角形(2)已知三角形的两边，求第三边的取值范围
三角形两边的差小于第三边 在△ABC中，a-b
【例1】以下列各组线段为边能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断，关键是掌握三角形的三边关系定理．
【详解】A、，长度是的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、，长度是的线段不能组成三角形，故B不符合题意．
C、，长度是的线段能组成三角形，故C符合题意；
D、，长度是的线段不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：C．
【例2】如图，图中各条线段的长度均为整数，且，，，，则线段的长度可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题考查两点间的距离及三角形三边关系，掌握构成三角形的条件是解题的关键．分别在和中根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式组并求解即可．
【详解】解：在和中，
和，
即，
解得，
∵为整数，
∴，
故选：B．
选择题
1．木工师傅要做一个三角形木架，现有两根长度分别为13和8的木条，则第三根木条的长度可以是（ ）
A．5 B．20 C．21 D．23
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
【详解】解：设第三根木条的长度为x，则，
即，
∴第三根木条的长度可以是20，
故选：B．
2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意；
B、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意；
C、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意；
D、，满足三角形的三边关系，能构成三角形，则此项符合题意；
故选：D．
3．以下列每组三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．5，6，11 C．4，4，9 D．1，2，3
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，能组成三角形，故本选项符合题意；
B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A
4．若线段分别是中线上的高和中线，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案．
【详解】解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短，
∴，
故选C．
5．已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可解答．
【详解】解：设此三角形第三边的长为x，
则，即，
四个选项中只有9符合条件．
故选：D．
6．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：
A、，故不能组成三角形，故此选项不合题意；
B、，故不能组成三角形，故此选项不合题意；
C、，故不能组成三角形，故此选项不合题意；
D、，故能组成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
7．如果三角形的三边长分别为5，8，，那么整数的值可以是( )
A．2 B．3 C．4 D．14
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得出的取值范围，从而得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：由三角形的三边关系可得：，则，
整数的值可以是，
故选：C．
8．如图，湖泊对岸的凉亭和到大门A的距离分别是和，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；因此此题可根据三角形的三边关系进行求解．
【详解】解：由题意得：，即；
∴的长不可能是；
故选D．
9．欢欢家、乐乐家和学校不在同一直线上，欢欢家和乐乐家到学校的直线距离分别是和，则欢欢家和乐乐家的直线距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键，注意此问题三点共线时可以取等于号．根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：依题意有，设欢欢家和乐乐家的直线距离为，
则，
即，
故选：C．
10．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选C．
填空题
11．已知的三边长均为整数，且，，则中的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出的取值范围，再由为整数，即可得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：由三角形三边关系可得：，即，
的三边长均为整数，
，
故答案为：．
12．写出假命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形”的反例： ．
【答案】中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形形状．
【详解】解：若中，，，则中有两个锐角，但是钝角三角形．
故答案为：中，，，则是钝角三角形．（答案不唯一）
13．如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形，根据及即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：，
,
,
，
故答案为：1．
14．若a，b，c为的三边，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，绝对值化简，合并同类项，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，以及合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减；根据三角形三边之间的关系得出，则，再化简绝对值，最后合并同类项即可．
【详解】解：∵a，b，c为的三边，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
15．在中，，，的长是偶数，则的周长为 ．
【答案】或9/或7
【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵的长是偶数，
∴或
当时，的周长为，
当时，的周长为，
故答案为：或．
三、解答题
16．若，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的值．
【答案】2，3，4．
【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解。
【详解】解：，
，，解得，，
，，
，且是整数，
的值为，，．
17．若a，b，c是的三边的长，化简式子
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边关系与绝对值的性质．解此题的关键是要注意符号．首先根据三角形的三边关系确定，，，然后去绝对值，化简即可求得．
【详解】解：∵a，b，c是的三边的长，
∴，，
∴，，，
∴
．
18．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边．
【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边．
【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解．
【详解】解：除外，还有、、、，
∴除外，图中还有4个三角形
其中，是和的边．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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11.1.1 三角形的边 学案
（一）学习目标：
1.知识与理解:使学生掌握三角形的基本性质，理解三角形三边关系的基本定理，并能应用其解决简单问题。
2.技能与操作:培养学生观察、分析、归纳的能力，通过实际操作加深对三角形边长关系的理解。
3.情感与态度:激发学生学习数学的兴趣，培养其严谨的逻辑思维和空间想象能力。
（二）学习重难点：
学习重点：三角形三边关系的定理及其应用；通过实例让学生深刻理解三角形边的性质
学习难点：理解并应用“任意两边之和大于第三边”的原理；培养学生的空间想象能力，能将抽象的边长关系与具体的图形结合起来。
阅读课本，识记知识：
1.三角形及其元素定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
在下图中，线段AB，BC，CA是三角形的边.点A，B，C是三角形的顶点.△A，△B，△C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2.三角形的表示：三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
3.三角形的分类
4.三边关系
文字语言 数学语言 理论依据 应用
三角形两边的和大于第三边 在△ABC中，a+b>c；b+c>a;a+c>b 两点之间，线段最短 (1)判断三条线段能否组成三角形(2)已知三角形的两边，求第三边的取值范围
三角形两边的差小于第三边 在△ABC中，a-b【例1】以下列各组线段为边能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断，关键是掌握三角形的三边关系定理．
【详解】A、，长度是的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、，长度是的线段不能组成三角形，故B不符合题意．
C、，长度是的线段能组成三角形，故C符合题意；
D、，长度是的线段不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：C．
【例2】如图，图中各条线段的长度均为整数，且，，，，则线段的长度可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题考查两点间的距离及三角形三边关系，掌握构成三角形的条件是解题的关键．分别在和中根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式组并求解即可．
【详解】解：在和中，
和，
即，
解得，
∵为整数，
∴，
故选：B．
选择题
1．木工师傅要做一个三角形木架，现有两根长度分别为13和8的木条，则第三根木条的长度可以是（ ）
A．5 B．20 C．21 D．23
2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．以下列每组三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．5，6，11 C．4，4，9 D．1，2，3
4．若线段分别是中线上的高和中线，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
5．已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
6．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如果三角形的三边长分别为5，8，，那么整数的值可以是( )
A．2 B．3 C．4 D．14
8．如图，湖泊对岸的凉亭和到大门A的距离分别是和，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．欢欢家、乐乐家和学校不在同一直线上，欢欢家和乐乐家到学校的直线距离分别是和，则欢欢家和乐乐家的直线距离可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
填空题
11．已知的三边长均为整数，且，，则中的长为 ．
12．写出假命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形”的反例： ．
13．如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ．
14．若a，b，c为的三边，化简： ．
15．在中，，，的长是偶数，则的周长为 ．
三、解答题
16．若，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的值．
17．若a，b，c是的三边的长，化简式子
18．如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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