姓名
准考证号
岳阳市2024年高二教学质量监测
数学
本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上斯答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求
作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x2-2x-3≤0}，则集合A∩B的子集个数为
A.2
B.4
C.8
D.16
2.设数列{an}为等比数列，若a,=1,a3=4,则a2024=
A.22024
B.±22024
C.22023
D.±22023
3.已知平面向量a=(5,0),b=(2,-1),则向量a-b在向量b上的投影向量为
A.(2,-1)
B.(5,0)
C.42
53
D.(4,-2)
4.已知a,B均为锐角，sin(a-
2
2
值为
2
A.
B.
V2
c.v2
D.-V②
2
2
10
10
3.已知椭圆E:
方=1（a>b>0)的左右焦点分别为R,5,P为椭圆E上一
点，PF·PF2=0且直线PE的一个方向向量为(3，-√3)，则椭圆E的离心率为
A.V3-1
B.
3
c.2
D.
6
6.将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不
能安排去同一个景点，不同的安排方法数有
A.84
B.90
C.72
D.78
高二数学第1页（共4页）
7设a=1+n1.03.b=09.c=103.则
A.a
B.bC.cD.c2x
x≥0
8.已知函数f(x)=
,g(x)=4f(x)-(2V2+2)f(x)+V2,
Sin(or+,-元≤x<0
若函数y=g(x)有8个零点，则正数 的取值范围是
B.
D.
9,25
12'12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.根据国家统计局统计，我国2018一2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，
1465,1202,1062,956,902.将年份减去2017记为x,出生人口数记为y,得到以下数
据：
1
2
3
4
5
6
N
1523
1465
(单位：万人)
1202
1062
956
902
已知7-之，=185，由最小二柔法求得y关于的经验如归方程为=-156x+后，则
6i1
A.a=1661
B.这6年出生人口数的下四分位数为1465
C.样本相关系数r<0
D.样本点(4,1062)的残差为55
10.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=T,E、F、G分别为AD、AB、BC的
3
中点，将△DAC沿着对角线AC折起至△D'AC,连结BD',得到三棱锥D'-ABC.设
二面角D'-AC-B的大小为0，则下列说法正确的是
A.AC⊥BD
B.当平面EFG截三棱锥D'-ABC的截面为正方形时，B=T
C.三棱锥D'-ABC的体积最大值为1
D.当0=2时，三棱锥D-ABC的外接球的半径为2可
3
3
高二数学第2页（共4页）岳阳市 2024 年高二教学质量监测
数学参考答案及评分标准
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A B A C B D AC ACD BCD
三、填空题
12． 2 i 13．1 2 14．9
四、解答题
15．(13分)
如图，在圆锥 SO中，AD为圆O的直径，B、C为圆弧 A⌒D 的两个三等分点，M为
SD的中点， SO OA 3；
（1）求证：平面 SBD 平面 SOC；
（2）求直线 SD与平面 ABM 所成角的正弦值．
（1）证明：因为B，C为圆弧 A⌒D的两个三等分点
所以 AOB BOC COD ， ABO
3 3
所以 AB∥OC，又 AD为底面的直径
所以 AB BD，所以OC BD………………3分
又因为在圆锥 SO中， SO 底面 ABCD，
BD 底面 ABCD所以 SO BD，………………4分
因为 SO OC O，
所以BD 平面 SOC………………5分
因为 BD 平面 SBD
所以平面 SBD 平面 SOC；………………6分
(2)解：以O为原点，OA，OS所在直线分别为 x轴， z轴建立如图所示的空间直角
3 3 3
坐标系，则由题意 A(3,0,0)，B( , ,0)，S(0,0,3)，
2 2
D( 3,0,0) 3 3，M ( ,0, )………………8分
2 2
9 3
所以 AB ( 3 , 3 3 ,0)， AM ( ,0, )，
2 2 2 2
SD ( 3,0, 3)………………9分
设n (x, y, z)为平面 ABM 的一个法向量，则
{#{QQABCYCEggggAoAAAAhCAQ3YCEIQkAAAAagGABAAMAIAQRFABAA=}#}
n AB 3 x 3 3 y 0
2 2 ，………………10分
n AM 9 3 x z 0 2 2
令 x 3，则 y 1， z 3 3
所以n ( 3,1,3 3)………………11分
设直线 SD与平面 ABM 所成角为
sin | cos n,SD | | n SD | 12 3 2 186则
| n || SD | 3 2 31 31
所以直线 SD 2 186与平面 ABM 所成角的正弦值为 ………………13分
31
16．(15分)
某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序．生
1
产工序的次品率为 ．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检
20
测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测．
（1）从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取 10件进行检测，求这 10
件产品中的次品数 X 的分布列和数学期望；
（2）若智能自动检测的准确率为 98%，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率．
1
解：（1）由题意可知， X ~ B(10, )，……………2分
20
则 X 的所有可能取值为0,1,2, ,10……………3分
且 P(X k) C k ( 1 )k (19 10 k10 ) ，(k 0,1,2,3, ,10)……………5分20 20
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 10
p C 0 (
1 )0 (19 )10 C1 ( 1 )1 (19 )9 C 2 ( 1 )2 (19 )8 C10 ( 1 )10 (19 )010 20 20 10 20 20 10 20 20 10 20 20
……………6分
1 1
期望值为 E(X ) 10 ……………7分
20 2
注：考生将分布列写成 P(X k) 1 19 C k k 10 k10 ( ) ( ) (k 0,1,2,3, ,10)也给满分.20 20
（2）记 A=“智能自动检测为合格品”，B=“产品为合格品”，
98 98 2
则由题意知 P(A | B) ， P(A | B) 1 ， P(B)
19
……………10分
100 100 100 20
所以由全概率公式知 P(A) P(AB) P(AB) P(A | B)P(B) P(A | B)P(B)
{#{QQABCYCEggggAoAAAAhCAQ3YCEIQkAAAAagGABAAMAIAQRFABAA=}#}
98 19 2 1 233
= ……………14分
100 20 100 20 250
233
所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为 .………15分
250
17．（15分）
已知函数 f (x) e x (a ln x)，其中 a R．
（1）若 a 1，求 y f (x)在 x 1处的切线方程；
（2）当 a (0, ln 2)时，设 g(x) f (x)．求证： y g(x)存在极小值点．
（1）解： f (x)的定义域为 (0, )且 f (x) e x (a ln x
1
)………………2分
x
当 a 1时， f (1) 2e且 f (1) e；………………4分
所以 f (x)在点 x 1处的切线方程为 y e 2e(x 1)即 2ex y e 0；……………6分
2 g(x) e x（ ）证明：因为 (a ln x 1 2 1 )， 则 g (x) e x (a ln x 2 )………7分x x x
令 h(x) a ln x 2 1 ，
x x 2
h (x) 1 2 2 x
2 2x 2 (x 1)2 1
则 ……………9分
x x 2 x3 x3
x3
所以 h(x)在 (0, ) 1上单调递增；因为 h( ) a ln
1
0， h(1) a 1 0………11分
2 2
所以 h(x)在 (0, )上有唯一的零点 x0 ，且 x
1
0 ( ,1)……………12分2
所以当 x (0, x0 )时h(x) 0， x (x0 , )时 h(x) 0，因为 e x 0
所以 g(x)在 (0, x0 )上单调递减， g(x)在 (x0 , )上单调递增……………14分
故 x0 为 g(x)的极小值点；……………15分
18．(17分)
定义：对于一个无穷数列{an}，如果存在常数 a，对于任意给定的正数 ，总存在正整数
N ，使得对于任意大于 N 的正整数 n，都有 | an a | ．则称常数 a为数列{an}的极限，
记作 lim a an n ．
根据上述定义，完成以下问题：
（1）若 a 1n 3 ( )
n
，bn log 2 (2n 1)，判断数列{an}和{bn}是否存在极限，如果存在，2
{#{QQABCYCEggggAoAAAAhCAQ3YCEIQkAAAAagGABAAMAIAQRFABAA=}#}
请写出它的极限（不需要证明）；
S
（2）已知数列{an}的前 n项和为 Sn ， a1 2
n 1
，数列{ }是公差为 的等差数列；
an 3
①求数列{an}的通项公式；
T 1 1 1 1②若 n ，证明： limT 1a a a a n n ．1 2 3 n
解：（1）数列{an}存在极限，且 lim an n 3；………………2分
数列{bn}不存在极限；………………4分
S1 S S 1 n 2(2)①∵ 1 { n } 1 n且 是公差为 的等差数列，∴ 1 (n 1) …….5分
a1 an 3 an 3 3
n 2 n 3
∴ Sn an，∴ Sn 1 an 1，………7 分3 3
an 1 n 2
两式相减得 ………….8分
an n
∴当 n 2 a an a n 1 3时 n 2 a1 2 n(n 1)………………………10分an 1 a1 n 1 1
又 a1 1 2，所以数列{an}的通项公式为 an n(n 1)………………………11分
1 1 1 1
② 由①可知 a n(n 1) n n 1，…………………12分n
T (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 ) 1 1∴ n …………….14分2 2 3 3 4 n n 1 n 1
1
对于任意给定的正数 ，由于n N * ，所以 |Tn 1 | 等价于n 1……….16分
1
取不大于 1的最大整数为m 1 [ 1]，令 N max{m,1}，
则当 n N 时， n 1 1恒成立，所以 |Tn 1 | 恒成立，所以 limT 1n n ………17分
19． (17分)
已知平面内两个定点 A( 2,0)， B(2,0) 1，满足直线 PA 与 PB的斜率之积为 的动点 P的轨
4
迹为曲线C，直线 l与曲线C交于不同两点M ，N ；
（1）求曲线C的轨迹方程；
{#{QQABCYCEggggAoAAAAhCAQ3YCEIQkAAAAagGABAAMAIAQRFABAA=}#}
（2）若直线 AM 和 AN
1
的斜率之积为 ，求证：直线 l过定点；
12
（3）若直线 l与直线 l1 : x 2y 0， l2 : x 2y 0分别交于 R， S，求证： |MR | | NS |．
解：（1）设点 P(x, y)为曲线C上一点，则由题意有
k k y y 1 x
2
PA PB ，整理得 y 2 1，又 x 2x 2 x 2 4 4
x 2
所以曲线C的轨迹方程为 y 2 1（ x 2）………………4分
4
证明：（2）设M (x1 , y1)，N (x2 , y2 )，当直线 l的斜率为 0时， x1 x2， y1 y2
y y y 2
k 1 2 1AM k AN 2 0，不合题意………………5分x1 2 x2 2 4 x1
所以可设直线 l的方程为 x my t， ………………6分
x2
y 2 1
由 4 得 (m 2 4)y 2 2mty t 2 4 0（*）
x my t
由题意可知m2 4 0
2mt t 2 4
则由韦达定理有 y1 y2 2 ， y1y2 ，………………8分m 4 m2 4
所以
k y y y k 1 2 1y2 y1y2AM AN x1 2 x2 2 (my1 t 2)(my2 t 2) m
2 y1y2 m(t 2)(y1 y2 ) (t 2)
2
t 2 4 4 t 2 1
2 2 2 2 2 ……………10分m (t 4) m(t 2)( 2mt) (t 2) (m 4) 4t 16t 16 12
解得 t 1，……………11分
所以直线 l的方程为 x my 1，过定点（1,0）……………12分
y y mt
（3）设MN的中点为Q，则 yQ 1 2 ……………13分2 m2 4
x 2y 0
由 得 y
t
x my t
R m 2
{#{QQABCYCEggggAoAAAAhCAQ3YCEIQkAAAAagGABAAMAIAQRFABAA=}#}
x 2y 0
y t由 得 S ……………15分
x my t m 2
y y
设 RS的中点为Q ，则 y R S mtQ 2 yQ，……………16分2 m 4
因为点Q与Q 都在直线 l上，所以MN的中点与 RS的中点重合
所以 |MR | | NS |……………17分
{#{QQABCYCEggggAoAAAAhCAQ3YCEIQkAAAAagGABAAMAIAQRFABAA=}#}