成都外国语学校 2023—2024 学年度下期零诊模拟
高二数学参考答案
1-5 BDBAC 6-8 CBC 9 ABD 10 AB 11ABC
2
,
10
2 4 12. y 3x 1 13. 8 14.
15.【详解】（1）由频率分布直方图知 0.0015 2 a 0.0025 0.0010 100 1 a 0.0035 ，
设第 70百分位数为 x，前两组所占频率为 0.0015 0.0035 100 0.5，
前三组所占频率为 0.0015 0.0035 0.0025 100 0.75 ，则 x位于第三组数据中，
x 650 750 x
所以 x 730，平均数
70% 50% 75% 70%
x 500 0.0015 600 0.0035 700 0.0025 800 0.0015 900 0.0010
100 670；
（2）由（1）知分数在[750，850)，[850，950)内的两组学生分别有
100 0.0015 100 15,100 0.0010 100 10 人，所以各自抽取的人数分别为
10 15 6,10 10 4 人，显然“特优选手”有 4人，
15 10 15 10
4 3 1 2 2
故 X可取0,1, 2,3, 4， P X 0 C 6 1 ,P X 1 C6C4 8 C ,P X 2 6C4 3
C4
，
10 14 C
4
10 21 C
4
10 7
1 3 4
P X 3 C 6C4 44 , P X 4
C 1
44 ，所以其分布列为：C10 35 C10 210
X 0 1 2 3 4
1 8 3 4 1
P
14 21 7 35 210
E X 0 1 1 8 2 3 4 3 4 1 8 .
14 21 7 35 210 5
16.【解答】解：（1）当CQ 1时，PQ / / 平面 ABB1A1取 AA1中点M ，连接 BM ，
MP，因为M ，P分别为 AA1和DD1中点，由梯形的中位线定理得MP / /AD / /A1D1
AD AD
且MP 1 1 3，当CQ 1时，即 BQ 3时，因为正方形 ABCD，所以
2
BQ / /AD / /MP ，且MP BQ 3，所以四边形 BQPM 为平行四边形，所以
BM / /PQ，因为 BM 平面 ABB1A1，PQ 面 ABB1A1，所以 PQ / / 平面 ABB1A1
（2）在平面 AA1D1D中，作 A1O AD于O，因为平面 AA1D1D 平面 ABCD，
平面 AA1D1D 平面 ABCD AD，又 A1O AD， A1O 平面 AA1D1D，所以
答案第 1 页 共 4 页
{#{QQABAYKEggggAJIAAAhCEQHoCEAQkACACSgGhAAAMAIAQRFABAA=}#}
A1O 平面 ABCD，在正方形 ABCD中，过O作 AB的平行线交 BC于点 N，则ON OD，
分别以ON，OD，OA1为所在的直线分别为 x， y， z轴，建立空间直角坐标系O xyz因
为四边形 AA1D1D是等腰梯形， A1D1 2， AD 4，所以 AO 1，又 A1A D1D 17 ，所
以 A1O 4，可得 A(0， 1， 0)， A1(0，0， 4)， B(4， 1， 0)，
B(4, 1,0),D(0,3,0),C(4,3,0),D1(0,2,4),P(0,
5 ,2)，所以 AB (4,0,0),AA1 (0,0,4) ，2
1 DC (4,0,0),DP (0, , 2),CB (0, 4,0)，设平面 ABB1A1的法向量为m (x, y, z)，2
m
AB 0 y 4z 0
由 ，则有 ，取 z 1，则m (0,4, 1)，
m AA1 0 4x 0
设Q(4， t， 0)， ( 1 t 3)，则 DP 1 DD1 (0,
1
, 2),DQ (4, t 3,0)，
2 2
1
n DP 0 y 2z 0
设平面 PQD的法向量为 n (x , y , z )
，由 ，则有 2 ，取 z 1，则
n DQ 0 4x (t 3)y 0
n (3 t, 4,1) m n ，因为 0 4 4 1 17，|m | 0 16 1 17 ，| n | (3 t)2 16 1，
m n 17
所以 cos m，n |m | | n | 2 ，因为面 AA1B1B与面 PQD所成角的正弦值17 (3 t) 17
3 3 17
为 34 2，所以 1 ( 34) | |34 2 ，解得 t 2或 t 4（舍去），所以
BQ 3．
34 17 (3 t) 17
17.【详解】（1）由题知双曲线C的渐近线方程为bx ay 0，不妨设 F c,0 ，则焦点 F 到
bc bc
渐近线的距离 d b 3，∵C的离心率为
a2 b2 c
c 22, 2, c2 4a2 , b2 c2 a2 3a2 3, a2 1，故双曲线C的标准方程为 x2 y 1．
a 3
（2）由（1）可得 A 1,0 ，当直线MN的倾斜角为零时，由 MN 9 2，得直线MN的方
程为 y 9 2 ，代入双曲线方程可得 x 29
29 M , 9 2 N 29 9 2
，不妨令 ， , ，
2 2 2 2 2 2
9 2 9 2
则 k1 k 2 22 3，不符合题意，则直线MN的倾斜角不为零，29 29
1 1
2 2
设直线MN的方程为 x my n，M x1, y1 ，N x2 , y2 ，
y2
x2 1
联立 3 ，消去 x整理得 3m2 1 y2 6mny 3 n2 1 0，
x my n
答案第 2 页 共 4 页
{#{QQABAYKEggggAJIAAAhCEQHoCEAQkACACSgGhAAAMAIAQRFABAA=}#}
3m2 1 0，Δ 36m2n2 12 3m2 1 n2 1 0， 3m2 n2 1 0，
6mn 3 n2 1 y1 y2
y1 y2 , y y ． k1 k 3m2 1 1 2 3m2 1 x1 1
， 2 x2 1
，
y y
∵k1 k2 2，
1 2 2， y1y2 2 x1 1 x2 1 0x 1 x 1 ，1 2
y1y2 2 my1 n 1 my2 n 1 0， 2m2 1 y1y2 2m n 1 y1 y2 2 n 1 2 0，
3 n2 1
即 2m2 1 2m n 1 6mn 2 n 1 2 0，3m2 1 3m2 1
3 n2 1 2m2 1 12m2n n 1 2(n 1)2 3m2 1 0， n2 4n 5 0，
n 5或 n 1．当 n 1时， y1y2 0，不符合题意， n 5．
30m 72
y1 y2 ， y y 3m2 1 1 2 3m2
，
1
2
MN 1 m2 y y 6 m 8 1 2 1 m
2 y1 y2
2 4 y y 1 m21 2 9 22 ，解得m 1，3m 1
故直线MN的方程为 x y 5．综上，直线MN的方程为 x y 5 0或 x y 5 0．
18【. 解析】（1）f x g x ex xex 1 ex e 1 ex e x 1 当 x 1时，ex e 0，
所以 f x g x 0；当 x 1时， ex e 0，所以 f x g x 0综上， f x g x ．
（2）因为h x lnx x 1 ex f x lnx x x 2 ex 2所以
x
h x 1
x 1 xe 1
1 x 1 ex (x 0)令 h x 0，得 x 1或 xex 1 0
x x
2
因为 t x 1 2 xe x 1在 0, 1 1 2 2 上单增，t e 1 0,t e 3 1 0 故 t x 在 , 有
2 2 3 3 2 3
根 t0 ，可知 h x 在 0,t0 上增， t0 ,1 上减，在 1, 上增所以，h x 的极大值点为 x0 t0且
x 1 20
, 且 x e
x0
0 1 lnx 2 3 0
x0 0．故
x h x0 lnx0 x0 x0 2 e 0 2 3 2
1
x0 , x
1 , 2
x 0 0 2 3
所以 h x0
4
2,
，故 h x0 2． 3
19.【解析】（1）设等差数列 an 的公差为d ，由 S3 9,S5 25，得
3a1 3d 9,5a1 10d 25，解得 a1 1,d 2，则
a 1 (n 1)( 2) 2n 1, S ( 1 2n 1)nn n n
2，于是
2
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{#{QQABAYKEggggAJIAAAhCEQHoCEAQkACACSgGhAAAMAIAQRFABAA=}#}
3an Sn 1 3( 2n 1) (n 1)
2 (n 2)2 0，即3an Sn 1，所以数列 an 具有性质 P(3)．
（2）①由数列 an 具有性质 P(4)，得 4an Sn q 1，又等比数列 an 的公比为 ，
若 q 1，则 4a1 (n 1)a1，解得 n 3，与 n为任意正整数相矛盾；
n 1 n 1
当 q 1时，4a1q
n 1 a 1 q a 1 q 1 ，而 n 0，整理得 4qn 1 ，1 q 1 q
1
若0 q 1，则 qn 1
1
2 ，解得 n 1 logq n(q 2) (q 2)2 ，与 为任意正整数相矛盾；
若 q 1，则 qn 1(q 2)2 1，当 q = 2时， qn 1(q 2)2 1恒成立，满足题意；
1 1
当 q 1且 q 2时， qn 1 2 ，解得 n 1 logq 2 ，与 n为任意正整数相矛盾；(q 2) (q 2)
所以 q = 2 .②由 an Sn 1，得 an 1 Sn 2，即 S n 1 S n S n 2 ，
S S S S S S
因此 Sn 1 Sn Sn 2 2 SnS ，即
n 2 n 1 ，则 n 1 n ( )2 n 1 ( )n 1 2n 2 S 4 S S 4 S 4 S 4 S ，n 1 n n n 1 n 2 1
a n 1 S n 1 S由数列 n 各项均为正数，得 Sn Sn 1，从而1 ( ) 2 ，即 ( ) 14 S 4 S ，1 2
若0 4，则 n 1 log
s1 n 1
，与 n为任意正整数相矛盾，因此当 4时，( ) 1
n 1 s 1
4 s2 4 s2
恒成立，符合题意，所以 的最小值为 4．
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{#{QQABAYKEggggAJIAAAhCEQHoCEAQkACACSgGhAAAMAIAQRFABAA=}#}成都外国语学校 2023—2024 学年度下期零诊模拟
高二数学试卷
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分；
2.本堂考试 120 分钟，满分 150 分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用 2B铅笔填涂；
4.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项符
合题目要求。
1.等差数列 an 中，设前 n项和为 Sn， a9 5，则 S17等于（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
2.函数 y
1
x2 ln x的单调递减区间为（ ）
2
A. （-1，1] B. [-1，1] C. [1，+∞） D. （0,1]
3.已知事件 A,B，且 P(A)
5
， P(B)
2 1
， P(A | B) ，则 P(B | A) （ ）
6 3 2
4 2 1 1A． B． C． D．
5 5 3 5
4. 2 x 4 3 x 5的展开式中 x8的系数为（ ）
A．7 B．23 C．－7 D．－23
5.已知服从正态分布 N , 2 的随机变量在区间 , ， 2 , 2 和
3 , 3 内取值的概率约为 68.3%，95.4%和99.7% .若某校高一年级800名学生的某
次考试成绩 X 服从正态分布 N (80,152 )，则此次考试成绩在区间 (65,110)内的学生大约有
（ ）
A．780人 B．763人 C．655人 D．546人
6.小张同学将一块棱长为 2的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无
损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A． 6π B． 2 6π C．3 6π D．9 6π
7.中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二
十大会议精神，市宣传部决定组织 A,B,C,D,E去甲、乙、丙、丁 4个村开展二十大宣讲工
作，每村至少 1人，其中 A 不去甲村，且 A,B不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
试卷第 1 页 共 4 页
{#{QQABAYKEggggAJIAAAhCEQHoCEAQkACACSgGhAAAMAIAQRFABAA=}#}
A．158 B．162 C．180 D．198
8.已知函数 f x 的定义域为 R，其导函数为 f x ，且满足 f x f x e x， f 0 0，
则不等式 e2x 1 f x e 1 的解集为（ ）．e
A ． 1,
1 B
1
． , e
C． 1,1 D． 1,e
e e
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.已知抛物线C ： y2 2px（ p 0）的焦点为 F ，直线 l 的斜率为 3且经过点 F ，与抛物
线C 交于A ，B两点（点A 在第一象限），与抛物线C 的准线交于点D，若 AF 4，则下
列说法正确的是（ ）
A. p 2 B. BD 2 BF C. BF 2 D. F 为 AD 的中点
10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于 1261年所著
的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列
规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．C3 C3 34 5 C9 210
B．第 2023行中从左往右第 1011个数与第 1012个数相等
n 1
C．记第n行的第 i个数为 a ，则 3i 1a 4ni i
i 1
D．第 20行中第 12个数与第 13个数之比为 4 :3
11.经研究发现：任意一个三次多项式函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 的图象都只有一个
对称中心点 x0 , f x0 ，其中 x0是 f x 0的根， f x 是 f x 的导数， f x 是 f x 的
导数．若函数 f x x3 ax2 x b图象的对称点为(-1,2)，且不等式
ex mxe (ln x 1) 3 f x x 3x
2 e xe 对任意 x 1, 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
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A． a 3 B．b 1 C．m 1的值可能是 e D．m的值可能是 e
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.曲线 f (x) ln x 2x2在点 (1,f (1))处的切线方程为________________.
a
13.等比数列 an 的前n项和为 Sn，且数列 S5n 5 S5n 的公比为 32，则 2025 a ．2022
2 2
14. x y已知椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的左 右焦点分别为 F ,Fa b 1 2
，以线段 F1F2为直径的圆交C
于 A,B两点，其中点A在第一象限，点 B在第三象限，若 AF1 3 BF1 ，则C的离心率的取
值范围是__________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.第 19届亚运会于 2023年 9月 23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜
迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了 100人，统计
发现他们的竞赛成绩分数均分布在[450，950]内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布
直方图，如图所示．高于 850分的学生被称为“特优选手”．
(1)求 a的值，并估计该校学生分数的第 70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表）；
(2)现采用分层抽样的方式从分数在[750，850)，[850，950)内的两组学生中共抽取 10人，再从
这 10人中随机抽取 4人，记被抽取的 4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量 X，求 X
的分布列及数学期望．
16.如图，已知四棱台 ABCD A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的
正方形，平面 AA1D1D 平面 ABCD， A1A D1D 17 ，点 P是棱 DD1的中
点，点Q在棱 BC上．
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{#{QQABAYKEggggAJIAAAhCEQHoCEAQkACACSgGhAAAMAIAQRFABAA=}#}
（1）当Q点在什么位置时，使得 PQ / / 平面 ABB1A1；
（2）若面 AA 31B1B与面 PQD所成角的正弦值为 34 ，求 BQ的长．34
2 2
17.已知双曲线C : x y 1 a 0,b 0 一个焦点 F 到渐近线的距离为2 2 3，且离心率为 2．a b
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设M ,N分别是双曲线C左、右两支上的动点，A为双曲线C的左顶点，若直线 AM , AN 的
斜率分别为 k1,k2，且 k1 k2 2,MN 9 2 ，求直线MN的方程．
18.已知函数 f x ex xex 1．
（1）已知g(x) ex e 1，试比较g(x)与f (x)的大小；
(2)记函数h x lnx x 1 ex f x 的极大值点为 x0，已知 t 表示不超过 t的最大整数，求
h x0 ．
19.已知数列 an 的前n项和为 Sn，若存在常数 ( 0)，使得 an Sn 1对任意 n N*都成
立，则称数列 an 具有性质 P( )．
(1)若数列 an 为等差数列，且 S3 9,S5 25，求证：数列 an 具有性质 P(3)；
(2)设数列 an 的各项均为正数，且 an 具有性质 P( )．
①若数列 an 是公比为q的等比数列，且 4，求q的值；②求 的最小值．
试卷第 4 页 共 4 页
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