崇阳县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足,则( )
A. B. C. D.
2. 树人中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分150分)分别为85,90,93,99,101,103,116,130,则这8名学生数学成绩的第75百分位数为( )
A. 102 B. 103 C. 109.5 D. 116
3. 设,为两个不同的平面,则∥的一个充分条件是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. ,垂直于同一个平面
C. ,平行于同一条直线 D. ,垂直于同一条直线
4. 数学家纳皮尔发明了对数, 对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算.已知, 设, 则所在的区间为( )
A. B. C. D.
5. 定义在上的函数满足,且,则( )
A. B. 0 C. 1 D. 3
6. 在中,角,,所对应的边分别是,,,若,,则的面积为( )
A. B. 1 C. D. 2
7. 已知A,B,C,P为球O的球面上的四个点,△为边长为的等边三角形,以A,B,C,P为顶点的三棱锥的体积的最大值为,则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 若存在实数,使得,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.
9. 已知数据的平均数为,方差为.由这组数据得到新数据,其中,则( )
A. 新数据的平均数是 B. 新数据的方差是
C. 新数据的平均数是 D. 新数据的标准差是
10.(22-23高一下·湖北武汉·期末)已知为虚数单位,以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C.若复数满足,则或
D.已知复数满足,则在复平面内对应的点的轨迹为直线
11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则( )
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 函数的图像一定过定点,则点的坐标是__________.
13.如图,△A'O'B'为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图,且O'A'=2,O'B'=3,则△AOB的周长为 .
14.设不等式对于任意的恒成立,则实数的取值范围是 .
四、解答题:本大題共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知向量,且.
(1)求的值;
(2)求在方向上的投影向量的坐标.
16.(15分)已知函数.
(1)求在区间的最小值;
(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象,求的单调递减区间.
17.(15分)如图,平面,,,,,为中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求点到平面的距离.
18.(17分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数和,样本方差分别为和.已知.
(1)求;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为有显著提高,否则不认为有显著提高).
19.(17分) 如图所示,某镇有一块空地,其中,,.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的周围安装防护网.
(1)当时,求防护网的总长度;
(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;
(3)为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使的面积最小?最小面积是多少?崇阳县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
答案
一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.
【详解】因为,
所以.
故选:A
2. 树人中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分150分)分别为85,90,93,99,101,103,116,130,则这8名学生数学成绩的第75百分位数为( )
A. 102 B. 103 C. 109.5 D. 116
【答案】C
【分析】利用第75百分位数的知识即可求解.
【详解】,这8名学生数学成绩的第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数.
故选:C.
3. 设,为两个不同的平面,则∥的一个充分条件是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. ,垂直于同一个平面
C. ,平行于同一条直线 D. ,垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】根据面面平行的判定一一判定即可.
【详解】对于A:内有无数条直线与平行推不出∥,只有内所有直线与平行才能推出,故A错误;
对于B:,垂直于同一平面,得到∥或与相交,故B错误;
对于C:,平行于同一条直线,得到∥或与相交,故C错误;
对于D:因为垂直与同一条直线的两平面平行,故,垂直于同一条直线可得∥,故:D正确.
故选:D
4. 数学家纳皮尔发明了对数, 对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算.已知, 设, 则所在的区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】利用指数和对数互化,结合对数运算法则可求得,由此可得.
【详解】,
,
.
故选:C.
5. 定义在上的函数满足,且,则( )
A. B. 0 C. 1 D. 3
【答案】D
【分析】判断出函数是以4为周期的周期函数,结合函数的周期可求解.
【详解】,则,从而,
即以4为周期,故.
故选:D.
6. 在中,角,,所对应的边分别是,,,若,,则的面积为( )
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【分析】利用正弦定理可出角,进而可得角,再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】在中,由正弦定理,得,即,所以,
又,所以,所以,
所以的面积.
故选: A
7. 已知A,B,C,P为球O的球面上的四个点,△为边长为的等边三角形,以A,B,C,P为顶点的三棱锥的体积的最大值为,则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先由三棱锥的体积的最大值为求得球半径,再去求球O的表面积即可解决.
【详解】设为△外接圆的圆心,球的半径为R,
当点P,O,三点共线时,点P到平面ABC的距离h最大,
也就是三棱锥体积最大,此时,
因为,所以,
圆的半径,
所以,即,解得,
所以球O的表面积为.
故选:A
8. 若存在实数,使得,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】由题意存在实数,使得,则满足,然后对参数进行分类讨论即可解决.
【详解】依题意可知,;
当时,,显然成立;
当时,由,
令,
由在为递增函数,
所以在为递增函数,且,
因此,即,
综上可知.
故选:B.
9. 已知数据的平均数为,方差为.由这组数据得到新数据,其中,则( )
A. 新数据的平均数是 B. 新数据的方差是
C. 新数据的平均数是 D. 新数据的标准差是
【答案】AD
【解析】
【分析】由平均数与方差的计算公式判断
【详解】由题意得,
由平均数与方差公式得的平均数是,
方差是,标准差是,故AD正确,BC错误
故选:AD
10.(22-23高一下·湖北武汉·期末)已知为虚数单位,以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C.若复数满足,则或
D.已知复数满足,则在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】BD
【分析】由复数的相关知识逐项判断即可.
【详解】对于A,由于复数不能比较大小,故A错误;
对于B,设,则,
所以,故B正确;
对于C,设,若复数满足,则,
所以复数不只是或,故C错误;
对于D,设,由于,所以,
所以,,所以在复平面内对应的点所构成的轨迹为轴,
是直线,故D正确;
故选:BD.
11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则( )
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
【答案】BC
【解答】解:取DD1 中点M,则AM为AF在平面AA1D1D上的射影,
∵AM与DD1 不垂直,∴AF与DD1不垂直,故A错;
取B1C1中点N,连接A1N,GN,可得平面A1GN∥平面AEF,故B正确;
把截面AEF补形为四边形AEFD1,由等腰梯形计算其面积S=,故C正确;
假设C与G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,
连接CG交EF于H,而H不是CG中点,则假设不成立,故D错.
故选:BC.
12. 函数的图像一定过定点,则点的坐标是__________.
【答案】
【分析】用指数函数恒过点推理指数型函数恒过点即可.
【详解】因为函数,
所以,令,解得,
此时,
所以函数的图象过定点.
故答案为:.
13.如图,△A'O'B'为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图,且O'A'=2,O'B'=3,则△AOB的周长为 12 .
【答案】12
【解答】解:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长0B=3,高OA=2O'A'=4,
∴AB==5,
∴直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.
故答案为:12
14.设不等式对于任意的恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】参变分离可得,再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围,即可得解.
【详解】解:由,得,
即,
,,
则,
,则,即.
故答案为:
15.(13分)已知向量,且.
(1)求的值;
(2)求在方向上的投影向量的坐标.
【答案】(1)
【分析】(1)由求出,可求出的值,进而可得答案;
(2)利用投影向量的定义,平面向量的夹角公式以及平面向量数量积的运算法则求解即可.
【小问1详解】
根据条件,
,则,即.
【小问2详解】
根据投影向量的计算公式,在方向上的投影向量,
其中为,是与同向的单位向量,即,
由夹角公式,,
则,
而.
故.
16.(19-20高一下·云南昆明·期末)已知函数.
(1)求在区间的最小值;
(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象,求的单调递减区间.
【答案】(1)-1;(2),.
【解析】(1)根据正余弦的倍角公式、辅助角公式化简,确定它在内的最值,即可求得最小值;(2)根据图象的平移得到,由于为增函数,根据复合函数的单调性及余弦函数的性质有在上单调递减,即可求得递减区间
【详解】(1)解:,
当时, ,有
∴当时,在区间的最小值为-1.
(2)由题意知:
∴,
由,解得,.
因此,函数的单调递减区间为,
【点睛】本题考查了三角函数,根据二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数式,并求区间最值,由函数图象平移得到新函数解析式,结合复合函数的单调性求单调区间
17.(15分)如图,平面,,,,,为中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】(1)取的中点,连接、,即可得到四边形为平行四边形,从而得到,即可得证;
(2)可知三棱锥的高为,结合锥体的体积公式运算求解;
(3)结合(2)中的结果,利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】(1)取的中点,连接、,
因为为中点,则且,
又因为,,,即且,
可得且,即四边形为平行四边形,则,
且平面,平面,所以∥平面.
(2)因为,,所以,
所以,
又因为平面,可知三棱锥的高为,
所以三棱锥的体积,
因为,,则,
由平面,平面,则,,
又因为,,则,
所以,
设点到平面的距离为,
则,解得,
所以点到平面的距离为.
18.(17分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数和,样本方差分别为和.已知.
(1)求;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为有显著提高,否则不认为有显著提高).
【答案】(1),
(2)认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【分析】(1)由结合平均数公式可求出,再利用方差公式可求出,
(2)分别计算,然后比较大小即可得结论.
【详解】(1)由题意得,
解得,所以,
所以
,
(2)由(1)中数据可得:
而,
因为
所以成立
所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
19. 如图所示,某镇有一块空地,其中,,.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的周围安装防护网.
(1)当时,求防护网的总长度;
(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;
(3)为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使的面积最小?最小面积是多少?
【答案】(1)
(2)
(3)时,面积取最小值为
【分析】(1)在中利用余弦定理可求得,由勾股定理得,知为正三角形,由此可得结果;
(2)设,由可得;在中,利用正弦定理可得;由此可构造方程求得;
(3)设,由(2)知;在中,利用正弦定理可得,根据,结合三角恒等变换知识可化简得到,由正弦函数的最值可确定所求最小值.
【小问1详解】
在中,,,,,
在中,由余弦定理得:,;
,则,,
为正三角形,则的周长为,即防护网的总长度为.
【小问2详解】
设,
,,即,
在中,由得:,
,即,又,
,解得:,即.
【小问3详解】
设,由(2)知:,
在中,由得:,
,
当且仅当,即时,面积取最小值为.