河北省邯郸市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

邯郸市2023-2024学年高二下学期期末考试
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列复数的实部大于虚部的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知为奇函数，当时，，则（ ）
A.-9 B.9 C.-17 D.17
3.10人（含甲 乙 丙）随机站成一排，则甲 乙 丙3人站在一起的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.一质点沿着正东方向从点到达点，在点处测得点在其东北方向，在点处测得点在其北偏西方向，则（ ）
A. B. C. D.
5.若正六棱台的侧棱与底面所成的角为，且，则该正六棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.
7.在边长为2的正中，，点在线段上，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期为
B.的最大值为3
C.的图象关于点对称
D.的图象关于直线对称
10.已知椭圆的离心率为，焦点为，则（ ）
A.的短轴长为4
B.上存在点，使得
C.上存在点，使得
D.与曲线重合
11.若函数在上单调递减，则的取值可以是（ ）
A.0.39 B. C.0.42 D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，则中元素的个数为__________.
13.已知一组数据的第60百分位数为，随机变量的分布列为
2 14
0.3 0.6 0.1
__________.
14.在底面为正方形的四棱锥中，平面，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知是等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16.（15分）
民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检 体检鉴定 飞行职业心理学检测 背景调查 高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向.
（1）完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？
对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计
男生
女生
合计
（2）若每名报名学生通过前3项流程的概率依次为，假设学生能否通过每项流程相互独立，以这600名男生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三男生对民航招飞有意向的概率，以这400名女生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三女生对民航招飞有意向的概率.从甲地任选一名高三学生（男 女学生的比例为1：1），求这名学生对民航招飞有意向且通过前3项流程的概率.
附：.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
17.（15分）
如图，在三棱锥中，底面，且为棱上一点，且.
（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值.
18.（17分）
已知双曲线经过点.
（1）求的方程；
（2）设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.
19.（17分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设函数的图象在点处的切线为，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值；
（3）设的零点为，比较与2的大小，并说明理由.
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数学试卷参考答案
1.D 因为，所以这4个复数中只有的实部大于虚部.
2.A .
3.B 由捆绑法可得，甲 乙 立站在一起的概率为.
4.B 如图，由题可知，在中，由正弦定理可得，则.
5.D 因为正六边形的中心到每个顶点的距离等于该正六边形的边长，且正六棱台的侧棱与底面所成的角为，所以该正六棱台的高.依题意可得底面的面积，底面的面积，所以该正六棱台的体积.
6.C 依题意可得，设，则，解得，因为，所以.因为的准线方程为，所以点到的准线的距离为.
7.A 如图，依题意可得点在线段（不含端点）上，点在线段（不含端点）上，，设，则.因为为正三角形，所以为正三角形，所以，所以，因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
8.C 由二项式定理，得.
因为能够被7整除，被7除余1，所以.因为2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，所以.
9.ACD ，则的最小正周期为的最大值为的图象关于点对称，的图象关于直线对称.
10.BCD 依题意可得，解得，则的短轴长为，错误.若为短轴上的端点，为坐标原点，则，所以上存在点，使得，B正确.设，，则正确.设为椭圆上任意一点，因为，所以，D正确.
11.BC .
当时，，所以对恒成立，设，则且，则解得.
12.7 依题意可得，则，，故中元素的个数为7.
13. .
14. 连接交于点，连接，因为共面，且平面，所以，易知为的中点，所以为的中点.设四面体外接球的球心为，则平面，设，则，所以，解得，故四面体外接球的表面积为.
15.解：（1）设，则，则，
所以是首项为，公比也为的等比数列，
所以，
则.
（2），
则，
则，
所以
故.
16.解：（1）列联表如下：
对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计
男生 100 500 600
女生 100 300 400
合计 200 800 1000
零假设为：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联.
因为，
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关.
（2）因为每名报名学生通过前3项流程的概率依次为，
所以每名报名学生通过前3项流程的概率为.
依题意得甲地高三男生对招飞有意向的概率为，
甲地高三女生对招飞有意向的概率为，
由全概率公式得所求概率为.
17.解：（1）因为，所以，则.
因为底面，所以.
又，所以平面.
因为平面，所以.又，所以平面.
由平面，得.
又底面，所以，所以，由等面积法得，故.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则.
则.
设平面的法向量为，则即
令，得.
由底面，得为平面的一个法向量，
则.
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
18.（1）解：依题意可得
解得
所以的方程为.
（2）证明：由（1）知的右焦点为，
联立得，
设，则
，即.
因为点关于轴的对称点为，所以，
则直线的方程为，
根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上，
令，得
.
当且时，，
所以直线过定点.
19.解：（1）的定义域为.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
（2）.
切线的方程为.
令，得；令，得.
所以与坐标轴围成的三角形面积，
.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当时，取得最小值，且最小值为.
（3）不妨设，由（1）可知，则.
令，则
.
当时，设，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.因为在上是增函数，所以在上先减后增.
因为，所以.
而
.
又因为，所以，即，所以，即.