【高中数学北师大版（2019）同步练习】 2函数（含答案）

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【高中数学北师大版（2019）同步练习】
2函数
一、单选题
1．函数，的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
2．已知函数满足，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
3．若对任意有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”：
（1）非负性：，当且仅当时取等号；
（2）对称性：；
（3）三角形不等式：对任意的实数z均成立.
今给出四个二元函数：①；②；③；④.
能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是（　　）
A．f(x)＝ B．f(x)＝lg(x－1)
C．f(x)＝2x2－1 D．f(x)＝x＋
5．如图， 中， ， ， ，点 是边 上的一个动点（点 与点 不重合）过点 作 ，垂足为 ，点 是 的中点，连接 ，设 的面积为 ，点 从点 沿 运动到点 的过程中， 与 的距离为 ，则能表示 与 的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若存在使得函数的值域是，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（　　）
A．f（x）＝x0，g（x）＝1 B．，g（x）＝x
C．，g（x）＝x+2 D．f（x）＝x2﹣1，g（t）＝t2﹣1
8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（　　）
A．函数 为偶函数
B．函数 的值域是
C．对于任意的 ，都有
D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
E．在 图象存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
三、填空题
9．若 满足 ，则 =　 　.
10．函数 的定义域为　 　.
11．函数 的定义域为　 　．
12．函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则 时， 　 　．
13．已知函数，其中，则的值域是　 　；若且对任意，总存在，使得，则的取值范围是　 　．
14．函数的值域为　 　.
四、解答题
15．求函数 的定义域．
16．设f（x）的图象是抛物线，并且当点（x，y）在f（x）图象上任意移动时，点（x，y2+1）在函数g（x）=f[f（x）]的图象上移动，求g（x）的表达式．
17．已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）若 ，求 的值域.
18．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
（1）是幂函数；
（2）是正比例函数；
（3）是反比例函数；
（4）是二次函数．
19．设函数 .
（1）若方程 在 上有根，求实数 的取值范围；
（2）设 ，若对任意的 ， 都有 ，求实数 的取值范围.
20．定义满足性质“ ，对任意 ， ， 均满足 ，当且仅当 时等号成立．”的函数叫M函数．
（I）下列函数（1） ；（2） ；（3） ；（4） 是M函数是_________（直接写出序号）
（II）选择（I）中一个M函数，加以证明；
（III）试利用M函数解决下列问题：若实数 ， 满足 ，求 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
2．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用
3．【答案】A
【知识点】函数的概念及其构成要素
4．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化
5．【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法
6．【答案】B
【知识点】函数的值域
7．【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定
8．【答案】A,C,E
【知识点】函数的对应法则；分段函数的解析式求法及其图象的作法
9．【答案】1
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
10．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
12．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
13．【答案】；
【知识点】函数的值域
14．【答案】
【知识点】函数的值域
15．【答案】解：根据题意得， ，
即 ，化简整理得 ，所以 ，解得 .
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
【知识点】函数的定义域及其求法
16．【答案】解：由题意知，y2+1=g（x）═f[f（x）]=f（y），
∴f（x）=x2+1，
∴g（x）=f[f（x）]=f（x2+1）=x4+2x2+2
【知识点】函数的表示方法
17．【答案】（1）解：
解得
故函数 的定义域为
（2）解：令 ，
即函数 的值域为
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
18．【答案】（1）解：∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1
（2）解：若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－ .
此时m2－m－1≠0，故m＝－ .
（3）解：若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，
则m＝－ ，此时m2－m－1≠0，
故m＝－ .
（4）解：若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
19．【答案】（1）解：∵方程f（x）＝3x在 上有根，
∴函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在 上有零点．
由于在 上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣4x+2a+1是减函数，
故有h（0）h（1）＝（2a+1） （2a﹣2）＜0，
求得 a＜1
（2）解：对任意的 ， 都有 ，
即
，
时， 的最小值为 ，
时， 的最小值为
故 在 上的最小值为
（x）＝cos2x+2asinx ＝﹣sin2x+2asinx+1
令t＝sinx，因为 ，所以﹣1≤t≤1且y＝﹣t2+2at+1 ，其对称轴为t＝a，
A≤﹣1时，y＝﹣t2+2at+1 在[﹣1，1]上是减函数，最大值为﹣4a，
此时﹣4a＜1，a＞ ，无解；
当﹣1＜a＜1时，当t＝a时y有最大值a2 +1，
此时a2 +1＜1，即 ，又﹣1＜a＜1，∴0＜a＜1
当a≥1时，y＝﹣t2+2at+1 在[﹣1，1]上是增函数，最大值为0
此时0＜1，显然恒成立，
综上：a的范围
【知识点】函数的值域
20．【答案】解：（I）（II）对（1）， ， 则任取 ， ， ，
则 ， 当且仅当 取等号，所以 ，故 是 函数；
对（2）， ， 当 时， ， ， 此时 ，故 不是 函数；
对（3）， ， 当 时， ， ， 此时 ，故 不是 函数；
对（4）， ， 任取 ，则 ， ，
因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ， 所以 ，故 是M函数；
（III）利用 ， 设 ，则 ，
由（I）可知 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，当且仅当m=n时取等号
所以m+n的最大值为-2.
【知识点】函数的概念及其构成要素；基本不等式在最值问题中的应用
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